Zasada superpozycji
Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowe natężenie
pola (siłę wypadkową ), obliczamy dodając wektorowo natężenia pól od
pojedynczych ładunków.
N
dla N ładunków punktowych Qi ri
E = Ei = k
"Ei
ri2 ri
i=1
Przykład: dipol elektryczny
E l
l l Q Ql p
�ł �ł
=
E = E1 = k = k = k
�ł �ł
E1 r
r r r2 łł r3 r3
�ł
p = Q l jest momentem dipolowym
1
Przykład: strumień pola E od ładunku punktowego Q przez sferę otaczającą
ten ładunek
Rysujemy sferę o promieniu r wokół ładunku Q i liczymy strumień przechodzących
przez tę powierzchnię.
Pole E ma jednakową wartość w każdym punkcie
sfery i jest prostopadłe do powierzchni (ą = 0)
Q
Q Q
�łk �ł(4Ąr ) = 4ĄkQ =
2
Ś = E �"S = E(4Ąr2) =
�ł �ł
r2 �0
�ł łł
Otrzymany strumień nie zależy od r, a zatem strumień jest jednakowy dla wszystkich r
2
1
strumień pola E od ładunku punktowego przez dowolną powierzchnię
otaczającą ten ładunek
1 Q r Q 1 r Q dS0 Q
Ś = dŚ = EdS = dS = dS cosą = =
+" +" +" +" +"
4Ą�0 r2 r 4Ą�0 S r2 r 4Ą�0 S r2 �0
S S S
3
Prawo Gaussa - przykłady
Izolowany przewodnik
W izolatorze nadmiarowy ładunek może być rozmieszczony w całej jego objętości.
A
adunek rozmieszczony w przewodniku wytwarza pole elektryczne przemieszczające
swobodne elektrony na powierzchnię przewodnika dopóty, dopóki nie zniknie pole
wewnątrz przewodnika.
Wtedy na ładunki nie działa już siła i otrzymujemy statyczny rozkład ładunku.
Wewnątrz przewodnika E = 0
EdS = 0
+"
Qwewn.
0 =
�0 Qwewn. = 0
Cały ładunek gromadzi się na powierzchni przewodnika
4
2
Procedura obliczania pola E od symetrycznych rozkładów ładunków:
1. Trzeba określić symetrię pola
2. Wybrać odpowiednią powierzchnię Gaussa
3. Obliczyć strumień przez tę powierzchnię
Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana sfera (lub kula z
przewodnika)
Q 1 Q Q
EdS = E( 4Ąr2 ) E(4Ąr2 ) = E = = k
2
+"
4Ą�0 r r2
�0
Na zewnątrz sfery tj. dla r > R pole jest takie jakby cały ładunek skupiony był w
5
środku sfery. Natomiast wewnątrz sfery (r < R) Qwewn. = 0 więc Ewewn. = 0.
Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana kula (izolator)
4
3
Ąr3 r
Qwewn.
3
E = k
Qwewn. = Q = Q�ł �ł
�ł �ł
4
r2
ĄR3 �ł R łł
3
3
r
�ł �ł
Q
�ł �ł
1 R
�ł łł
E =
4Ą�0 r2
1 Q Q
E = r = k r
4Ą�0 R3 R3
6
3
Liniowy rozkład ładunków
dQ
 =
dl
h
+"EdS = �0
h
E2Ąrh =
�0

E =
2Ą�0r
dQ
� =
Płaskie rozkłady ładunków
dS
�S
�
E2S =
E =
�0
2�0
7
W praktyce stosuje się układ dwóch płaskich
równoległych płyt naładowanych ładunkami jednakowej
wielkości ale o przeciwnych znakach (kondensator
płaski ).
�ł �ł
� �
�ł- �ł
E = + = 0
po lewej stronie
2�0 �ł 2�0 �ł
�ł łł
� � �
pomiędzy płytami E = + =
2�0 2�0 �0
�ł �ł
� �
po prawej stronie E = + = 0
�ł- �ł
2�0 �ł 2�0 �ł
�ł łł
Na zewnątrz układu pole jest równe zeru a pomiędzy
płytami ma w każdym punkcie stałą wartość �/�0 .
Takie pole nazywamy polem jednorodnym.
8
4
Energia potencjalna i potencjał pola elektrycznego
Pole elektryczne jest polem zachowawczym (potencjalnym), więc wartość pracy
nie zależy od wyboru drogi pomiędzy punktami A i B.
B
WF( AB) = lim "ri =
"Fi
+"Fdr
"ri 0
A
B
EpB - EpA = -WF( AB) = -
+"Fdr
A
B B
EpB = EpA - = EpA - q
+"Fdr +"Edr
A A
Potencjał elektryczny
B
Potencjał elektryczny to energia potencjalna
VB = VA -
+"Edr
podzielona przez jednostkowy ładunek czyli V = Ep /q:
A
Jednostką potencjału elektrycznego jest wolt (V); 1 V = 1 J/C.
9
W fizyce posługujemy się często pojęciem różnicy potencjałów czyli napięciem U.
B
Znak minus odzwierciedla fakt, że
U = VB -VA = -
+"Edr potencjał maleje w kierunku
A
wektora E.
Przykłady:
1) Potencjał pola ładunku punktowego Q :
r
r
Q
�ł- 1 Q
łł
V(r) = V (") - dr'= -kQ = k
+"k r'2
�ł
r'śł" r
�ł �ł
"
przyjmujemu, że:
V (") = 0
Czyli energia potencjalna dla ładunku punktowego q umieszczonego w polu
ładunku Q wynosi:
qQ
Ep(r) = k
r
10
5
2) Jednorodnie naładowana sfera
r e" R
Q
V(r) = k
r
R
R
Q
�ł- 1 Q
łł
V(r) = V (") - dr'= -kQ = k
+"k r'2 �ł śł
r
�ł �ł" R
"
11
Generator elektrostatyczny Van de Graaffa.
12
Elektrofor
6
Związki pomiędzy V i E
B B
VB = VA - "V = VB -VA = -
+"Edr +"Edr
A A
Dla pola jednorodnego:
B
"V = VB -VA = - Exdx dV = -Exdx
+"
A
Ogólnie dla pola elektrostatycznego wektor E dany jest wzorami:
"V "V "V
Ex = - , Ey = - , Ez = -
"x "y "z
Gdy znamy rozkład potencjału elektrycznego
wytworzonego w każdym punkcie przestrzeni przez dany
układ ładunków to na podstawie wielkości zmiany
potencjału, przypadającej na jednostkę długości w danym
kierunku możemy określić natężenie pola elektrycznego E
13
w tym kierunku.
Zasada superpozycji  potencjał i natężenie
Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowy potencjał
pola (energię potencjalną), obliczamy dodając skalarnie potencjały pól od
pojedynczych ładunków.
N N N N
Qi '" Qi
dla N ładunków punktowych
E = = k r V = = k
i
"Ei " "Vi "
ri2 ri
i=1 i=1 i=1 i=1
Przykład 1: dipol elektryczny
p
q q
E = k
r3 oraz V = k r - k r = 0
14
7
Przykłady:
Q Q 1 Q
pojemność kuli o promieniu R
C = V = k =
V R 4Ą�0 R
R
C = = 4Ą�0R
k
kondensator płaski
B
B
�
�
U = - = El = l
E = +"Edr �0
A
�0
r
A
Q � S S
U = El C = = = �0
� l
U l
�0
Pojemność zależy od kształtu okładek, ich rozmiaru i wzajemnego położenia
15
Prawo Gaussa dla dielektryka
�r nazywamy względną przenikalnością elektryczna lub stałą dielektryczną
Materiał Stała dielektryczna
próżnia 1.0000
powietrze 1.0005
teflon 2.1
polietylen 2.3
papier 3.5
szkło 4.5
porcelana 6.5
woda 78
TiO2 100
q
Prawo Gaussa w próżni:
0
+"E dS = �0 dla dielektryka : �0�rEdS = q , ponieważ: E0 = �rE
+"
Prawo Gaussa (niezależne od materiału): DdS = q
+"
gdzie to wektor indukcji elektrycznej.
D = �0�rE
16
8
Energia pola elektrycznego
A
adowanie kondensatora próżniowego.
Praca zużyta na przeniesienie porcji ładunku
dW = Udq
dq pomiędzy okładkami przy panującej w
danej chwili różnicy potencjałów U="V.
Q Q
q 1 Q2 1
�ł �łd
2
W = d q = q = = U C
+"U +"�ł C �ł 2 C 2
�ł łł
0 0
Prawo Gaussa dla ośrodka o stałej dielektrycznej �r: �0�rEdS = Q
+"
1 1
2 2
W = CU W = CE2d
dla kondensatora płaskiego:
2 2
S
�0�rE2
C = �0�r
W = Sd
d
2
W 1
Gęstość energii pola elektrycznego (energia
w = = �0�rE2
zawarta w jednostce objętości) wynosi:
Sd 2
Jeżeli w jakimś punkcie przestrzeni istnieje pole elektryczne o natężeniu E to możemy uważać,
17
że w tym punkcie jest zmagazynowana energia w ilości ��0�rE2 na jednostkę objętości.
Baterie kondensatorów
Dla połączenia równoległego różnica potencjałów między
okładkami wszystkich kondensatorów jest taka sama
(połączone okładki stanowią jeden przewodnik).
q1 q2 q3 Q q1 + q2 + q3 (C1 + C2 + C3)U
U = = = C = = = = C1 + C2 + C3
C1 C2 C3 U U U
Przy połączeniu szeregowym ładunek wprowadzony na
okładki zewnętrzne wywołuje równomierny rozkład
(rozdzielenie) ładunku pomiędzy okładkami wewnętrznymi.
q q q
+ +
1 U U1+U +U C1 C2 C3 1 1 1
2 3
= = = = + +
q =U1C1 =U C2 =U C3
2 3
C q q q C1 C2 C3
18
9