Praca i energia
PRACA
Praca wykonana przez siłę stałą
Definicja
Praca W wykonana przez stałą siłę F jest iloczynem skalarnym tej siły
F i wektora przesunięcia s
W = F Å"s = FscosÄ…
Przykład
Pracę wykonuje tylko składowa Fs = Fcosą
styczna do przesunięcia s
W > 0 gdy Ä… < 90Ú, W < 0 gdy a > 90Ú
siła tarcia T przeciwstawiająca się ruchowi
W = T·s = T s cos 180° = -T s
(Ä… = 180°)
1
Praca wykonana przez siłę zmienną
Przykład: Zmienna siła F(x) (równoległa do przemieszczenia)
"Wi = Fi"xi
x2
"
W = "xi = F(x) d x
"Fi
lim +"
"x0
i=1
x1
Całkowanie funkcji F(x) w zadanych granicach odpowiada liczeniu pola
powierzchni pod krzywÄ… F(x) w zadanym przedziale
Ogólnie:
"W = F Å" "r
praca elementarna
"W = Fx"x + Fy"y + Fz"z
rb
praca W = r
+"F(r)d
ra
Przykłady:
h
Praca w polu siły ciężkości:
W = dy = mgh
+"mg
0
Praca siły dośrodkowej (prostopadłej do toru):
W = 0
Praca przeciw sile sprężystości:
x
x x
kx'2 kx2
W = F(x') d x'= d x'= =
+" +"(kx') 2 2
0 0
0
FS = -kx
F = kx
2
ENERGIA
Energia kinetyczna
Praca przy rozpędzaniu ciała:
at2 m t2a2 m t2 v2 m v2
W = FÅ"s = maÅ"s = ma Å"( ) = = ( ) =
2 2 2 t2 2
mv2
Ek = W =
2
Prawa
1) Praca wykonana przez siłę F działającą na ciało o masie m jest równa
zmianie energii kinetycznej tego ciała: W = Ek  Ek(o)
2) Wykonana praca została  zmagazynowana w postaci ruchu ciała  ciało
może oddać tą pracę ale wtedy zmniejszy prędkość.
Jednostki
JednostkÄ… pracy i energii jest w ukÅ‚adzie SI dżul (J); 1J = 1N·m.
W fizyce atomowej używa siÄ™ jednostki elektronowolt (eV); 1eV = 1.6·10-19 J.
Siły zachowawcze i niezachowawcze
Przykład: rzut pionowy (bez oporu powietrza !!!)
Ciało rzucone do góry, wraca z tą samą prędkością i energią kinetyczną
Po przebyciu zamkniętej drogi (cyklu) energia kinetyczna ciała nie zmienia się.
Praca wykonana przez siłę grawitacji podczas pełnego cyklu jest równa zeru
Definicja
Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem
materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru.
Przykłady sił zachowawczych:
Przykłady sił niezachowawczych:
-siła grawitacji
-siła oporu powietrza
-siła sprężysta
- siła tarcie
- siła elektrostatyczna
3
Praca wykonana przez siłę zachowawczą nie zależy od wyboru drogi łączącej
dwa punkty, ale od ich wzajemnego położenia
WA1B +WB2 A = 0
WA1B = -WB2 A
WB2A = -WA2B
lecz:
WA1B = WA2B
Energia potencjalna
Gdy działają siły zachowawcze, można wprowadzić pojęcie energii potencjalnej Ep.
Energię potencjalną można traktować jako zgromadzoną w polu sił zachowawczych
pracę, która może być w przyszłości całkowicie odzyskana lub zamieniona na inną
użyteczną formę energii.
EnergiÄ™ potencjalnÄ… nazywa siÄ™ energiÄ… (funkcjÄ…) stanu.
Dla siły zachowawczej F równoważonej przez siłę zewnętrzną Fzew :
"Ep = WFzew = -WF
4
"Ep = WFzew = -WF
r r
"Ep = Fzew(r')d r'= - F(r') d r'
+" +"
r0 r0
r
Ep (r) = Ep (r0) + "Ep = Ep (r0) - F(r') d r'
+"
r0
Punkt r0 nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak,
żeby energia potencjalna w tym punkcie odniesienia Ep(r0) była równa zeru.
Przykłady
Energia potencjalna w pobliżu powierzchni Ziemi (punkt odniesienia na powierzchni Ziemi y0 = 0)
Ep (y) = mgh
dla: Ep(0) = 0
Energia potencjalna idealnej nieważkiej sprężyny (punkt odniesienia x0 = 0)
1
Ep (x) = W = kx2
2
dla: Ep(0) = 0
5
Energia potencjalna w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi, odległym o r od środka Ziemi
(zerową energię potencjalną przypisujemy punktowi odniesienia w nieskończoności r ").
dla: Ep(") = 0
Mm
Ep (r) = -G
r
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII
Gdy na ciało działa tylko siła zachowawcza F, to:
Emech = Ek + Ep = const.
Zasada zachowania energii mechanicznej mówi, że dla ciała
podlegającego działaniu siły zachowawczej, suma energii kinetycznej i
potencjalnej jest stała.
W układzie zamkniętym, na który nie działają zewnętrzne siły, suma energii
kinetycznych i potencjalnych wszystkich ciał pozostaje stała bez względu na
oddziaływania zachodzące w tym układzie.
6
Jeżeli oprócz siły zachowawczej Fz działa jeszcze siła niezachowawcza Fnz
(np. tarcie)
Np., siła tarcia zmienia energię mechaniczną układu a  stracona" energia
mechaniczna zostaje przekształcona na energię wewnętrzną U (ciepło).
Zmiana energii wewnętrznej "U jest równa rozproszonej energii mechanicznej
(jej ubytkowi), zatem :
"Ek + "Ep + "U = 0
lub:
Ek + Ep +U = const. Zasada zachowania energii całkowitej.
Energia może być przekształcana z jednej formy w inną, ale nie może być
wytwarzana ani niszczona.
Energia całkowita jest wielkością stałą.
Moc
Definicja
Moc definiujemy jako ilość wykonanej pracy (lub przekazanej energii) do czasu w
jakim została ona wykonana.
__
W
__
Fs
P =
dla stałej siły:
Moc średnia P = = Fv
t
t
dW ds
Moc chwilowa
P = P = F = Fv
dt dt
Jednostki
Jednostką mocy w układzie SI jest wat (W); 1 W = 1 J/ s. Dla celów praktycznych
powszechnie stosowanÄ… jednostkÄ… mocy jest kilowat (kW), a jednostkÄ… energii
(iloczyn mocy i czasu) jest kilowatogodzina (kWh).
7
Analogie ruchu obrotowego do ruchu postępowego - uzupełnienie
Ruch postępowy Ruch obrotowy
r, v, a, m Õ, É, µ, I
Õ
Õ
Õ
p = mv L = r × p, L = ™É
F M = r × F
dp dL
F = M =
dt dt
F = ma M = Iµ
1
Ek = mv2 1
Ek = IÉ2
2 2
przypadek szczególny, L||É oraz M||µ
É µ
É µ
É µ
ZASADY ZACHOWANIA DLA UKA
ADU
ODOSOBNIONEGO (nie działają siły zewnętrzne)
d pcał
Zasada zachowania pędu :
= 0 Ò! pcaÅ‚ = const.
d t
d Lcał
= 0 Ò! LcaÅ‚ = const.
Zasada zachowania momentu pędu :
d t
dEcał
Zasada zachowania energii :
= 0 Ò! EcaÅ‚ = Ek + Ep + U = const.
dt
8
Przykład zasady zachowania pędu
- napęd odrzutowy (ruch rakiety)
vgr- prędkość gazu
względem rakiety
mrvr = (mr - dmg )(vr + dvr ) + dmgvg prawo zachowania pędu
podstawiając: vg = (vr + dvr ) -vgr po prostych przekształceniach :
mr dvr = dmgvgr
dzielimy przez dt :
dvr dmg
mr = vgr
dt dt
dmg
F = mr ar = vgr
dt
F -siła ciągu , dmg/dt  szybkość spalania
gazu, vgr- prędk. gazu wzgl. rakiety
Przykład zasady zachowania momentu pędu
Ciało o masie m porusza się w płaszczyz
nie poziomej po okręgu o promieniu r1 (a). Prędkość
liniowa ciała wynosi v1 . Ile razy zmieni się prędkość liniowa ciała, jeśli pociągając za sznurek
jak na rys (b) zmniejszymy promień okręgu do długości r2 (b) . Zakładamy, że nie działa siła
grawitacji.
a)
L = m r1xv1 L = m r1v1
r1 Ä„" v1
b) siła F działa wzdłuż sznurka i zawsze prostopadle
do prędkości ciała r F , czyli:
||
1
d L
M = r1xF = 0 Ò! = 0 Ò! L = const.
dt
L = m r1v1 = m r2v2
r1
v2 = v1
r2
9
Przykład zasady zachowania energii
F > Tmax
Tmax = fsN = fsmg cos¸
mg sin ¸ > fsmg cos¸
tg¸ > fs
mv2
"Ek =
2
h
"Ep = -WF = -smg sin¸ = - mg sin¸ = -mgh
sin¸
h
"U = -WT = -(-s fkmg cos¸ ) = fkmg cos¸ = mgh fkctg¸
sin¸
mv2
"Ek + "Ep + "U = 0
+ mgh fk ctg¸ - mgh = 0 v = 2gh(1- fk ctg¸ )
2
Zasada zachowania energii : toczenie się (bez poślizgu) po równi pochyłej
Z zasady zachowania energii
ruch postępowy
ruch obrotowy
1 1
2
Ekp = mvSM Eko = ISM É2
2 2
1 1
2
mgh = mvSM + ISMÉ2
2 2
Toczenie bez poślizgu
v = ÉR
mgh
vSM = 2
m + ISM / R2 4
vSM = gh
np. dla walca
3
10
-doskonale niesprężyste
Zderzenia:
-doskonale sprężyste
-inne
doskonale niesprężyste:
-zas. zach. energii mechanicznej 
-niespełniona
- zas. zach. pędu - spełniona
p1+p2=p
m1v1x
Å„Å‚v '= - m2v2x
x
ôÅ‚
m1 + m2
m1v1x
Å„Å‚ - m2v2x = (m1 + m2)vx '
ôÅ‚
òÅ‚
òÅ‚- m2v2 = (m1 + m2)vy '
y
ół ôÅ‚vy '= - m2v2 y
ôÅ‚
m1 + m2
ół
Uwaga: w równaniach uwzględniono znaki  + i  -
dla przykładu pokazanego na rysunku
doskonale sprężyste:
- zas. zach. energii mechanicznej - spełniona
- zas. zach. pędu - spełniona
Ek1+Ek2=Ek1 + Ek2
p1+p2=p1 + p2
przykład zderzenia niecentralnego:
m1v1 = m1v1'cos¸1 + m2v2'cos¸2
Å„Å‚
zas. zach. pędu
òÅ‚
ół0 = m1v1'sin¸1 - m2v2'sin¸2
1 1 1
(v1')2 + (v2')2
zas. zach. energii
m v2 = m m
1 1 1 2
2 2 2
Uwaga: w równaniach uwzględniono znaki  + i  - przed i po zderzeniu dla przykładu pokazanego na
rysunku
11
przykÅ‚ad zderzenia centralnego ( ¸1= ¸2=0 )
m1v1 = m1v1'+m2v2'
Å„Å‚
zas. zach. pędu
ôÅ‚
òÅ‚1 1 1
1
ôÅ‚2 m1v2 = 2 m1(v1')2 + 2 m2 (v2 ')2 zas. zach. energii
ół
Å„Å‚m1(v1 -v1') = m2(v1 +v1')
m1(v1
Å„Å‚ -v1') = m2v2'
v1'`"v1 òÅ‚ 1 +v1') =v2'
ół(v
òÅ‚
1 2
ółm (v1 - v1')(v1 +v1') = m (v2')2
m1
Å„Å‚v '= - m2
v
1
ôÅ‚
m2 + m1 1
ôÅ‚
m1(v1
Å„Å‚ -v1') = m2v2'
òÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚v2 '= 2m1 v1
1
ół(v +v1') =v2'
ôÅ‚
m2 + m1
ół
przypadek szczególny gdy m1=m2=m:
przypadek szczególny gdy m1<v1'= 0
Å„Å‚
v1 ' H"
Å„Å‚ -v1
òÅ‚v '=v1
òÅ‚
' 0
ół 2
ółv2
12