Prawo Gaussa - przykłady
Izolowany przewodnik
W izolatorze nadmiarowy ładunek mo\
e być rozmieszczony w całej jego objętości.
A
adunek rozmieszczony w przewodniku wytwarza pole elektryczne przemieszczające
swobodne elektrony na powierzchnię przewodnika dopóty, dopóki nie zniknie pole
wewnątrz przewodnika.
Wtedy na ładunki nie działa ju\
siła i otrzymujemy statyczny rozkład ładunku.
Wewnątrz przewodnika E = 0
EdS = 0
+"
Qwewn.
0 =
�0 Qwewn. = 0
Cały ładunek gromadzi się na powierzchni przewodnika
1
Procedura obliczania pola E od symetrycznych rozkładów ładunków:
1. Trzeba określić symetrię pola
2. Wybrać odpowiednią powierzchnię Gaussa
3. Obliczyć strumień przez tę powierzchnię
Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana sfera (lub kula z
przewodnika)
Q 1 Q Q
EdS = E( 4Ąr2 ) E(4Ąr2 ) = E = = k
2
+"
4Ą�0 r r2
�0
Na zewnątrz sfery tj. dla r > R pole jest takie jakby cały ładunek skupiony był w
2
środku sfery. Natomiast wewnątrz sfery (r < R) Qwewn. = 0 więc Ewewn. = 0.
1
Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana kula
4
3
Ąr3 r
Qwewn.
3
E = k
Qwewn. = Q = Q�ł �ł
�ł �ł
4
r2
ĄR3 �ł R łł
3
3
r
�ł �ł
Q
�ł �ł
1 R
�ł łł
E =
4Ą�0 r2
1 Q Q
E = r = k r
4Ą�0 R3 R3
3
Płaskie rozkłady ładunków
�S
�
E2S =
E =
�0
2�0
4
2
W praktyce stosuje się układ dwóch płaskich
równoległych płyt naładowanych ładunkami jednakowej
wielkości ale o przeciwnych znakach (kondensator
płaski ).
�ł �ł
� �
�ł- �ł
E = + = 0
po lewej stronie
2�0 �ł 2�0 �ł
�ł łł
� � �
pomiędzy płytami E = + =
2�0 2�0 �0
�ł �ł
� �
po prawej stronie E = + = 0
�ł- �ł
2�0 �ł 2�0 �ł
�ł łł
Na zewnątrz układu pole jest równe zeru a pomiędzy
płytami ma w ka\
dym punkcie stałą wartość �/�0 .
Takie pole nazywamy polem jednorodnym.
5
Wstawka matematyczna
Całka nieoznaczona
g(x)dx = f (x) g(x)dx = f (x) + C
ściślej:
+" +"
Wynik operacji całkowania:
znaleziona funkcja pierwotna f(x) ma taką własność, \
e po zró\
niczkowaniu
d
jej otrzymujemy funkcję podcałkową g(x):
g(x) = [f (x) + C]
dx
1
n
Przykłady:
+"x dx = n +1 xn+1 + C
+" ex dx = ex + C
+" (1/x) dx = ln x + C
+" cos x dx = sin x + C
+" sin x dx = - cos x + C
3
Wstawka matematyczna
Całka oznaczona:
g(x)dx = f (x) + C
Niech :
+"
przyrost funkcji pierwotnej na przedziale [a,b]:
b
b
[f (b) + C]-[f (a) + C]= f (b) - f (a) = g(x)dx = g(x)dx
+" a +"
a
nazywamy całką oznaczoną.
CZYLI CAA
KA OZNACZONA TO:
b
g(x)dx = f (x) + C
g(x)dx = f (b) - f (a) gdzie:
+"
+"
a
Wstawka matematyczna
Znaczenie całki oznaczonej:
df (xi ) "f (xi )
"f (xi ) = g(xi )"xi
g(xi ) = = lim
dx "xi
"xi 0
b
N N
g(x)dx = f (b) - f (a) = lim )"xi
""f (xi ) = lim "g(xi
+"
i i
a
"xi 0 "xi 0
b
S = g(x)dx
+"
a
4
Wstawka matematyczna
Przykłady całek:
b
N
g(x)dx = lim )"xi
"g(xi
+"
i
a
"xi 0
tb
s =
+"v(t)dt - droga
ta
tb
"r = v(t)dt - przemieszczenie
+"
ta
rb
W =
+"F(r)dr - praca
rb
Energia potencjalna i potencjał pola elektrycznego
Pole elektryczne jest polem zachowawczym (potencjalnym), więc wartość pracy
nie zale\
y od wyboru drogi pomiędzy punktami A i B.
B
WF( AB) = lim "ri =
"Fi
+"Fdr
"ri 0
A
B
EpB - EpA = -WF( AB) = -
+"Fdr
A
B
EpB = EpA - q
+"Edr
A
Potencjał elektryczny
B
Potencjał elektryczny to energia potencjalna
VB = VA -
+"Edr
podzielona przez jednostkowy ładunek czyli V = Ep /q:
A
Jednostką potencjału elektrycznego jest wolt (V); 1 V = 1 J/C.
10
5
W fizyce posługujemy się często pojęciem ró\
nicy potencjałów czyli napięciem U.
B
Znak minus odzwierciedla fakt, \
e
U = VB -VA = -
+"Edr potencjał maleje w kierunku
A
wektora E.
Przykłady:
1) Potencjał pola ładunku punktowego Q :
Q
E(r) = k
r2
r
r
Q
�ł- 1 Q
łł
V(r) = V (") - dr'= -kQ = k
+"k r'2
�ł
r'śł" r
�ł �ł
"
V (") = 0
przyjmujemu, \
e:
Czyli energia potencjalna dla ładunku punktowego q umieszczonego w polu
ładunku Q wynosi:
qQ
Ep(r) = k
r
11
2) Jednorodnie naładowana sfera
r e" R
r < R
Q
E(r) = k E(r) = 0
r2
Q
Q
V(r) = k
V(r) = k
R
r
12
6
Potencjał elektryczny mo\
na przedstawić graficznie rysując powierzchnie
lub linie ekwipotencjalne.
V(x,y)
V(x,y)
Q -Q
V (r) = k
+Q
r
Y
X
A
adunek umieszczony na izolowanym przewodniku gromadzi się na jego powierzchni
pole E wzdłu\
powierzchni przewodnika równa się zeru na powierzchni "V = 0
Powierzchnia ka\
dego przewodnika w stanie ustalonym jest powierzchnią stałego
potencjału (powierzchnią ekwipotencjalną). Wektor E jest prostopadły do powierzchni
13
przewodnika oraz do ka\
dej powierzchni ekwipotencjalnej.
Generator elektrostatyczny Van de Graaffa.
14
Elektrofor
7
Zasada superpozycji  potencjał i natę\
enie
Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowe natę\
enie
pola (siłę wypadkową ), obliczamy dodając wektorowo natę\
enia pól od
pojedynczych ładunków.
Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowy potencjał
pola (energię potencjalną), obliczamy dodając skalarnie potencjały pól od
pojedynczych ładunków.
N N
'"
N N
Qi
E = =
dla N ładunków punktowych i
"Ei "k Qi r i V = = k
"Vi "
ri2
i=1 i=1
ri
i=1 i=1
Przykład : dipol elektryczny
E l
l l Q Ql p
�ł �ł
=
E = E1 = k = k = k
�ł �ł
E1 r
r r r2 łł r3 r3
�ł
q q
V = k - k = 0
oraz
r r
15
Kondensatory i dielektryki
Pojemność elektryczna
Układ przewodników, który mo\
e gromadzić ładunek elektryczny, przy przyło\
onej ró\
nicy
potencjałów, nazywamy kondensatorem, a te przewodniki okładkami kondensatora.
Pojemnością elektryczną nazywamy stosunek ładunku kondensatora
Q Q
C = =
do ró\
nicy potencjałów (napięcia) między okładkami. "V U
Jednostką pojemności jest farad (F); 1F = 1C/1V. Powszechnie stosuje się jednak mniejsze
jednostki: �F, nF, pF.
Definicję pojemności mo\
na rozszerzyć na przypadek pojedynczego izolowanego przewodnika
Pojemnością elektryczną przewodnika nazywamy stosunek ładunku umieszczonego na
przewodniku do potencjału jaki ma ten przewodnik w polu elektrycznym wytworzonym przez
ten ładunek.
Przewodnik uwa\
amy za jedną z okładek kondensatora, a druga okładka kondensatora
znajduje się w nieskończoności i ma potencjał równy zeru.
16
8
Przykłady:
Q Q
pojemność kuli o promieniu R
C =
V = k
V
R
R
C = = 4Ą�0R
k
kondensator płaski
B
B
�
�
U = - = El = l
E = +"Edr �0
A
�0
r
A
Q � S S
U = El C = = = �0
� l
U l
�0
Pojemność zale\
y od kształtu okładek, ich rozmiaru i wzajemnego poło\
enia
17
Kondensator z dielektrykiem
Umieszczenie dielektryka (izolatora) pomiędzy okładkami C
= �r
kondensatora zwiększa jego pojemność �r razy: C0
�r nazywamy względną przenikalnością elektryczna lub stałą dielektryczną
Materiał Stała dielektryczna
pró\
nia 1.0000
powietrze 1.0005
teflon 2.1
polietylen 2.3
papier 3.5
szkło (pyrex) 4.5
porcelana 6.5
woda 78
TiO2 100
18
9
Energia pola elektrycznego
W = d qi
"U i
i
A
adowanie kondensatora pró\
niowego.
Praca zu\
yta na przeniesienie porcji ładunku dq pomiędzy okładkami
przy panującej w danej chwili ró\
nicy potencjałów U="V.
Q Q
q 1 Q2 1
�ł �łd
2
W = d q = q = = U C
+"U +"�ł C �ł 2 C 2
�ł łł
0 0
19
Baterie kondensatorów
Dla połączenia równoległego ró\
nica potencjałów między
okładkami wszystkich kondensatorów jest taka sama
(połączone okładki stanowią jeden przewodnik).
q1 q2 q3 Q q1 + q2 + q3 (C1 + C2 + C3)"V
"V = = = C = = = = C1 + C2 + C3
C1 C2 C3 "V "V "V
Przy połączeniu szeregowym ładunek wprowadzony na
okładki zewnętrzne wywołuje równomierny rozkład
(rozdzielenie) ładunku pomiędzy okładkami wewnętrznymi.
q q q
+ +
1 "V "V +"V +"V C1 C2 C3 1 1 1
1 2 3
= = = = + +
q = "V C1 = "V C2 = "V C3
1 2 3
C q q q C1 C2 C3
20
10