Układy automatyki przemysłowej
Karol Cupiał
Częstochowa maj 2010
Kierunek: Mechatronika, spec.: Systemy sterowania, semestr 5 1wykład + 1 lab
Program wykładu
Do zrozumienia wykładu wymagana jest znajomość podstaw automatyki.
Systemy regulacji zło\onych obiektów wieloparametrowych. Systemy i elementy
układów regulacji automatycznej. Równania ró\niczkowe, transmitancje operatorowe i
widmowe, charakterystyki czasowe i częstotliwościowe. Układy ze sprzę\eniem zwrotnym,
stabilność prostych i zło\onych układów regulacji z ujemnym sprzę\eniem zwrotnym,
kryteria stabilności. Własności dynamiczne podstawowych członów układu regulacji i metody
ich identyfikacji. Nieliniowe układy regulacji, linearyzacja członów nieliniowych.
Warunki zaliczenia przedmiotu
Laboratorium - obligatoryjne: zaliczenie wszystkich ćwiczeń
Wykład - obligatoryjne: obecność na wykładach + zaliczenie laboratorium
+ nieobowiązkowa praca kontrolna podnosząca ocenę
Wykaz literatury
1. Gessing R.: Podstawy automatyki. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 2001.
2. Kaczorek T., Dzieliński A., Dąbrowski W., Aopatka R.: Podstawy teorii sterowania.
WNT, Warszawa 2009.
3. Mazurek J., Vogt H., Zydanowicz W.: Podstawy automatyki. Oficyna Wydawnicza
PW, Warszawa 2002.
4. Węgrzyn S.: Podstawy automatyki. PWN, Warszawa 1980.
5. śelazny M.: Podstawy automatyki. PWN, Warszawa 1976.
Tekst wykładu będzie sukcesywnie udostępniany na stronie internetowej
Instytutu Maszyn Tłokowych i Techniki Sterowania Politechniki Częstochowskiej:
http://www.imc.pcz.czest.pl/imtits/dydid.html
1
Spis treści
2
1. Wybrane systemy regulacji zło\onych obiektów przemysłowych
Rys.1 . Manualna regulacja obiektu wieloparametrowego, w którym sygnały są dostatecznie
wolnozmienne
Rys.2 . Wspomagana komputerem manualna regulacja obiektu wieloparametrowego, w
którym sygnały są dostatecznie wolnozmienne
3
Rys.3 .Automatyczna regulacja autonomiczna obiektu wieloparametrowego
Rys.4 . Automatyczna regulacja nieautonomiczna obiektu wieloparametrowego
4
Rys.5 .Skomputeryzowany układ regulacji obiektu wieloparametrowego realizujący
ró\norodne zło\one algorytmy regulacji
1.1. Regulacja prędkości obrotowej maszyny parowej
Maszyna parowa stosowana w przeszłości dość powszechnie jako silnik napędzający ró\ne
maszyny była wyposa\ona w odśrodkowy regulator prędkości obrotowej stabilizujący tę
prędkość niezale\nie od zmian obcią\enia napędzanych maszyn. Regulator oddziałuje
bezpośrednio na nastawny zawór dławiący przepływ pary z kotła do maszyny parowej i
utrzymuje nastawioną prędkość obrotową niezale\nie od zmieniającego się obcią\enia
maszyn napędzanych tą maszyną.
5
Rys. 6. Przykład ilustrujący budowę archaicznej maszyny parowej wyposa\onej w
odśrodkowy regulator prędkości obrotowej bezpośredniego działania (James Watt w 1788) i
schemat blokowy zamkniętego układu regulacji zawierający główny tor sygnałów i tor
ujemnego sprzę\enia zwrotnego
1.2. Regulacja prędkości obrotowej okrętowej turbiny parowej
Układ napędowy współczesnego atomowego okrętu podwodnego zawiera m. in. turbinę
parową, która za pośrednictwem elektrycznego wału napędza śrubę. Prędkość obrotowa
wirnika tej turbiny jest regulowana odśrodkowym przetwornikiem prędkości obrotowej
6
( regulatorem Watta ), który za pośrednictwem bezinercyjnego wzmacniacza hydraulicznego
(przedstawionego symbolicznie na rysunku jako czarna skrzynka sterowana dwuramienną
dzwignią regulatora) oddziałuje w układzie ujemnego sprzę\enia zwrotnego na zawór
dławiący dopływ pary do turbiny.
7
Rys. 7. Uproszczony schemat systemu napędowego atomowego okrętu podwodnego, system
ten zawiera m. in. reaktor jądrowy chłodzony wodą o wysokim ciśnieniu, wymiennik ciepła
(parownik) wytwarzający parę zasilającą turbinę parową sprzęgniętą elektrycznym wałem ze
śrubą okrętową i chłodzony wodą zaburtową kondensator skraplający parę odlotową z turbiny
Rys. 8. Uproszczony schemat blokowy regulacji ciśnienia pary wytwarzanej w reaktorze
jądrowym
Rys. 9. Uproszczony schemat blokowy układu regulacji prędkości obrotowej turbiny parowej
pracującej w systemie napędowym współczesnego atomowego okrętu podwodnego
8
Rys. 10. Budowa, działanie i regulacja reaktora jądrowego.
Pręty regulacyjne:
zbyt wysunięte stan nadkrytyczny, energia wydzielana wzrasta;
poło\enie pośrednie stan krytyczny, energia wydzielana = const;
zbyt wsunięte stan podkrytyczny, energia wydzielana maleje.
9
1.3. Regulacja prędkości obrotowej tłokowego silnika z zapłonem
samoczynnym
Rys. 11. Regulator dwuzakresowy bezpośredniego działania do wolnossącego silnika
wysokoprę\nego z prędkościową korekcją maksymalnej dawki paliwa. 1- sprę\yna biegu
jałowego, 2 sprę\yna korektora dawki, 3 sprę\yny maksymalnej prędkości obrotowej.
10
Rys. 12. Charakterystyka regulatora dwuzakresowego z prędkościową korekcją dawki paliwa
11
1.4. Układy regulacji przemysłowego silnika gazowego
Rys. 13. Wybrane układy sterowania i automatycznej regulacji przemysłowego silnika
gazowego napędzającego generator prądotwórczy oraz ich uproszczone schematy blokowe:
" zamkniętego układu regulacji składu mieszanki palnej
" zamkniętego układu regulacji prędkości obrotowej
" otwarto - zamkniętego układu sterowania kątem wyprzedzenia zapłonu
12
1.5. Regulator odśrodkowy
Rys. 14. Uproszczony schemat odśrodkowego regulatora prędkości obrotowej z
wiskotycznym tłumikiem drgań
Na powy\szym rysunku pokazano schemat odśrodkowego przetwornika prędkości
obrotowej nazywanego potocznie regulatorem odśrodkowym zawierającego wirujące masy
wytwarzające siłę odśrodkową przenoszoną mechanizmem dzwigniowym na nasuwę podpartą
sprę\yną o zastępczej stałej sprę\ystości c uwzględniającej wszystkie sprę\yny regulatora.
Szybkie ruchy nasuwy są w tym regulatorze tłumione wiskotycznym tłumikiem połączonym
kinematycznie z nasuwą. Ruchy nasuwy są przenoszone za pośrednictwem dzwigni
bezpośrednio na nie pokazany na rysunku człon wykonawczy o niezbyt du\ych oporach ruchu
lub na poruszający się z pomijalnym oporem zawór suwakowy wzmacniacza hydraulicznego
oddziałującego z du\ą siłą na człon wykonawczy. Wymaganą prędkość obrotową nastawia się
w tym regulatorze zmieniając naciąg wstępny sprę\yny c2 połączonej kinematycznie za
pośrednictwem dzwigni z nasuwą.
Do prawidłowego działania układu regulacji wyposa\onego w regulator odśrodkowy
konieczne jest spełnienie dwóch warunków:
sam regulator musi być stabilny wewnętrznie jest to warunek konieczny ale nie jest
to warunek wystarczający do stabilności całego układu regulacji wyposa\onego w taki
regulator;
13
układ regulacji wyposa\ony stabilny wewnętrznie regulator musi spełniać ogólne
wymogi stabilności obowiązujące dla układów regulacji z ujemnym sprzę\eniem
zwrotnym.
1.5.1. Stabilność wewnętrzna i czułość regulatora odśrodkowego
Rys. 15. Charakterystyki statyczne stabilnego i labilnego regulatora odśrodkowego w
warunkach ustalonych, dla = const
Dla osiągnięcia wewnętrznej stabilności regulatora odśrodkowego musi być spełniony
warunek
dQspr(zred na oś x) dQod (zred na oś x)
>
dx dx
by po zwiększeniu prędkości obrotowej siła sprę\yny zredukowana na oś nasuwy wzrastała
szybciej ni\ siła odśrodkowa zredukowana na oś nasuwy poniewa\ tylko wtedy regulator
osiągnie nowy stan równowagi.
Wyra\enie występujące na lewej stronie nierówności
2
dQspr(zred na oś x)
ł ł
l6
= cspr(zred na oś x) = c1 + c2 " ł ł = c
ł ł
dx l4
ł łł
14
oznacza zastępczą stałą wszystkich sprę\yn regulatora zredukowaną na oś nasuwy
a wyra\enie występujące na prawej stronie nierówności
ł l2 ł
ł
dłi " m " R " 2 " ł
dQod (zred na oś x) dQod(zred na oś x) dR
l1 ł
l2
ł łł
= " = "
dx dR dx dR l1
po wykonaniu ró\niczkowania przy zało\eniu, \e chwilowa prędkość kątowa wałka
regulatora mało ró\ni się od wartości nominalnej n tzn dla = n = const
przybiera taką postać
2
dQod (zred na oś x)
ł ł
l2
= i " m " R " 2 " ł ł
n
ł ł
dx l1
ł łł
Po podstawieniu powy\szych zale\ności nierównościowy warunek wewnętrznej stabilności
regulatora odśrodkowego przybiera postać
2
ł ł
l2
ł ł
c > i " m " R "2 "ł ł
n
l1
ł łł
którą po przekształceniach
c
> 2
n
2
ł ł
l2
i " m " R " ł ł
ł ł
l1
ł łł
i po uwzględnieniu, \e wyra\enie występujące na lewej stronie nierówności oznacza częstość
kątową nie tłumionych drgań własnych układu masy regulatora sprę\yna, mo\na wyrazić
prostą zale\nością częstościową
2
0 > 2
n
z której wynika, warunkiem wewnętrznej stabilności regulatora odśrodkowego jest większa
wartość częstości nie tłumionych drgań własnych 0 układu masy sprę\yna od wartości
nominalnej częstości obrotów n wałka tego regulatora.
W miarę zmniejszania wartości stałej sprę\ystości sprę\yny regulatora maleje częstość
drgań własnych 0 układu masy regulatora sprę\yna lub w miarę powiększania się
nominalnej prędkości obrotowej wałka regulatora n regulatora i częstość drgań własnych
zbli\a się do wartości nominalnej częstości n obrotów regulatora
15
0 n
Wtedy czułość regulatora wyra\ona stosunkiem "x / " początkowo powiększa się ale gdy
wartości tych częstości nadmiernie zbli\ą się, to wartość zastępczej stałej sprę\ystości
sprę\yn regulatora nadmiernie obni\y się i regulator mo\e utracić stabilność stając się
regulatorem labilnym nie nadającym się do zastosowania w praktyce.
1.5.2. Stan nieustalony regulatora odśrodkowego
Równanie ró\niczkowe regulatora bezpośredniego działania (bez wzmacniacza
hydraulicznego) w nieustalonym stanie jego ruchu otrzymuje się przyrównując siłę
bezwładności zredukowaną na oś regulatora do sumy sił zewnętrznych równie\
zredukowanych na oś regulatora.
2
ł ł
d2R l2 dx l5 l2
i " m " " + b " " ł ł + c " x = i " m " R " 2 "
ł
dt l4 ł l1
dt2 l1 ł łł
Siła bezwładności Siła tłumienia Siła sprę\yny Siła odśrodkowa
Do tak otrzymanego równania sił wprowadza się nowe zmienne uwzględniające stałe wartości
R , xn , Pn odpowiadające ustalonemu stanowi regulatora występującemu przy stałej
n
nominalnej prędkości obrotowej = n = const i wartości chwilowych przyrostów
występujące w czasie zmiany prędkości obrotowej (oznaczone symbolem " ). Pionowe
przemieszczenie nasuwy regulatora
x = xn + "x
uzale\nia się od poło\enia nasuwy w stanie ustalonym xn i od przyrostu przemieszczenia
występującego w stanie nieustalonym "x . Promień środka cię\kości mas bezwładnych
regulatora
l2
R = R + "R H" R + "x "
n n
l1
uzale\nia się od wartości ustalonej R tego promienia i od przyrostu przemieszczenia
n
nasuwy "x . Sumaryczną siłę odśrodkową dla liczby i mas regulatora
16
"Pod "Pod
Pod = Pn + "P H" Pn + " "R + " "
"R "
"Pod l2 "Pod
= Pn + " " "x + " "
"R l1 "
ł ł ł ł
l2 ł l2 ł
ł ł
"łi " m " R " 2 " "łi " m " R " 2 "
l1 ł l1 ł
l2
ł łł ł łł
= Pn + " " "x + " "
"R l1 "
2
ł ł
l2 l2
ł ł
= Pn + i " m " 2 " " "x + 2 " i " m " Rn " " " "
ł ł
l1 l1
ł łł
po uwzględnieniu, \e H" n = const
2
ł ł
l2 l2
Pod H" Pn + i " m " 2 " ł ł " "x + 2 " i " m " Rn " n " " "
n
ł ł
l1 l1
ł łł
uzale\nia się od ustalonej wartości nominalnej Pn i od przyrostu siły w stanie nieustalonym
na skutek zmiany częstości obrotów o " i promienia środka cię\kości mas o
"R = (l2 / l1) " "x .
Po podstawieniu nowych zmiennych do równania sił
l2
d2(Rn + "x " )
2
ł ł
l1 l2 d(xn + "x) l5
ł ł
i " m " " + b " " + c " (xn + "x) =
ł ł
l1 dt l4
dt2 ł łł
2
ł ł l2
l2
= Pn + i " m " 2 " ł ł " "x + 2 " i " m " Rn " n " " "
n
ł ł
l1 l1
ł łł
i po uwzględnieniu, \e pochodne wartości stałych są równe zeru otrzymuje się przybli\one
równanie regulatora odśrodkowego obowiązujące dla niewielkich zmian częstości obrotów.
2 2
ł ł ł ł
l2 d2("x) l5 d("x)
i " m " ł ł " + b " ł ł " + c " (xn + "x) =
ł ł ł ł
l1 l4 dt
ł łł dt2 ł łł
2
ł ł
l2 l2
ł ł
= Pn + i " m " 2 " " "x + 2 " i " m " Rn " n " " "
n
ł ł
l1 l1
ł łł
W stanie ustalonym, gdy częstość obrotów jest stała = n = const i "x = 0 równanie
regulatora upraszcza się do bardzo prostej postaci
17
c " xn = Pn
którą mo\na wykorzystać do uproszczenia ogólnego równania regulatora do
2 2
ł ł ł ł
l2 d2("x) l5 d("x)
i " m " ł ł " + b " ł ł " + c " "x =
ł ł ł ł
l1 l4 dt
ł łł dt2 ł łł
2
ł ł
l2 l2
ł ł
= i " m " 2 " " "x + 2 " i " m " Rn " n " " "
n
ł ł
l1 l1
ł łł
liniowego równania ró\niczkowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach.
2 2 2
ł
ł ł ł ł ł ł
l2 d2("x) l5 d("x) l2 ł
łc ł
ł ł ł ł ł ł
i " m " " + b " " + - i " m " 2 " " "x =
n
ł ł ł ł ł ł
ł
l1 l4 dt l1 ł
ł łł dt2 ł łł ł łł
ł łł
l2
= 2 " i " m " Rn " n " " "
l1
Po kolejnych przekształceniach powy\szego równania
2 2
ł ł ł ł
l2 d2("x) l5 d("x)
ł ł ł ł
i " m " " + b " " +
ł ł ł ł
l1 l4 dt
ł łł dt2 ł łł
ł ł
ł ł
2
ł
ł ł
l2 ł c l2
ł ł
+ i " m " 2 " " ł -1ł " "x = 2 " i " m " Rn " n " " "
n
ł ł
2
l1 ł l1
ł
ł łł
ł ł
l2
ł ł
i " m " 2 "
ł ł
n
ł ł
ł ł
l1
ł łł
ł łł
W powy\szym równaniu uwzględnienia się, \e wyra\enie
c
2
0 =
2
ł ł
l2
ł ł
i " m "
ł ł
l1
ł łł
oznacza częstość kątową nie tłumionych drgań własnych układu: masy regulatora - sprę\yna
18
2 2 2 2
ł
ł ł ł l5 ł ł ł 0 ł
l2 d2 ("x) d("x) l2 łł
ł ł ł ł ł ł ł
i " m "ł ł " + b "ł ł " + i " m "2 "ł ł "łł ł -1ł " "x =
n
l1 l4 dt l1 łł n łł ł
ł łł dt2 ł łł ł łł
łł łł
l2
= 2 "i " m " Rn " n " " "
l1
i dzieli się równanie stronami przez współczynnik występujący przy zmiennej "x . W tak
otrzymanym równaniu
2
ł l5 ł
ł ł
b "ł ł
l4
1 d2 ("x) d("x)
ł łł
" + " + "x =
2 2
łł 0 ł2 ł ł dt
dt2
ł ł 0 ł
l2 łł
ł ł ł
2 "łł ł -1ł i " m " 2 "ł ł "łł ł -1ł
n n
łł n ł ł
l1 łł n łł ł
ł łł
łł łł łł łł łł
2 " Rn
= " "
2
ł
l2 łł 0 ł
ł
n " "łł ł -1ł
l1 łł n łł ł
łł łł
przyrost przemieszczenia nasuwy "x mo\na łatwo zastąpić przyrostem przemieszczenia
wolnego końca dzwigni regulatora "h
l4
"x = " "h
l3
2
ł l5 ł
ł ł
b "ł ł
l4
1 d2 ("h) d("h)
ł łł
" + " + "h =
2 2
łł 0 ł2 ł ł dt
dt2
ł ł 0 ł
l2 łł
ł ł ł
2 "łł ł -1ł i " m " 2 "ł ł "łł ł -1ł
n n
łł n ł ł
l1 łł n łł ł
ł łł
łł łł łł łł łł
2 " R
n
= " "
2
ł
l2 l4 łł 0 ł
ł
n " " "łł ł -1ł
l1 l3 łł n łł ł
łł łł
Wartość wymiarowego współczynnika tłumienia występującego w drugim członie równania
odśrodkowego przetwornika prędkości obrotowej
b = bkryt " D = 2 " i " m " 0 " D
19
mo\na uzale\nić od sumarycznej masy drgającej i " m ruchomych mas regulatora, od
częstości kątowej drgań własnych tych mas w i od bezwymiarowego stopnia tłumienia
D , którego wartość w układach oscylacyjnych zawiera się w granicach od D = 0 dla
układu bez tłumienia do D =1 dla układu z tłumieniem krytycznym.
2
ł l5 ł
ł ł
2"i " m "0 " D "ł ł
l4
1 d2 ("h) d("h)
ł łł
" + " + "h =
2 2
łł 0 ł2 ł ł dt
dt2
ł ł 0 ł
l2 łł
ł ł ł
2 "łł ł -1ł i " m " 2 "ł ł "łł ł -1ł
n n
łł n ł ł
l1 łł n łł ł
ł łł
łł łł łł łł łł
2 " R
n
= " "
2
ł
l2 l4 łł 0 ł
ł
n " " "łł ł -1ł
l1 l3 łł n łł ł
łł łł
Wyra\enia stałe występujące przy zmiennych mo\na zastąpić następującymi stałymi:
1
2
Tr2 =
łł 0 ł2 ł
łł ł -1ł " 2
n
łł n ł ł
łł łł łł
2
ł ł
l5
2 " 0 " D " ł ł
2
ł ł
l4 ł ł
l1 l5
ł łł 2 2
ł ł
Tr1 = " Tr2 = 2 " 0 " D " " " Tr2
ł
2
l2 l4 ł
ł łł
ł ł
l2
ł ł
ł ł
l1
ł łł
2 " Rn l1 l3
2
Kr = = 2 " Rn " " " n " Tr2
2
ł l2 l4
l2 l4 łł 0
łł ł -1ł " n
" " ł
l1 l3 łł n ł ł
łł łł łł
Po wprowadzeniu wcześniej wyprowadzonego częstościowego warunku wewnętrznej
stabilności regulatora
2
0 > 2
n
do równań ww stałych współczynników mo\na stwierdzić, \e warunkiem koniecznym i
wystarczającym do uzyskania wewnętrznej stabilności regulatora odśrodkowego są dodatnie
wartości wszystkich stałych T2, T1, K ale nie jest to warunek wystarczający do uzyskania
stabilności układu regulacji z ujemnym sprzę\eniem zwrotnym zawierającego taki regulator.
20
Wprowadzenie stałych do równania regulatora upraszcza zapis ostatecznej postaci równania
uzale\niającego przyrost przemieszczenia wolnego końca dzwigni regulatora bezpośredniego
działania "h od przyrostu częstości obrotów wałka regulatora " .
d2 ("h) d("h)
2
Tr2 " + Tr1 " + "h = Kr " "
dt
dt2
Z powy\szego równania ró\niczkowego mo\na łatwo obliczyć transmitancję operatorową
tego regulatora
"h(s) Kr
G(s) = =
2
"(s)
Tr2 " s2 + Tr1 " s + 1
mającą postać odpowiadającą członowi inercyjnemu drugiego rzędu. Zało\enia upraszczające
przyjęte w czasie wyprowadzania równania regulatora ograniczają jego poprawność do
niewielkich zmian częstości obrotów " w stosunku do częstości 0 ale pomimo to
równanie to często jest wykorzystywane tak\e do analizy dynamiki regulatora tak\e w
przypadku większych zmian częstości obrotów.
1.6. Układy hydrauliczne
Przykładowy serwomechanizm hydrauliczny z ujemnym sprzę\eniem zwrotnym składa
się z tłokowego siłownika hydraulicznego dwustronnego działania sprzę\onego
kinematycznie z pięciodrogowym suwakowym zaworem sterującym przepływem cieczy z
pompy do cylindra siłownika i powrotem cieczy z cylindra siłownika do zbiornika. Opory
ruchu suwaka zaworu sterującego są pomijalnie małe. Korpusy siłownika i zaworu są ze sobą
połączone kinematycznie w taki sposób, \e wymuszone dodatnie przemieszczenie x suwaka
zaworu sterującego (w prawo) dokonywane ze stosunkowo niewielkim oporem spowoduje
dokładne odwzorowanie tego przemieszczenia przez korpus siłownika przemieszczający się w
dodatnim kierunku y (w prawo) pomimo obcią\enia siłownika znacznymi siłami. W
neutralnym (środkowym) poło\eniu suwaka zaworu sterującego względem jego korpusu
wszystkie przyłącza zaworu sterującego są zamknięte i ruchomy korpus siłownika jest
hydraulicznie unieruchomiony względem tłoka, którego tłoczysko jest połączone z
nieruchomym układem odniesienia. W obydwu komorach siłownika panuje wtedy jednakowe
ciśnienie pa = pb = (p + p0) / 2 , przyjmuje się, \e ciśnienie to jest średnią arytmetyczną
ciśnienia zasilania p wytwarzanego przez pompę i ciśnienia powrotnego p0 panującego w
zbiorniku cieczy.
W przypadku układu otwartego utworzonego przez siłownik sterowany zaworem
suwakowym bez sprzę\enia zwrotnego korpus zaworu sterującego jest nieruchomy poniewa\
nie ma kinematycznego połączenia z siłownikiem, są tam tylko połączenia hydrauliczne
21
zrealizowane giętkimi przewodami.
Rys. 16. Przykład otwartego układu sterowania utworzonego przez siłownik sterowany
zaworem suwakowym bez sprzę\enia zwrotnego ruchu siłownika z ruchem suwaka zaworu
Je\eli przewody łączące siłownik z zaworem sterującym nie są skrzy\owane (jak na rysunku)
to ruch tłoczyska siłownika względem korpusu siłownika ma zwrot przeciwny do zwrotu
ruchu wrzeciona zaworu suwakowego względem jego korpusu. Krzy\ując te przewody
(zazwyczaj elastyczne ) mo\na łatwo zmienić zwrot ruchu tłoczyska bez zmiany
matematycznego opisu wzmacniacza hydraulicznego.
Przemieszczenie suwaka zaworu suwakowego względem jego korpusu jest równe
bezwzględnemu przemieszczeniu suwaka
ebez sprzęprzę\ = x
poniewa\ w tym przypadku korpus zaworu jest unieruchomiony i nie ma kinematycznego
połączenia z siłownikiem. Przesunięcie suwaka o odcinek x otworzy w zaworze suwakowym
dwie obwodowe szczeliny. Efektywne przeloty ka\dej z tych szczelin
Ae = " Ą " ds " e = " Ą " ds " x
połączą kanały ciśnieniowe pompy z prawą komorą Vb siłownika oraz lewą komorę Va z
przewodem powrotnym i zbiornikiem cieczy. Wtedy ciecz o ciśnieniu p wytwarzanym przez
pompę przepływa do komoryVb przemieszczając korpus siłownika w prawo. Na skutek tego
ruchu pojemność prawej komory siłownika powiększa się a pojemność lewej komory Va
zmniejsza się i ciecz z lewej komory jest wytłaczana do zbiornika przez tak\e otwarte kanały
powrotne zaworu sterującego. Ruch korpusu siłownika będzie trwał tak długo, jak długo
suwak będzie wychylony z poło\enia neutralnego lub do chwili, gdy siłownik przemieści się
22
do skrajnego poło\enia. Przemieszczenie x suwaka zaworu sterującego jest zewnętrznym
sygnałem sterującym wchodzącym do serwomechanizmu a przemieszczenie y korpusu
siłownika jest wzmocnionym sygnałem wychodzącym z serwomechanizmu.
W przypadku układu zamkniętego utworzonego przez serwomechanizm z ujemnym
sprzę\eniem zwrotnym korpus zaworu sterującego jest sztywno połączony z korpusem
siłownika i przemieszcza się wraz z nim. Bezwzględne przemieszczenie suwaka zaworu
sterującego w prawo o odcinek x doprowadzi do wystąpienia bezwzględnego
przemieszczenia cylindra siłownika i sztywno z nim połączonego korpusu zaworu
suwakowego o odcinek y .
Rys. 17. Przykład zamkniętego układu regulacji utworzonego przez serwomechanizm hydrauliczny z
ujemnym sprzę\eniem zwrotnym zło\ony z suwakowego zaworu sterującego i siłownika hydraulicznego
obcią\onego siłą bezwładności masy, siłą tłumienia i siłą sprę\ystości sprę\yny
Na skutek tych dwóch ruchów wystąpi względne wychylenie suwaka w stosunku do korpusu
zaworu o odcinek
eze sprzęprzę\m = e = x - y
równy ró\nicy bezwzględnych przesunięć suwaka x oraz korpusu siłownika y , a to otworzy
w zaworze dwie obwodowe szczeliny. Efektywne przeloty ka\dej z tych szczelin
Ae = " Ą " ds " e = " Ą " ds " (x - y)
połączą kanały ciśnieniowe pompy z prawą komorą Vb siłownika oraz lewą komorę Va z
przewodem powrotnym i zbiornikiem cieczy. Wtedy ciecz o ciśnieniu p wytwarzanym przez
pompę przepływa do komoryVb przemieszczając korpus siłownika w prawo. Na skutek tego
ruchu pojemność prawej komory siłownika powiększa się a pojemność lewej komory Va
zmniejsza się i ciecz z lewej komory jest wytłaczana do zbiornika przez tak\e otwarte kanały
powrotne zaworu sterującego. Wraz z przemieszczającym się korpusem siłownika przesuwa
23
się w prawo korpus zaworu sterującego połączony z korpusem siłownika powodując tym
samym zmniejszenie względnego wychylenia suwaka zaworu e w stosunku do korpusu tego
zaworu i stopniowy powrót wychylenia zaworu sterującego do poło\enia neutralnego. Po
osiągnięciu poło\enia neutralnego korpus siłownika samoczynnie zatrzymuje się.
Przemieszczenie x suwaka zaworu sterującego jest zewnętrznym sygnałem sterującym
wchodzącym do serwomechanizmu a przemieszczenie y korpusu siłownika jest
wzmocnionym sygnałem wychodzącym z serwomechanizmu.
1.6.1. Stan nieustalony serwomechanizmu hydraulicznego
Model matematyczny serwomechanizmu hydraulicznego tworzy równanie sumy sił
działających na ruchome części siłownika i dwa równania bilansu ilości cieczy w obydwu
komorach siłownika. W równaniu sumy sił działających na masę m ruchomych części
siłownika
d2y dy
m " + b " + c " y = A " (pb - pa )
dt
dt2
S.bezw S.tlum S.sprez S.cisnienia
pierwszy człon oznacza siłę bezwładności działającą na masę ruchomych części siłownika,
drugi człon oznacza siłę tłumienia wiskotycznego działającego na ruchome części siłownika,
trzeci człon oznacza siłę sprę\ystości elementów sprę\ystych uginanych przez siłownik,
czwarty człon oznacza siłę wymuszającą spowodowaną ró\nicą ciśnienia działającego na tłok
siłownika.
W równaniach bilansu przepływu cieczy strumień objętości cieczy dopływającej do komory
oznacza się jako dodatni a dla cieczy wypływającej jako ujemny. W czasie ruchu cylindra
siłownika w prawo (jak na rysunku) z lewej lewej komory siłownika o chwilowej pojemności
o
całkowitej Va ciecz wypływa i jest Qa < 0 ,
o
dy Va dpa
- A " + " = - Qa
dt Ba dt
Ruch tloka Scisliwosc Wyplyw cieczy
a do prawej komory siłownika o chwilowej pojemności całkowitej Vb ciecz dopływa i jest
o
Qb > 0 .
o
dy Vb dpb
A " + " = Qb
dt Bb dt
Ruch tloka Scisliwosc Doplyw cieczy
24
W równaniach przepływu dla obydwu komór pierwsze człony oznaczają strumień objętości
cieczy wpływającej do komory na skutek przyrostu pojemności komory spowodowanego
ruchem tłoka w cylindrze, drugie człony oznaczają strumień objętości cieczy wpływającej do
komory na skutek podatności układu hydraulicznego spowodowanej zmniejszeniem się
właściwej objętości v cieczy w komorze na skutek ściśliwości cieczy i powiększeniem się
łącznej pojemności komory spowodowanego rozciągliwością ścian komory, trzecie człony
oznaczają sumaryczny strumień objętości cieczy dopływającej do komory.
Względny przyrost objętości właściwej v cieczy w komorze i przewodzie
ciśnieniowym o łącznej pojemności V spowodowany przyrostem ciśnienia o dp mo\na
obliczyć z równania.
dV dv dp
ł ł
= = -
ł ł
V v Bciecz
ł łłciecz
Stąd mo\na obliczyć wartość modułu ściśliwości cieczy
dp
Bciecz = - V "
dV
która dla standardowej cieczy hydraulicznej wynosi Bciecz =1500 - 2000 [MPa] w
temperaturze 20 C i maleje w miarę wzrostu zawartości gazu w cieczy i spadku ciśnienia.
W celu uwzględnienia przyrostu pojemności komory na skutek odkształceń jej
ścianek wywołanych przyrostem ciśnienia równanie pojemności walcowej komory o długości
l i o średnicy otworu D
D2
(V)kom = Ą " " l
4
logarytmuje się
(ln V)kom = ln Ą + 2 " ln D - ln 4 + lnl
i ró\niczkuje
dV dD dl
ł ł
= 2 " +
ł ł
V D l
ł łłkom
oraz względne przyrosty średnicy D i długości l walcowej komory o grubości ścianki g
wykonanej z materiału o module sprę\ystości E uzale\nia się od naprę\eń rozciągających
panujących w tej ściance. Tak otrzymane równanie
25
dV dD dl D l
ł ł
= 2 " + = 2 " D + l = 2 " + =
ł ł
V D l E E
ł łłkom
ł ł
dp 5 D dp
ł2 " D " l + Ą " D2 / 4 ł
" = " "
ł ł
2 " l " g Ą " D " g E 4 g E
ł łł
opisuje względny przyrost pojemności pojedynczej komory spowodowany odkształceniem jej
ścianek na skutek przyrostu ciśnienia o dp . Je\eli w skład układu hydraulicznego wchodzi
kilka połączonych ze sobą elementów obcią\onych tym samym ciśnieniem (np. komora
siłownika, przewody ciśnieniowe i ciecz ), to stosunek sumarycznej objętości cieczy
dopływającej do tego układu (tylko na skutek ściśliwości cieszy i odkształcalności ścianek
komory i przewodów) do sumarycznej pojemności tego układu
ł ł
dV
ł ł
ł- ł dV ł " Vciecz + ł dV ł " Vkom + ł dV ł " Vprzew ł
" Vsum =
ł ł ł ł ł ł ł ł
ł ł
V V V V
ł łłsum ł łłciecz ł łłkom ł łłprzew
ł łł
mo\na uzale\nić od współczynnika zastępczej ściśliwości B dla całego układu zło\onego z
cieczy, komory i przewodu ciśnieniowego łączącego tę komorę z zaworem suwakowym.
Vprzew
dV dp dp Vciecz dp Vkom dp
ł ł
= = " + " + "
ł ł
V B Bciecz Vsum Bkom Vsum Bprzew Vsum
ł łłsum
Po uwzględnieniu, \e ciecz wypełnia cały układ, tzn. \e Vcieczy = Vsum mo\na obliczyć
odwrotność współczynnika zastępczej ściśliwości układu
Vprzew
1 1 1 Vkom 1
= + " + "
B Bciecz Bkom Vsum Bprzew Vsum
Je\eli w układzie hydraulicznym oprócz metalowej komory i metalowego przewodu
występuje tak\e przewód elastyczny (np. zbrojony gumowy), to dla przewodu gumowego
wprowadza się umowny współczynnik ściśliwości oparty na empirycznym spostrze\eniu, \e
w zakresie zmian ciśnienia do ok. 20 MPa pojemność przewodu elastycznego powiększa się
w przybli\eniu proporcjonalnie do przyrostu ciśnienia i dla przyrostu ciśnienia o 20 MPa
objętość przewodu powiększa się o ok. 20%. Stąd mo\na obliczyć umowny współczynnik
ściśliwości dla przewodu elastycznego
"p 20MPa
Bgum = = = 100MPa
"V
ł ł 0.2
ł ł
V
ł łłgum
26
oraz całego układu zło\onego ze stalowej komory, stalowego przewodu i elastycznego
przewodu.
Vprzew 1 Vgum
1 1 1 Vkom 1
= + " + " + "
4 g 4 g
B Bciecz " " Eł Vsum " " Eł Vsum Bgum Vsum
ł ł
ł ł ł ł
5 D 5 D
ł łłkom ł łłprzew
Przeciętne wartości stałych materiałowych występujących powy\szym równaniu są
następujące: Bciecz =1500 - 2000 MPa , Estal = 2.11E + 5 MPa ,
Bgum =100 MPa .
Znając współczynnik zastępczej ściśliwości układu B i czynną powierzchnię
poprzecznego przekroju A cylindra siłownika mo\na obliczyć stałą sprę\ystości dla
pojedynczej komory siłownika znajdującej się z jednej strony tłoka
dP A " dp dp dp A2 dp A2
c = = = A2 " = A2 " = " = " B
dV
dx dx A " dx dV V ł ł V
ł ł
V
ł łł
W przypadku siłownika dwustronnego działania obydwie komory znajdujące się po
przeciwnych stronach tłoka są wypełnione cieczą pod ciśnieniem i tworzą dwa elementy
sprę\yste połączone z ruchomą masą równolegle, ponadto z masą mo\e być równie\
połączony równolegle zewnętrzny element sprę\ysty (je\eli taki w układzie występuje jak
na rysunku). Zastępcza stała sprę\ystościcz siłownika uwzględniająca ściśliwość cieczy,
sprę\ystość korpusu siłownika i przewodów łączących siłownik z zaworem sterującym oraz
sprę\ystość zewnętrznych elementów sprę\ystych jest sumą stałych sprę\ystości: stałej ca
dla komory a i stałej cb dla komory b oraz stałej sprę\ystości czewn .zewnętrznego
elementu sprę\ystego (je\eli taki występuje).
2
A2
Aa
b
cz = ca + cb + czewn = " Ba + " Bb + czewn
Va Vb
W szczególnym przypadku hydraulicznej symetryczności obydwu stron siłownika, tzn gdy
Aa = Ab = A , Va = Vb = V , Ba = Bb = B ( jest to mo\liwe tylko w środkowym
poło\eniu tłoka w siłowniku z przelotowym tłoczyskiem), to wtedy zastępcza stała
sprę\ystości wynosi
A2
cz sym = 2 " " B + czewn
V
Znając zastępczą stałą sprę\ystości cz układu i całkowitą masę m wszystkich części
sztywno połączonych z ruchomym tłokiem siłownika (lub z ruchomym cylindrem jak na
27
rysunku) mo\na obliczyć częstość kątową drgań własnych układu mechaniczno
hydraulicznego
cz
0 =
m
która jest bardzo istotnym parametrem dynamicznym tego układu.
Siłownik dwustronny
180
160
140
120
bezp
100
stal
80
gum
60
40
20
0
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Poło\enie tłoka mm
Rys. 18.Częstotliwość drgań własnych części ruchomych o łącznej masie 500 kg złączonych
kinematycznie z dwustronnym siłownikiem hydraulicznym o D=100mm, g=5mm,
hmax= ą 125mm połączonym z zaworem suwakowym serwomechanizmu bezpośrednio
(bezp), przewodami stalowymi o d=10mm, g=2.5mm, l=2500mm (stal) i przewodami
elastycznymi (gum) o wewnętrznych wymiarach takich samych jak dla przewodów stalowych
Wpływ odkształcalności stalowej komory i stalowych przewodów na zastępczą wartość
współczynnika ściśliwości jest zazwyczaj mały w porównaniu ze ściśliwością cieczy i mo\e
być zaniedbany natomiast odkształcalność elastycznych (gumowych) przewodów
ciśnieniowych jest zazwyczaj znacząca i powinna być uwzględniana w obliczeniach
współczynnika zastępczej ściśliwości i częstotliwości drgań własnych układu.
Odkształcalność przewodów ciśnieniowych znajdujących się przed zaworem suwakowym
(np. przewód ciśnieniowy łączący pompę z zaworem suwakowym) nie ma istotnego wpływu
na dynamikę układu i w obliczeniach dynamiki nie jest uwzględniana.
Strumień objętości cieczy przepływającej przez szczeliny otwartego zaworu sterującego
zale\y od powierzchni efektywnego przelotu pierścieniowych szczelin Ae = " Ą " ds " e
o liczbie przepływu , średnicy ds i o szerokości równej przemieszczeniu e suwaka
względem korpusu zaworu sterującego, od gęstości cieczy i od ró\nicy ciśnienia
"p = p - pk panującego przed i za zaworem sterującym. Równanie opisujące strumień
28
Cz
ę
stotliwo
ść
własna Hz
objętości cieczy przepływającej przez pierścieniowe szczeliny suwakowego zaworu
sterującego
o
"p "p
Q = " Ą " ds " e " 2 " = Ae " 2 "
jest nieliniowe poniewa\ oprócz iloczynu wartości stałych (liczby przepływu , Ą, ds )
występuje w nim mno\enie dwu zmiennych: zmiennej e (uwzględniającej zmianę przelotu
zaworu na skutek przysłonięcia otworu suwakiem) przez pierwiastek drugiej zmiennej "p
(wyra\ającej ró\nicę ciśnień). Dla uzyskania modelu matematycznego opisanego analitycznie
rozwiązywalnym układem równań liniowych równanie przepływu zostanie zlinearyzowane
przez przyjęcie zało\enia, \e dla niewielkich zmian względnego wychylenia e = x - y
suwaka zaworu sterującego ró\nica ciśnienia "p zmienia się w niewielkim stopniu i mo\e
być traktowana jako wartość niezmienna. Ponadto zakłada się, \e nadciśnienie panujące w
przewodzie zasilającym zawór suwakowy jest sumą dwóch jednakowych spadków ciśnienia:
w otworze kanału dopływowego "pa i w otworze kanału zwrotnego "pb .
p - p0 = "pa + "pb H" 2 " "p
Po uwzględnieniu tego uproszczenia i przyjęciu, \e
"p H" 0.5 " (p - p0) = const
otrzymuje się zlinearyzowane równanie strumienia objętości
o
"p p - p0 p - p0
Q = Ae " 2 " H" " Ą " ds " e " = " Ą " ds " " e = C " e
uzale\niające strumień objętości cieczy tylko od stałej zaworu
p - p0
C = " Ą " ds "
i od zmiany względnego przesunięcia suwaka względem cylindra e = x - y .
o
Q = C "e = C "(x - y)
Zało\enia te pozwalają utworzyć liniowy model matematyczny serwomechanizmu z ujemnym
sprzę\eniem zwrotnym opisany układem trzech zwyczajnych równań ró\niczkowych:
równanie sił działających na tłok siłownika
29
d2y dy
m " + b " + c " y = A " (pb - pa )
dt
dt2
sila bez sila tlum sila sprez sila cisn
równanie bilansu cieczy wypływającej z komory A siłownika
dy Va dpa
- A " + " = - Ca " (x - y)
dt Ba dt
wsuw tloka scisliwosc wyplyw cieczy
równanie bilansu cieczy dopływającej do komory B siłownika
dy Vb dpb
A " + " = Cb " (x - y)
dt Bb dt
wysuw tloka scisliwosc doplyw cieczy
W ww równaniach występują trzy niewiadome y, pa , pb oraz jedna znana funkcja
wymuszająca x .
W przypadku siłownika sterowanego zaworem suwakowym bez sprzę\enia zwrotnego
strumień objętości cieczy tylko od bezwzględnego przemieszczenia suwaka poniewa\ w tym
przypadku cylinder zaworu jest nieruchomy i wtedy e = x . Dla takiego przypadku układ
równań przybiera nieco prostszą postać
d2y dy
m " + b " + c " y = A " (pb - pa )
dt
dt2
dy Va dpa
- A " + " = - Ca " x
dt Ba dt
dy Vb dpb
A " + " = Cb " x
dt Bb dt
w której tak\e występują trzy niewiadome y, pa , pb oraz jedna znana funkcja wymuszająca
x . Wymiarowy współczynnik wiskotycznego tłumienia b występujący w równaniu sumy
momentów
b = bkryt " D = 2 " m " 0 " D
0
mo\na uzale\nić od częstości kątowej własnych drgań ruchomych mas m siłownika i
od bezwymiarowego stopnia tłumienia drgań D zawierającego się w granicach 0 < D <1
dla członów oscylacyjnych.
30
Obydwa powy\sze modele są rozwiązywalne metodami analitycznymi i pozwalają
obliczyć przebiegi ciśnienia w obydwu komorach siłownika pa , pb i przemieszczenie
ruchomego korpusu y tego siłownika w zale\ności od przemieszczenia suwaka x zaworu
sterującego. Tak uproszczone modele są zadawalająco dokładne dla niewielkich wartości
wychyleń suwaka zaworu sterującego.
Po transformacji Laplace układu równań serwomechanizmu z ujemnym sprzę\eniem
zwrotnym przeprowadzonej dla zerowych warunków początkowych
y(t=0) = 0
pa(t=0) = 0
pb(t=0) = 0
otrzymuje się algebraiczny układ trzech równań transformat
(m " s2 + b " s + c) " y(s) = A " (pb(s) - pa(s) )
Va
- A " s " y(s) + " s " pa(s) = - Ca " (x(s) - y(s))
Ba
Vb
A " s " y(s) + " s " pb(s) = Cb " (x(s) - y(s))
Bb
który mo\na łatwo rozwiązać np. metodą eliminacji zmiennych. W tym celu z równania
drugiego i trzeciego mo\na obliczyć transformaty ciśnienia
A " s " y(s) - Ca " (x(s) - y(s))
pa(s) =
Va
" s
Ba
- A " s " y(s) + Cb " (x(s) - y(s) )
pb(s) =
Vb
" s
Bb
i podstawić je do równania pierwszego. W tak otrzymanym ogólnym równaniu wzmacniacza
hydraulicznego z ujemnym sprzę\eniem zwrotnym
(m " s2 + b " s + c) " y(s) =
- A " s " y(s) + Cb " (x(s) - y(s)) A " s " y(s) - Ca " (x(s) - y(s))
= A " ( - )
Vb Va
" s " s
Bb Ba
występuje jedna niewiadoma y(s) i jedna znana funkcja wymuszająca x(s) Po
rozdzieleniu zmiennych i przekształceniu równania ogólnego do postaci
31
A " s + Cb A " s + Ca Cb Ca
[m " s2 + b " s + c + A " ( + )]" y(s) = A " ( + ) " x(s)
Vb Va Vb Va
" s " s " s " s
Bb Ba Bb Ba
i po uporządkowaniu wyrazów otrzymuje się ostateczną postać obowiązującą dla układu
zamkniętego utworzonego przez hydrauliczny serwomechanizm z ujemnym sprzę\eniem
zwrotnym.
1 1 Cb Ca 1 Cb Ca 1
[m "s2 + b "s + c + A2 "( + ) + A "( + ) " ]" y(s) = A "( + ) " " x(s)
Vb Va Vb Va s Vb Va s
Bb Ba Bb Ba Bb Ba
W przypadku układu otwartego utworzonego przez zawór połączony z siłownikiem bez
sprzę\enia zwrotnego (ebez sprzęprzę\ = x - 0 = x ) prawa strona równania ogólnego
upraszcza się
(m " s2 + b " s + c) " y(s) =
- A " s " y(s) + Cb " x(s) A " s " y(s) - Ca " x(s)
= A " ( - )
Vb Va
" s " s
Bb Ba
i wtedy otrzymuje się nieco prostszą postać równania
1 1 Cb Ca 1
[m "s2 + b "s + c + A2 "( + )]" y(s) = A "( + ) " " x(s)
Vb Va Vb Va s
Bb Ba Bb Ba
obowiązującego dla wzmacniacza hydraulicznego bez sprzę\enia zwrotnego.
Dla uproszczenia zapisu do powy\szych równań mo\na wprowadzić nowe stałe
ł ł
ł ł
ł ł
1 1 Bb Ba
ł ł
ł ł
Kw = c + A2 " + = c + A2 " +
ł
ł ł
Vb Va
Vb Va ł
ł łł
ł
Bb Ba ł
ł łł
ł ł
ł ł
ł ł
Cb Ca ł Cb " Bb Ca " Ba
ł
ł ł
U = A " + = A " +
ł
ł ł
Vb Va
Vb Va ł
ł łł
ł
Bb Ba ł
ł łł
32
p - p0
Ca = Cb = C = " Ą " ds "
i z tak otrzymanych równań transformat dla układu zamkniętego (serwomechanizm z
ujemnym sprzę\eniem zwrotnym)
1 1
(m "s2 + b "s + Kw + U " ) " y(s) = U " " x(s)
s s
oraz dla układu otwartego (zawór z siłownikiem bez sprzę\enia zwrotnego)
1
(m "s2 + b "s + Kw) " y(s) = U " " x(s)
s
mo\na obliczyć odpowiednie transmitancje operatorowe dla wzmacniacza hydraulicznego z
ujemnym sprzę\eniem zwrotnym
y(s)
U
Gzam(s) = = =
1
x(s)
(m " s2 + b " s + Kw + U " ) " s
s
U
= =
m " s3 + b " s2 + Kw " s + U
1
= =
m b Kw
" s3 + " s2 + " s + 1
U U U
1
=
2
Tw3 " s3 + Tw " s2 + Tw1 " s + 1
2
3
i dla wzmacniacza bez sprzę\enia zwrotnego.
y(s)
U
Gotw(s) = = =
x(s)
(m " s2 + b " s + Kw) " s
U
= =
m " s3 + b " s2 + Kw " s
1
= =
m b Kw
" s3 + " s2 + " s
U U U
1
=
2
Tw3 " s3 + Tw " s2 + Tw1 " s
2
3
33
W równaniach obydwu transmitancji wartości współczynnika wzmocnienia Khw =1 oraz
wartości stałych czasowych tego wzmacniacza oznaczonych odpowiednimi symbolami są
jednakowe.
m m
Tw3 = =
3
U ł ł
Cb " Bb Ca " Ba
ł ł
A " +
ł
Vb Va ł
ł łł
b b 2 " m " 0 " D
2
Tw = = = =
2
U ł ł ł ł
Cb " Bb Ca " Ba ł Cb " Bb Ca " Ba ł
ł ł
A " + A " +
ł ł
Vb Va ł Vb Va ł
ł łł ł łł
= 2 " 0 " D " Tw3
3
ł ł
Bb Ba
ł ł
c + A2 " +
ł
Vb Va ł
Kw
ł łł
Tw1 = =
U ł ł
Cb " Bb Ca " Ba
ł ł
A " +
ł
Vb Va ł
ł łł
W zaworze suwakowym jest zazwyczaj
p - p0
Ca = Cb = C = " Ą" ds "
W poło\eniu środkowym tłoka siłownika w cylindrze jest zazwyczaj
Va = Vb
Ba = Bb
1.7. Regulator odśrodkowy z serwomechanizmem
Dla osiągnięcia du\ych sił przy pomocy regulatora odśrodkowego o niewielkich rozmiarach
stosuje się układy zło\one zawierające regulator odśrodkowy i szeregowo z nim połączony
serwomechanizm hydrauliczny z ujemnym sprzę\eniem zwrotnym wielokrotnie
powiększający siłę działającą na człon wykonawczy.
34
Rys. 19. Regulator odśrodkowy z serwomechanizmem hydraulicznym zawierającym ujemne
sprzę\enie zwrotne
Zgodnie z zasadami szeregowego łączenia członów zastępcza transmitancja operatorowa
takiego układu jest iloczynem transmitancji operatorowej regulatora i transmitancji
operatorowej wzmacniacza hydraulicznego z ujemnym sprzę\eniem zwrotnym
Gzast (s) = Greg (s) " Gwzm (s)
Po uwzględnieniu wcześniej wyprowadzonych równania transmitancji operatorowej
regulatora odśrodkowego
"h(s) h(s) Kr
Greg (s) = = =
2
"(s) (s)
Tr2 " s2 + Tr1 " s +1
i transmitancji operatorowej wzmacniacza hydraulicznego z ujemnym sprzę\eniem zwrotnym
H(s)
1
Gwzm(s) = =
h(s)
Tw3 " s3 + Tw2 " s2 + Tw1 " s + 1
2
3
otrzymuje się równanie transmitancji zastępczej takiego makroukładu
35
H(s)
Gzast (s) = Greg (s) * Gwzm(s) = =
(s)
Kr 1
= "
2 2
Tr2 " s2 + Tr1 " s + 1 Tw3 " s3 + Tw " s2 + Tw1 " s +1
2
3
zło\onego z odśrodkowego przetwornika prędkości obrotowej szeregowo połączonego z
serwomechanizmem hydraulicznym zawierającym wewnętrzne ujemne sprzę\enie zwrotne.
1.8. Układy pneumatyczne
`1.8.1. Siłowniki pneumatyczne
.
Rys. 20. Pneumatyczny układ otwarty z siłownikiem jednostronnego działania
36
Rys. 21. Pneumatyczny układ otwarty z siłownikiem dwustronnego działania
Je\eli do opisu siłownika pneumatycznego wprowadzi się współczynnik ściśliwości
gazu zdefiniowany tak samo jak dla cieczy
dV dv dp
ł ł
= = -
ł ł
V v Bciecz
ł łłciecz
i uwzględni się odpowiednie równanie dp / dV wyprowadzone dla gazu przy zało\eniu, \e
szybkie zmiany ciśnienia gazu w komorze mo\na z dostateczną dokładnością opisać
przemianą izentropową
p " V = const
to logarytmując to równanie
ln p + " ln V = const
i ró\niczkując
dp dV
+ " = 0
p V
mo\na obliczyć, \e dla nieskończenie małych przyrostów ciśnienia jest
37
dp p p
ł ł
= - " H" - "
ł ł
dV V V
ł łłsred
Po podstawieniu powy\szej zale\ności do równania ściśliwości otrzymuje się równanie
modułu ściśliwości obowiązujące dla gazu
dp
ł- p
ł
Bgaz = - V " = - V " " = " p
ł ł
dV V
ł łł
Tak obliczona wartość współczynnika ściśliwości dla dwuatomowego gazu o wykładniku
adiabaty =1.4 podlegającemu izentropowej przemianie stanu i o ciśnieniu absolutnym
p = 0.7 [MPa] ma wartość Bgazu =1.4 " 0.7 = 0.98[MPa] ok. 2000 razy mniejszą od
odpowiedniej wartości dla standardowej cieczy hydraulicznej wynoszącej
Bciecz =1500 - 2000 [MPa] w temperaturze 20 C.
W przypadku pneumatycznego tłokowego siłownika dwustronnego działania bez
sprzę\enia zwrotnego równania ogólne transmitancji operatorowej i częstotliwości drgań
własnych są identyczne jak dla układu hydraulicznego bez sprzę\enia zwrotnego,
y(s)
U
Gotw(s) = =
x(s)
(m " s2 + b " s + K) " s
inne wartości ma jedynie współczynnik ściśliwości, który dla cieczy wynosił ok.
Bciecz = 2000 MPa a dla gazu o ciśnieniu absolutnym p = 0.7 MPa wynosi ok.
Bgaz = 0.98 MPa .
Siłownik dwustronny
4,5
4
3,5
3
bezp
2,5
stal
2
gum
1,5
1
0,5
0
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
Poło\enie tłoka mm
38
Cz
ę
stotliwo
ść
własna Hz
Rys. 22.Częstotliwość nie tłumionych drgań własnych części ruchomych o łącznej masie 500
kg złączonych kinematycznie z dwustronnym siłownikiem pneumatycznym o D=100mm,
g=5mm, hmax= ą 125mm połączonym z zaworem suwakowym serwomechanizmu
bezpośrednio (bezp), przewodami stalowymi o d=10mm, g=2.5mm, l=2500mm (stal) i
przewodami elastycznymi (gum) o wewnętrznych wymiarach takich samych jak dla
przewodów stalowych, absolutna wartość ciśnienia nominalnego sprę\onego powietrza 0.7
MPa
Zilustrowane na powy\szym rysunku wyniki obliczeń przeprowadzonych dla siłownika
pneumatycznego dwustronnego działania o wymiarach i budowie identycznej z siłownikiem
hydraulicznym omówionym na rys. 18 wykazały, \e częstotliwość drgań własnych części
ruchomych układu siłownik obcią\enie dla układu pneumatycznego wynosząca ok. 2.3 Hz
w środkowym poło\eniu tłoka jest ponad 20 krotnie mniejsza od odpowiedniej wartości dla
siłownika hydraulicznego wynoszącej ok. 50 Hz dla najniekorzystniejszego przypadku
(najmniejsza wartość częstotliwości drgań własnych) hydraulicznego siłownika połączonego
długimi gumowymi przewodami z zaworem sterującym. Ze względu na małą wartość modułu
ściśliwości gazu podatność przewodów nie ma zauwa\alnego wpływu na częstotliwość drgań
własnych pneumatycznego układu siłownik obcią\enie i zastosowanie przewodów
elastycznych w układzie pneumatycznym nie ma istotnego wpływu na tę częstotliwość. Niska
wartość częstotliwości drgań własnych ogranicza przydatność układów pneumatycznych do
sterowania procesami wymagającymi du\ych szybkości działania.
1.8.2. Linia pneumatyczna
Model dyskretny procesów przepływowych w linii pneumatyczne utworzonej przez układ
pneumatyczny zło\ony z dość długiego przewodu połączonego ze zwartą komorą o dość
du\ych i pomijalnie mało zmieniających się pojemnościach analizuje się zakładając, \e gaz o
gęstości znajdujący się w przewodzie o długości l i o powierzchni przekroju poprzecznego
A mo\na potraktować jako nieodkształcalną masę ( tłok )
m = A " l "
natomiast ten sam gaz znajdujący się w nieodkształcalnej komorze o pojemności V traktuje
się jako niewa\ki element sprę\ysty o stałej sprę\ystości
dF A " dp dp
c = = = - A2 "
- dV
dx dV
A
39
wyra\ającej stosunek przyrostu siły ciśnienia działającego na tłok do przyrostu statycznego
przemieszczenia tego tłoka. W powy\szym równaniu przemieszczenie masy gazu w
przewodzie ( tłoka ) w kierunku zbiornika (odpowiadające ściskaniu sprę\yny) przyjęto jako
dodatnie.
Rys. 23. Pneumatyczny rezonator Helmholtza zło\ony ze zbiornika o pojemności V połączonego z
przewodem o długości l i o powierzchni przekroju poprzecznego A oraz dyskretny model tego
rezonatora
W modelach pneumatycznych zazwyczaj nie uwzględnia się odkształceń ścian komory i
przewodu spowodowanych zmianami ciśnienia gazu poniewa\ panujące tam ciśnienia są
niezbyt wysokie i zazwyczaj nie przekraczają 1 MPa. Dla szybkich zmian ciśnienia p0(t)
działającego z zewnątrz na masę medium w przewodzie ( tłok ) przyrost ciśnienia dp w
zbiorniku o pojemności V spowodowany zmniejszeniem się efektywnej pojemności
zbiornika o objętość zajętą przez słup medium ( tłok ) o objętości dV wtłoczony do
zbiornika z przewodu oblicza się z równania izentropy o wykładniku izentropy
p " V = const
Logarytmując i ró\niczkując równanie izentropy p " V = const mo\na obliczyć, \e dla
nieskończenie małych przyrostów ciśnienia jest
dp p p
ł ł
= - " H" - "
ł ł
dV V V
ł łłsred
40
Po uwzględnieniu wcześniej wyprowadzonego równania dp / dV równanie stałej
sprę\ystości gazu w zbiorniku przybiera taką postać.
dF dp p p
ł ł
c = = - A2 " = " A2 " H" " A2 "
ł ł
dx dV V V
ł łłsred
W zakresie przepływów burzliwych o Liczbie Reynoldsa Re = w " l/ > 4000 stratę
ciśnienia spowodowaną oporem tarcia słupa gazu o ścianki chropowatego przewodu mo\na
zgodnie z równaniem Bernouli
2
l l dx
ł ł
"p = " " " w2 = " " "
ł ł
d d dt
ł łł
uzale\nić od współczynnika zale\nego od względnej chropowatości wewnętrznych ścianek
przewodu ( zawiera się w granicach od 0.001 dla rur hydraulicznie gładkich do ok.0.04 dla
rur o względnej chropowatości d / k =100), od długości l , od średnicy d przewodu i od
gęstości medium w przewodzie ale tak otrzymane wyra\enie
2
d2x l dx p
A " l"" + A " " ""ł ł + " A2 "ł ł " x = A " p0(t)
ł ł ł ł
d dt V
ł łł ł łłsred
dt2
S.bezwlad S.oporu S.sprezyst S.wymusz
jest nieliniowe względem prędkości przepływu w = dx / dt medium w przewodzie poniewa\
strata ciśnienia jest proporcjonalna do drugiej potęgi prędkości.
Rys. 24. Linearyzacja członu nieliniowego metodą cięciwy
41
Dla uzyskania liniowego równania ró\niczkowego rozwiązywalnego metodami
analitycznymi wyra\enie to musi zostać zlinearyzowane. Linearyzacja równania polega
zastąpieniu członu nieliniowego innym arbitralnie przyjętym członem liniowym. W
najprostszej metodzie linearyzacji nazywanej metodą cięciwy człon nieliniowy
przedstawiający parabolę przechodzącą przez początek układu współrzędnych zastępuje się
równaniem prostej przedstawiającej cięciwę łączącą początek układu współrzędnych z
punktem odpowiadającym wartości obliczonej z zale\ności nieliniowej dla maksymalnej
wartości zmiennej niezale\nej.
l w l w
"p = " " " w2 H" "pmax " = " " " w2 "
max
d wmax d wmax
l l dx dx
= " " " wmax " w = " " " wmax " = b "
d d dt dt
Wartość współczynnika b zastępczego zlinearyzowanego oporu
l
b = " " " wmax
d
mo\na obliczać tak\e innymi metodami, np. rozwijając zale\ność nieliniową w szereg
potęgowy i pomijając wszystkie wyrazy szeregu mające stopień większy od 1 albo zakładając
harmoniczne wychylenia masy i opierając się na porównaniu pracy tarcia w rzeczywistym
układzie nieliniowym i w zastępczym układzie zlinearyzowanym; w ka\dej z tych metod
otrzymuje się nieco inne wartości liczbowe zastępczego współczynnika tłumienia. W ostatniej
metodzie opartej na zale\nościach energetycznych wartość współczynnika zlinearyzowanego
oporu będzie miała lepsze uzasadnienie fizyczne i będzie nieco inna ni\ w przypadku
linearyzacji metodą cięciwy lub metodą rozwinięcia w szereg potęgowy.
Równanie sumy sił działających na masę słupa gazu znajdującego się w przewodzie
d2x l dx p
ł ł
A " l " " + A " " " " wmax " + " A2 " " x = A " p0(t)
ł ł
d dt V
ł łłsred
dt2
S.bezwlad S.oporu S.sprezyst S.wymusz
jest równaniem ró\niczkowym liniowym drugiego rzędu i ma taką samą postać jak równanie
ró\niczkowe układu mechanicznego. Częstość kątowa nie tłumionych ( = 0 )
pneumatycznych drgań własnych układu pneumatycznego wynosi
p p
ł ł ł ł
A2 " A "
ł ł ł ł
V V
c ł łłsred ł łłsred
0 = = " = "
m A " l " l "
42
Linia pneumatyczna
60
50
40
V=0.75dm3
30 V=1.5 dm3
V=3 dm3
20
10
0
0 5 10 15 20 25
Długośćn przewodu m
Rys. 25. Częstotliwość nie tłumionych drgań własnych linii pneumatycznej utworzonej przez
komorę o niezmiennej pojemności i przewód o wewnętrznej średnicy 12.5 mm, linia jest
wypełniona powietrzem o ciśnieniu absolutnym 0.7 MPa i o temperaturze 20 C
W analizie układów pneumatycznych przemieszczenia x masy medium w przewodzie
najczęściej nie są interesujące natomiast poszukiwane są przebiegi zmian ciśnienia p
panującego w zbiorniku. W tym celu w równaniu sił zamienia się zmienne uwzględniając
równanie izentropowej przemiany stanu w zbiorniku
dp dp dp p
ł ł
= = H" - "
ł ł
dV - A " dx dV V
ł łłsred
przekształcone do postaci
1
dx = " dp
p
ł ł
A " "
ł ł
V
ł łłsred
i scałkowane stronami. Tak otrzymuje się poszukiwaną postać równania opisującego
przebieg nieskończenie małych zmian ciśnienia panującego w zbiorniku układu
pneumatycznego zło\onego z nieodkształcalnego zbiornika i długiego przewodu na którego
końcu ciśnienie jest zmienne.
l " d2p " l " " wmax dp
" + " + p = p0(t)
p
ł ł
dt2 " ł p ł " d dt
"
ł ł ł ł
V V
ł łłsred ł łłsred
43
Cz
ę
stotliwo
ść
własna Hz
Do równania wprowadza się jednoliterowe oznaczenie dla stałego wyra\enia występujących
przy drugiej pochodnej
1 l "
2
T2 = =
2
p
ł ł
0
"
ł ł
V
ł łłsred
i dla stałego wyra\enia występującego przy pierwszej pochodnej
D " l " " wmax
T1 = 2 " D " T2 " D = 2 " =
p
0 ł ł
" " d
ł ł
V
ł łłsred
Stała T2 uwzględnia częstość kątową nie tłumionych drgań własnych 0 układu a stała
T1 uwzględnia tłumienie wyra\one stopniem D wiskotycznego tłumienia występującego w
członie inercyjnym drugiego rzędu. Równanie ró\niczkowe układu pneumatycznego
zło\onego z komory i przewodu przybiera postać równania ró\niczkowego drugiego rzędu o
stałych współczynnikach opisującego człon inercyjny drugiego rzędu
d2p dp
2
T2 " + T1 " + p = p0(t)
dt
dt2
Na podstawie powy\szego równania mo\na obliczyć transmitancję operatorową układu
zbiornik przewód tworzącego linię pneumatyczną zakładając zerowe warunki początkowe
dla tego układu.
p(s) 1
G(s) = =
2
p0(s)
T2 " s2 + T1 " s + 1
Linia pneumatyczna opisana równaniem członu inercyjnego drugiego rzędu przenosi
harmoniczne sygnały pneumatyczne bez istotnego zniekształcenia amplitudy ciśnienia tych
sygnałów tylko wtedy, gdy częstotliwość tych sygnałów nie przekracza 50% wartości
częstotliwości pneumatycznych drgań własnych sygnały tej linii. W układach
pneumatycznych częstotliwości drgań własnych nie są wysokie a to oznacza, \e układy
pneumatyczne nie są przydatne do obsługi procesów szybkozmiennych.
1.9. Układy elektryczne
1.9.1. Obwody elektryczne
Drgania elektryczne są przebiegami napięcia U[V] (odpowiadającego sile w układzie
mechanicznym) oraz prądu i[A] (odpowiadającego prędkości w układzie mechanicznym)
lub ładunku Q[C] (odpowiadającego przemieszczeniu w układzie mechanicznym) w
44
obwodach elektrycznych zawierających indukcyjności L mierzone w Henrach [H],
oporności R mierzone w Omach [&!] i pojemności C mierzone w Faradach [F]. Modelem
matematycznym układu elektrycznego jest równanie sumy spadków napięć w zamkniętym
obwodzie elektrycznym (odpowiadające równaniu sumy sił w układzie mechanicznym), które
układa się na podstawie praw Kirchhoffa mówiących, \e:
1. W ka\dym węzle obwodu suma prądów dopływających jest równa sumie prądów
odpływających.
2. W ka\dym zamkniętym obwodzie suma sił elektromotorycznych E jest równa sumie
spadków napięć na członach :
" indukcyjnych,
di
U = L "
dt
" rezystancyjnych,
U = R " i
" pojemnościowych
t
1
U = " " dt
+"i
C
0
tworzących ten obwód.
Rys. 26. Obwód elektryczny zło\ony z szeregowo połączonych następujących członów: indukcyjności L ,
rezystancji R , pojemności C i zródła prądu o sile elektromotorycznej E(t)
45
Np. dla obwodu zło\onego z szeregowo połączonych członów indukcyjnego L ,
rezystancyjnego R i pojemnościowego C podłączonego do zródła o zmiennej sile
elektromotorycznej E(t) równanie sumy spadków napięć i siły elektromotorycznej ma postać
t
di 1
L " + R " i + " " dt = E(t)
+"i
dt C
0
zbli\oną do równania sumy sił w układzie mechanicznym, w którym jako zmienną zale\ną
przyjęto prędkość drgań masy. Opierając się na tej analogii mo\na stwierdzić, \e
indukcyjność L występująca w obwodzie elektrycznym odpowiada masie m występującej w
układzie mechanicznym, rezystancja R odpowiada współczynnikowi tłumienia b ,
odwrotność pojemności 1/C odpowiada stałej sprę\ystości c , E(t) odpowiada sile
wymuszającej F(t) , prąd i odpowiada prędkości drgań v . Częstość kątowa nie tłumionych
( R = 0 ) elektrycznych drgań własnych tego układu elektrycznego wynosi
c 1
0 = =
m
L " C
i okres nie tłumionych elektrycznych drgań własnych
2 " Ą
T0 = = 2 " Ą " L " C
0
Po transformacji Laplace równania całkowo ró\niczkowego przeprowadzonej przy
zało\eniu zerowych warunków początkowych otrzymuje się równanie transformaty
1
ł ł
L " s + R + " I(s) = E(s)
ł ł
C " s
ł łł
z którego mo\na obliczyć transmitancję operatorową elektrycznego układu RLC
I(s) 1 C " s
G(s) = = =
1
E(s)
L " C " s2 + R " C " s + 1
L " s + R +
C " s
wyra\ającą stosunek transformaty prądu I(s) płynącego w obwodzie do transformaty siły
elektromotorycznej E(s) przyło\onej do tego obwodu.
1.9.2. Silnik bocznikowy prądu stałego
Silniki elektryczne prądu stałego są wykorzystywane do napędu maszyn i urządzeń
je\eli do ich zasilania dostępne jest stałe napięcie, silniki te umo\liwiają łatwą zmianę
46
prędkości obrotowej w szerokich granicach. W bocznikowym silniku prądu stałego mo\na to
osiągnąć dwiema metodami:
przez zmianę prądu przepływającego przez uzwojenia wirnika realizowaną
o zmianą napięcia doprowadzonego do szczotek komutatora i zasilającego
wirnik,
o zmianą oporności dodatkowego opornika połączonego szeregowo z
uzwojeniami wirnika
przez zmianę strumienia magnetycznego w stojanie realizowaną zmianą napięcia
zasilającego obwód wzbudzenia wytwarzający strumień magnetyczny w stojanie. W
silniku, w którym stojan jest wyposa\ony tylko w magnesy stałe mo\liwości tej nie
mo\na wykorzystać.
Rys. 27. Uproszczony schemat bocznikowego silnika prądu stałego napędzającego maszynę
wymagającą regulacji prędkości obrotowej
Na przewód elektryczny o długości l [m] ustawiony w kierunku prostopadłym do linii sił
jednorodnego pola magnetycznego o indukcji B[V " s / m2] działa siła P [N]
P = B " l " i
proporcjonalna do natę\enia prądu i [A] płynącego w tym przewodzie. Indukcja pola
magnetycznego
B = " H
zale\y od natę\enia pola magnetycznego H [A / m] i od bezwzględnej przenikalności
magnetycznej [V " s / A " m] , dla pró\ni = 4 " Ą "10-7 [V " s / A " m] . Natę\enie
pola magnetycznego w cewce o długości l [m] wielokrotnie większej od jej średnicy
47
zw " iw
H =
lw
zale\y od natę\enia prądu wzbudzenia iw [A] przepływającego przez tę cewkę.
Je\eli z przewodów znajduje się w odległości r [m] od osi obrotu, to suma sił P
poszczególnych przewodów wytworzy moment obrotowy
B " l " i " H " l " i " zw " iw " l " i
M = z " P " r = z " = z " = z " = CM " i
r r r " lw
który dla stałej wartości prądu wzbudzenia iw = const jest proporcjonalny do stałej
maszyny
" zw " iw " l
CM = z " = const
r " lw
oraz do natę\enia prądu i płynącego przez te przewody.
Je\eli przewód elektryczny o długości l [m] porusza się z prędkością v [m /s] w
kierunku prostopadłym do linii sił jednorodnego pola magnetycznego o indukcji
B[V " s / m2] to w tym przewodzie indukuje się siła elektromotoryczna E [V]
E = 10-6 " B " l " v
W przypadku gdy z przewodów tworzy prostokątne ramki , których przeciwlegle poziome
boki znajdują się w odległości r [m] od osi obrotu i obracają się z prędkością kątowa
[rad /s] dookoła tej osi w przewodach jest indukowana sumaryczna siła
elektromotoryczna, której wartość maksymalna dla stałej wartości indukcji B = const ,tzn
gdy prąd wzbudzenia iw = const jest niezmienny,
E = 2 "10-6 " z " B " l " " r = 2 "10-6 " z " B " l " " r = CE "
zale\na od stałej maszyny
CE = 2 "10-6 " z " B " l " r
i od prędkości kątowej [rasd /s] występuje wtedy, gdy wektor prędkości obwodowej jest
prostopadły do linii sił. Wektor indukowanej siły elektromotorycznej jest przeciwnie
skierowany do wektora napięcia doprowadzanego do szczotek komutatora.
W stanach nieustalonych, gdy prąd doprowadzany do szczotek komutatora zmienia się,
ró\nica napięcia U(t) i indukowanej siły elektromotorycznej E jest równa sumie spadków
48
napięcia na rezystancji uzwojeń wirnika R i na indukcyjności L tych uzwojeń. Stan
nieustalony układu napędowego zło\onego z silnika bocznikowego i napędzanej maszyny jest
opisany układem trzech równań zło\onym z:
równania ró\niczkowego sumy napięć;
di
L " + R " i = U - E = U(t) - CE "
dt
równania momentu napędowego wytwarzanego przez silnik;
M = CM " i
równania ró\niczkowego sumy momentów obrotowych działających na cały układ
napędowy
d
" + b " = M
dt
w którym masowy moment bezwładności jest sumą masowego momentu bezwładności
wirnika silnika elektrycznego s i zredukowanego na oś wirnika silnika masowego momentu
bezwładności wszystkich wirujących części odbiornika mocy od a współczynnik b
wyra\a opory ruchu odbiornika mocy zlinearyzowane i zredukowane na oś wirnika silnika
przy zało\eniu, \e opory te są proporcjonalne do prędkości obrotowej.
Powy\szy układ trzech równań z trzema niewiadomymi i, M, i z jedną znaną funkcją
wymuszającą U(t) mo\na uprościć eliminując metodą podstawiania moment obrotowy M z
równania drugiego i trzeciego, wtedy otrzymuje się prostszy układ dwóch zwyczajnych
równań ró\niczkowych pierwszego rzędu z dwiema niewiadomymi i, i z jedną znaną
funkcją wymuszającą U(t)
di
L " + R " i = U(t) - E = U(t) - CE "
dt
d
" + b " = CM " i
dt
Układ ten po transformacji Laplace do dziedziny liczb zespolonych przeprowadzonej przy
zało\eniu zerowych warunków początkowych oznaczających, \e dla t = 0 i = 0, = 0
przekształca się w układ dwóch równań algebraicznych
(L " s + R) " i(s) = U(s) - CE " (s)
( " s + b) " (s) = CM " i(s)
49
który mo\na sprowadzić do jednego równania eliminując metodą podstawiania niewiadomą
i(s)
1
(L " s + R) " " ( " s + b) " (s) = U(s) - CE " (s)
CM
Po przekształceniu tego równania do dogodniejszej postaci
ł ł
1
ł " (L " s + R) " ( " s + b) + CE ł " (s) = U(s)
ł
ł
CM
ł łł
mo\na obliczyć poszukiwane równanie transmitancji operatorowej układu elektryczny silnik
bocznikowy napędzana maszyna
(s) 1
G(s) = = =
1
U(s)
" (L " s + R) " ( " s + b) + CE
CM
1
= =
L "
" s2 + (L " b + R " ) " s + R " b + CE
CM
1
= =
L " L " b + R "
" s2 + " s + 1
CM " (R " b + CE ) R " b + CE
1
=
2
T2 " s2 + T1 " s + 1
Otrzymane równanie jest transmitancją operatorową członu inercyjnego drugiego rzędu, w
której występują dwie stałe czasowe:
1 L "
2
T2 = =
2
CM " (R " b + CE )
0
L " b + R "
T1 =
R " b + CE
zale\ne od wartości liczbowych charakterystycznych parametrów układu.
1.10. Reaktor chemiczny
50
Reaktor chemiczny jest zbiornikiem o pojemności V wypełnionym cieczą reagującą ze
zgranulowaną substancją czynną znajdującą się w tym reaktorze.
Rys. 28. Uproszczony schemat reaktora chemicznego, w którym następuje rozkład
analizowanej substancji
o
Do reaktora o pojemności V dopływa strumień objętości Vd m3 /s świe\ej cieczy
zmieniający się w funkcji czasu, stę\enie analizowanej substancji w tej cieczy wynosi
qd kg / m3. Pod działaniem zgranulowanej substancji czynnej znajdującej się w reaktorze
analizowana substancja intensywnie mieszana rozkłada się i zmienia się jej stę\enie osiągając
chwilową wartość q jednakową w całej pojemności reaktora. Z reaktora wypływa stały
o
strumień cieczy Vw = const o stę\eniu q takim samym jak stę\enie panujące w
reaktorze. Przyrost masy analizowanej substancji w cieczy znajdującej się w reaktorze mo\na
wyrazić równaniem
dm = mdopr - mwyp - mrozłoz
które po wprowadzeniu strumieni objętości cieczy i stę\enia analizowanej substancji w tej
cieczy przy zało\eniu, \e ciecz jest nieściśliwa i w reaktorze jej gęstość nie ulega zmianie,
przybiera postać równania ró\niczkowego
o o
d(V " q) = Vd" qd " dt - Vw " q " dt - V " q " r " dt
kg / m3
w którym występuje stała rozkładu analizowanej substancji r zale\na zazwyczaj
sec
od rodzaju analizowanej substancji, temperatury i ciśnienia panujących w reaktorze. Po
wykonaniu ró\niczkowania i przekształceniu powy\sze równanie stę\enia przybiera postać
51
o o
dq dV
V " + q " + (Vw " q + V " q " r) = Vd" qd
dt dt
Po zało\eniu szczególnego przypadku reaktora, w którym zmiana masy analizowanej
substancji znajdującej się w reaktorze spowodowana przyrostem objętości cieczy w tym
reaktorze q " dV / dt jest pomijalnie mała w porównaniu ze zmianą spowodowaną
przyrostem stę\enia V " dq / dt ,
dq dV
V " *#*# q "
dt dt
w równaniu ró\niczkowym stę\enia mo\na pominąć drugi człon i uprościć je do postaci
o o
dq
V " + (Vw + V " r) " q = Vd" qd
dt
o
V dq qd
" + q = " Vd
o o
dt
Vw + V " r Vw + V " r
której zapis mo\na uprościć wprowadzając jednoliterowe oznaczenia dla stałej czasowej
V
T =
o
Vw + V " r
i dla współczynnika wzmocnienia
q0
K =
o
Vw + V " r
Z tak otrzymanego zwyczajnego równania ró\niczkowego pierwszego rzędu.
o
dq
T " + q = K " V
dt
Zakładając zerowe warunki początkowe mo\na obliczyć równanie transmitancji operatorowej
reaktora chemicznego
q(s) K
G(s) = =
o
T " s + 1
V(s)
odpowiadające członowi inercyjnemu pierwszego rzędu.
52
1.11. Turbina parowa
Rys. 28. Uproszczony schemat wielostopniowej kondensacyjnej turbiny parowej napędzającej
śrubę okrętową za pośrednictwem elektrycznej przekładni o nastawnym przeło\eniu
o
Przegrzana para wodna m o ciśnieniu absolutnym p1 i o temperaturze t1 płynąca z
prędkością w1 ma entalpię całkowitą
2
w1
i1 = cp1 " t1 + = cp1 " T1
2
którą mo\na uzale\nić od temperatury spiętrzenia
2
w1
T1 =
2 " cp1
Strumień masy przegrzanej pary wodnej wpływającej do turbiny wprowadza do tej turbiny
strumień energii
o
N1 = i1 " m
53
W turbinie para rozprę\a i ochładza się przekazując część swojej energii łopatkom
obracającego się wirnika. Przekazana energia ta wytwarza moment obrotowy napędzający
wirnik turbiny i wirnik generatora oraz pokonujący opory występujące w turbinie. Z turbiny
wypływa para o ciśnieniu absolutnym p2 i o temperaturze t2 płynąca z prędkością w2
, para ta ma entalpię całkowitą
w2
2
i2 = cp2 " t2 + = cp2 " T2
2
i unosi niewykorzystany w turbinie strumień energii o mocy
o
N2 = i2 " m
która jest tracona w skraplaczu. Moc wewnętrzna turbiny przekazana na łopatki wirnika
o
Ni = N1 - N2 = (i1 - i2) " m
o
zale\y od strumienia masy pary m i od rzeczywistego spadku entalpii i1 - i2 w turbinie
a rzeczywisty spadek tej entalpii
i1 - i2 = (i1 - i2s ) " w
zale\y od izentropowego spadku entalpii i1 - i2s i od wewnętrznej sprawności w
turbiny; zale\ności te zilustrowano graficznie na wykresie entalpia entropia.
54
Rys. 30. Przykład ilustrujący przemiany termodynamiczne pary wodnej przepływającej przez
jednostopniową turbinę o sprawności wewnętrznej (3430-2300)/(3430-2150) = 88 %
zobrazowany na wykresie entalpia entropia
W stanie ustalonym dla = const na moc efektywną na sprzęgle turbiny
o o
Ne = m " Ni = m " (i1 - i2) " m = w " m " (i1 - i2s ) " m
ma wpływ sprawność mechaniczna turbiny m uwzględniająca straty mechaniczne (tarcie
w ło\yskach itp.).
Parametry pary (temperatura i ciśnienie) są stabilizowane w kotle parowym i w czasie
o
normalnej eksploatacji turbiny są niezmienne a strumień masy pary m doprowadzanej do
turbiny zale\y tylko od stopnia otwarcia zaworu dławiącego. Je\eli jest to zawór
proporcjonalny, w którym efektywny przelot zaworu jest wprost proporcjonalny do wzniosu
h wrzeciona tego zaworu, to strumień masy pary
o
o o
h mmax
m = mmax" = " h = Czaw " h
hmax hmax
55
jest wprost proporcjonalny do stałej zaworu Czaw i do wzniosu wrzeciona zaworu.
Efektywny moment obrotowy turbiny w stanie ustalonym dla = const = nom
o o
Ne m " (i1 - i2 ) w " m " (i1 - i2s )
Me = = " m = " m
nom nom nom
o
po uzale\nieniu strumienia masy pary m od wzniosu h zaworu dławiącego dopływ pary
do turbiny
o
w " m " (i1 - i2s ) mmax
Me = " " h = Ctur " h
nom hmax
jest wprost proporcjonalny do stałej turbiny uwzględniającej niezmienne wartości
charakterystycznych parametrów turbiny
o
w " m " (i1 - i2s ) mmax
Ctur = "
nom hmax
i do wzniosu h wrzeciona zaworu dławiącego przepływ pary do turbiny. Tak obliczony
moment efektywny nie uwzględnia oporów bezwładności zale\nych od zastępczego
masowego momentu bezwładności wirnika turbiny i urządzeń z tym wirnikiem połączonych
kinematycznie i od przyspieszenia kątowego przybierającego znaczące wartości w
nieustalonych stanach ruchu turbiny.
Zastępczy masowy moment bezwładności wszystkich ruchomych części połączonych
kinematycznie a wirnikiem turbiny jest sumą momentów bezwładności poszczególnych części
podzielonych przez kwadraty odpowiednich przeło\eń mechanicznych, w przypadku
okrętowego układu napędowego pokazanego na poprzednim rysunku występują dwa układy
mechaniczne obracające się z ró\nymi prędkościami obrotowymi: pierwszy układ obracający
się z prędkością kątową tworzy wirnik turbiny sztywno połączony z wirnikiem
generatora elektrycznego, drugi układ obracający się z prędkością kątową s zazwyczaj
mniejszą od prędkości kątowej tworzy wirnik silnika elektrycznego napędzającego śrubę
okrętową i śruba okrętowa wraz z wałem bezpośrednio połączona z tym wirnikiem. Zastępczy
moment bezwładności obydwóch układów zredukowany na oś wirnika turbiny
1
= tur + gen + "(sil +srub )
i2
zale\y m. in od przeło\enia przekładni
i =
srub
łączącej ze sobą obydwa układy.
56
W zakresie bezkawitacyjnej pracy śruby okrętowej moment oporu mierzony na wale
napędzającym tę śrubę jest w przybli\eniu proporcjonalny do iloczynu stałej
charakteryzującej daną śrubę i drugiej potęgi prędkości kątowej
2
ł
srub ł
2
ł ł
Msrub = Msrub n " = Csrub " srub
ł
srub n ł
ł łł
tej śruby, stąd wynika, \e stała śruby okrętowej
Msrub n
Csrub =
(srub n )2
zale\y od nominalnego momentu oporu Msrub n stawianego przez tę śrubę obracającą się z
nominalną prędkością kątową srub n .
Je\eli uwzględni się sprawność ogólną układu przeniesienia mocy ze sprzęgła turbiny na
śrubę okrętową przek oraz przeło\enie i przekładni łączącej wał śruby z wałem turbiny
to mo\na obliczyć równanie momentu oporu śruby zredukowanego na oś wirnika turbiny.
1 1
2
Mred = " Msrub = " Csrub " srub =
i " przek i " przek
2
1 1 1
ł
= " Csrub " n ł = " Csrub " 2 = Cprzek " 2
ł ł
n n
i " przek i
ł łł
i3 " przek
W tak otrzymanym równaniu momentu oporu śruby zredukowanego na wał turbiny z
uwzględnieniem sprawności przekładni stała całego układu przeniesienia i odbioru napędu
Msrub n
1 1
Cprzek = " Csrub = "
i3 " przek i3 " przek (srub n )2
uwzględnia stałe wartości wielkości charakteryzujących opory śruby okrętowej i układu
przeniesienia napędu ze sprzęgła turbiny na tę śrubę.
Opierając się na drugiej zasadzie dynamiki dla ruchu obrotowego i posługując się
powy\szymi równaniami mo\na napisać równanie sumy momentów działających na wirnik
turbiny w nieustalonym stanie ruchu tego wirnika obracającego się z chwilową prędkością
kątową
d
" + Cprzek " 2 = Ctur " h
dt
mom sił bezwł mom sił oporu moment turbiny
57
Otrzymane równanie jest nieliniowe względem zmiennej i do jego rozwiązania metodami
analitycznymi oraz do obliczenia transmitancji operatorowej konieczna jest linearyzacja
nieliniowego drugiego członu tego równania polegająca na zastąpieniu członu nieliniowego
odpowiednim członem liniowym
Cprzek " 2 H" Clin "
tak dobranym, by dla prędkości obrotowej wirnika turbiny zbli\onej do wartości nominalnej
H" n = const
wartości obydwóch członów były jednakowe,
Cprzek " 2 = Clin " n
n
co odpowiada linearyzacji metodą cięciwy. Z ostatniego równania mo\na obliczyć wartość
zlinearyzowanej stałej
Msrub n
n n
Clin = Cprzek " n = " Csrub = "
i3 " przek i3 " przek (srub n )2
Po zlinearyzowaniu równanie ró\niczkowe układu przybiera postać
d
" + Clin " = Ctur " h
dt
niejednorodnego liniowego równania ró\niczkowego pierwszego rzędu o stałych
współczynnikach z którego po przeprowadzeniu transformacji Laplace przy zało\eniu
zerowych warunków początkowych układu ( = 0 dla t 0)
( " s + Clin )" (s) = Ctur " h(s)
mo\na obliczyć transmitancję operatorową okrętowego układu napędowego
(s) Ctur Ctur 1 1
G(s) = = = " = Kt "
h(s) " s + Clin Clin " s + 1 Tt1 " s + 1
Clin
W tak otrzymanym równaniu transmitancji makroukładu zło\onego z szeregowo
połączonych następujących członów:
zaworu dozującego parę dostarczaną do turbiny,
turbiny parowej napędzającej generator elektryczny,
generatora elektrycznego,
bezinercyjnej przetwornicy częstotliwości napięcia elektrycznego,
58
silnika elektrycznego napędzającego śrubę okrętową
śruby okrętowej
występują dwie stałe wartości:
współczynnik wzmocnienia
o
w " m " (i1 - i2s ) mmax
"
Ctur n hmax
Kt = =
Msrub n
Clin
n
"
i3 " przek (srub n )2
i stała czasowa.
tur + gen + (sil + srub ) / i2
Tt1 = =
Msrub n
Clin
n
"
i3 " przek (srub n )2
1.11. Układ regulacji obrotowej prędkości turbiny
Stabilizację obrotowej prędkości wirnika turbiny w warunkach zmieniającego się jej
obcią\enia zapewnia układ regulacji zło\ony z odśrodkowego przetwornika prędkości
obrotowej i wzmacniacza hydraulicznego zawierającego zawór suwakowy sterowany
przetwornikiem prędkości obrotowej i siłownik hydrauliczny sterujący przemieszczeniem
wrzeciona zaworu dławiącego dopływ pary do turbiny.
59
Rys. 31. Uproszczony schemat układu regulacji stabilizującego prędkość obrotową turbiny
parowej
W miarę powiększania się prędkości obrotowej powiększa się siła odśrodkowa działająca na
masy przetwornika powodując promieniowe przemieszczenie tych mas na zewnątrz. Na
skutek tego nasuwa i zespolone z nią wrzeciono zaworu suwakowego przemieszczają się w
dół łącząc przewód ciśnieniowy pompy hydraulicznej z górną komorą siłownika i
umo\liwiając odpływ cieczy z dolnej komory do zbiornika. Przewody hydrauliczne łączące
suwakowy zawór sterujący z siłownikiem są skrzy\owane w celu uzyskania zmniejszenia
wzniosu h wrzeciona zaworu parowego i dopływu pary do turbiny w miarę powiększania
się przemieszczenia tłoka siłownika H na skutek wzrostu prędkości obrotowej wału
przetwornika kinematycznie sprzęgniętego z wałem turbiny.
Zgodnie z wcześniej przeprowadzonym wyprowadzeniem transmitancję operatorową
odśrodkowego przetwornika prędkości obrotowej opisuje równanie
"x(s) Kr
Gr(s) = =
2
"(s)
Tr2 " s2 + Tr1 " s +1
w którym występują dwie stałe czasowe:
60
1
2
Tr2 =
łł 0 ł2 ł
łł ł -1ł " 2
n
łł n ł ł
łł łł łł
2
ł ł
l1 l5
2
ł ł
Tr1 = 2 " 0 " D " " " Tr2
ł
l2 l4 ł
ł łł
i współczynnik wzmocnienia ( pierwotne równanie dla tego przypadku uproszczono
przyjmując l3 / l4 =1 poniewa\ tutaj sygnałem wyjściowym z przetwornika jest
przemieszczenie nasuwy a nie końca dzwigni )
2 " Rn l1
2
Kr = = 2 " Rn " " n " Tr2
2
ł l2
l2 łł 0
łł ł -1ł " n
" ł
l1 łł n ł ł
łł łł łł
Transmitancję zastosowanego tutaj wzmacniacza hydraulicznego bez sprzę\enia
zwrotnego opisuje wcześniej wyprowadzone równanie
"H(s)
1
Gw(s) = =
2
"x(s)
Tw3 " s3 + Tw " s2 + Tw1 " s
2
3
W którym występują trzy stałe czasowe:
m
Tw3 =
3
ł ł
Cb " Bb Ca " Ba
ł ł
A " +
ł
Vb Va ł
ł łł
2
Tw = 2 " 0 " D " Tw3
2
3
ł ł
Bb Ba
ł ł
c + A2 " +
ł
Vb Va ł
ł łł
Tw1 =
ł ł
Cb " Bb Ca " Ba
ł ł
A " +
ł
Vb Va ł
ł łł
W zaworze suwakowym jest zazwyczaj
61
p - p0
Ca = Cb = C = " Ą" ds "
W poło\eniu środkowym tłoka siłownika w cylindrze jest zazwyczaj
Va = Vb
Ba = Bb
Po uwzględnieniu skrzy\owania przewodów łączących zawór sterujący z siłownikiem
transmitancja operatorowa układu wzmacniacz hydrauliczny zawór parowy przybiera postać
"h(s) 1
Gwz(s) = =
2
"x(s)
Tw3 " s3 + Tw " s2 + Tw1 " s
2
3
2. Analiza stabilności regulacji układu napędowego
Prędkość obrotowa wirnika turbiny parowej wchodzącej w skład układu napędzającego
śrubę okrętową za pośrednictwem przekładni elektrycznej o nastawnym przeło\eniu jest
stabilizowana za pośrednictwem hydromechanicznego układu regulacji zawierającego
odśrodkowy przetwornik prędkości obrotowej ( regulator odśrodkowy ) i wzmacniacz
hydrauliczny oddziałujący na zawór dozujący dopływ pary do turbiny. Analiza stabilności
tego układu regulacji zostanie przeprowadzona przy pomocy częstotliwościowego kryterium
Nyguista.
2.1. Transmitancja operatorowa układu otwartego
Poszczególne człony okrętowego napędu tworzą zamknięty układ regulacji z ujemnym
sprzę\eniem zwrotnym,
Rys. 32. Uproszczony schemat blokowy hydromechanicznego układu regulacji napędu
okrętowego
62
w którym układ otwarty (powstający po hipotetycznym rozcięciu pętli sprzę\enia zwrotnego )
tworzą połączone ze sobą szeregowo dwa makroczłony o wcześniej wyprowadzonych
transmitancjach:
dla makroczłonu zawór dozujący parę do turbiny prędkość obrotowa wirnika turbiny
(s) 1
G1(s) = = Kt "
h(s) Tt1 " s +1
i dla makroczłonu przetwornik prędkości obrotowej wrzeciono zaworu dozującego parę.
h(s)
G2(s) = = Gr(s) " Gwz(s) =
(s)
Kr 1
= "
2 2
Tr2 " s2 + Tr1 " s + 1 Tw3 " s3 + Tw " s2 + Tw1 " s
2
3
Transmitancja operatorowa układu otwartego utworzonego przez obydwa ww makroczłony
połączone szeregowo jest bezwymiarowym iloczynem obydwu transmitancji.
Go(s) = G1(s) " G2(s) =
1 Kr 1
= Kt " " " =
2 2
Tt1 " s + 1
Tr2 " s2 + Tr1 " s + 1 Tw3 " s3 + Tw " s2 + Tw1 " s
2
3
1 1 1
= K " " "
2
Tt1 " s + 1
Tr2 " s2 + Tr1 " s + 1 Tw3 " s3 + Tw2 " s2 + Tw1 " s
2
3
W tak otrzymanym dość rozbudowanym równaniu transmitancji operatorowej układu
otwartego poszczególne stałe oznaczają:
stałą czasową makroczłonu turbogenerator z przekładnią, silnikiem i śrubą okrętową
tur + gen + (sil + srub) /i2
Tt1 =
Msrub n
n
"
i3 " przek (srub n )2
stałe czasowe odśrodkowego przetwornika prędkości obrotowej
1
2
Tr2 =
łł ł2 ł
0
łł ł
-1ł " 2
n
łł ł ł
n
łł łł łł
63
2
ł ł
l1 l5
2
ł ł
Tr1 = 2 " 0 " D " " " Tr2
ł
l2 l4 ł
ł łł
stałe czasowe wzmacniacza hydraulicznego bez wewnętrznego sprzę\enia zwrotnego
m
Tw3 =
3
ł ł
Cb " Bb Ca " Ba
ł ł
A " +
ł
Vb Va ł
ł łł
2
Tw = 2 " 0 " D " Tw3
2
3
ł ł
Bb Ba
ł ł
c + A2 " +
ł
Vb Va ł
ł łł
Tw1 =
ł ł
Cb " Bb Ca " Ba
ł ł
A " +
ł
Vb Va ł
ł łł
W zaworze suwakowym jest zazwyczaj
p - p0
Ca = Cb = C = " Ą" ds "
W poło\eniu środkowym tłoka siłownika w cylindrze jest zazwyczaj
Va = Vb
Ba = Bb
współczynnik wzmocnienia turbiny
o
w " m " (i1 - i2s ) mmax
Ctur = "
n hmax
stała zlinearyzowanych oporów śruby zredukowanych na wał turbiny
Msrub n
n
Clin = "
i3 " przek (srub n )2
współczynnik wzmocnienia zespołu turbina + przekładnia + śruba
64
o
w " m " (i1 - i2s ) mmax
"
Ctur n hmax
Kt = =
Msrub n
Clin
n
"
i3 " przek (srub n )2
współczynnik wzmocnienia odśrodkowego przetwornika prędkości obrotowej
l1
2
Kr = 2 " Rn " " n " Tr2
l2
Współczynnik wzmocnienia całego układu otwartego (wzmocnienie zastosowanego
wzmacniacza hydraulicznego Khw =1)
K = Kt " Kr
2.2. Uchyb regulacji
Transformatę Laplace przebiegu uchybu występującego w układzie regulacji, w którym
poza zmiennym sygnałem wartości zadanej nie występują \adne sygnały zakłócające, opisuje
równanie wyprowadzone w podstawach automatyki
"(s)
E(s) =
1 + Go(s)
Transformata przebiegu zmian wartości zadanej "(s) , którą w analizowanym układzie
jest częstość kątowa obrotów wirnika turbiny, jest zazwyczaj sygnałem skokowo zmiennym
o transformacie " "1/s lub sygnałem liniowo narastającym o transformacie " "1/s2 .
Je\eli zmiana wartości zadanej następuje skokowo o "(t) to równanie transformaty
uchybu przybiera postać
1
" "
s
E(s) =
1 + Go(s)
Po uwzględnieniu wcześniej wyprowadzonego równania transmitancji operatorowej układu
otwartego
1 1 1
Go(s) = K " " "
2 2
Tt1 "s +1
Tr2 "s2 + Tr1 "s +1 Tw3 "s3 + Tw "s2 + Tw1 "s
3 2
65
otrzymuje się ostateczną postać równania uchybu regulacji występującego w analizowanym
okrętowym napędzie.
1
" "
s
E(s) =
1 1 1
1 + K " " "
2
Tt1 " s + 1
Tr2 " s2 + Tr1 " s + 1 Tw3 " s3 + Tw2 " s2 + Tw1 " s
2
3
Wartość uchybu ustalonego występującego po upływie czasu t " mo\na łatwo obliczyć
posługując się twierdzeniem o wartości końcowej znanym z podstaw rachunku
operatorowego.
e( ") = limes e(t) = limes s " E(s)
t " s0
Po podstawieniu transformaty uchybu otrzymuje się, \e
1
" "
s
e( ") = limes s "
1 1 1
s0
1 + K " " "
2 2
Tt1 " s + 1
Tr2 " s2 + Tr1 " s + 1 Tw3 " s3 + Tw " s2 + Tw1 " s
2
3
"
e( ") =
1 1 1
1+ K " " "
2 2
Tt1 " 0 +1
Tr2 " 02 + Tr1 " 0 +1 Tw3 " 03 + Tw " 02 + Tw1 " 0
3 2
" "
e( ") = = = 0
1
1+ "
1+ K "
2
Tw3 " 03 + Tw " 02 + Tw1 " 0
3 2
ustalony uchyb regulacji w tym układzie jest równy zeru.
Równanie opisujące przebieg zmian uchybu w funkcji czasu mo\na otrzymać
przeprowadzając odwrotną transformację Laplace wyprowadzonego równania transformaty
uchybu regulacji
e(t) = L-1{E(s)}
Ze względu na dość zło\oną postać równania transformaty uchybu regulacji operację
przeprowadzania odwrotnej transformacji najlepiej jest wykonać przy pomocy
odpowiedniego programu komputerowego zawierającego instrukcje dotyczące
przekształcenia Laplace, takim programem jest m. in. program MATHEMATICA 7
wykorzystany do analizy opisanego układu regulacji. Odpowiednie instrukcje i wykresy
uzyskane przy pomocy tego programu są zawarte w załączonym wydruku programu.
66
2.3. Transmitancja widmowa i charakterystyka częstotliwościowa układu
otwartego
Analiza stabilności tego układu regulacji zostanie przeprowadzona na podstawie kryterium
Nyguista polegającego na sporządzeniu charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego
i zbadaniu poło\enia punktu Nyquista (Re=0, Im=-1) w stosunku do tej charakterystyki.
Do sporządzenia charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego bardzo u\yteczna jest
transmitancja widmowa, której równanie otrzymuje się w praktyce w sposób dość prosty
zastępując w równaniu transmitancji operatorowej zespolony operator s = + j" częścią
urojoną tego operatora j"
y(j)
Go(j) = Go(s) =
s= j"
x(j)
Transmitancja widmowa jest liczbą zespoloną wyra\ającą stosunek zespolonej
amplitudy harmonicznego sygnału wyjściowego y(j) do zespolonej amplitudy
harmonicznego sygnału wejściowego x(j)
Rys. 33. Ilustracja graficzna transmitancji widmowej na płaszczyznie liczb zespolonych
Moduł transmitancji widmowej
Y max
G( j) = Re[G( j)]2 + Im[G( j)]2 =
X max
wyra\a rzeczywisty współczynnik wzmocnienia sygnałów harmonicznych w obiekcie i jest
stosunkiem rzeczywistej amplitudy harmonicznego sygnału wyjściowego Y max do
rzeczywistej amplitudy harmonicznego sygnału wejściowego X max . Moduł transmitancji
widmowej zazwyczaj jest funkcją częstości kątowej sygnału wejściowego
Argument transmitancji
67
Im[G( j)]
ł () = arc tg = (Y max) - (X max)
Re[G( j)]
wyra\a kąt przesunięcia fazowego ł harmonicznego sygnału wyjściowego y(t) w
stosunku do harmonicznego sygnału wejściowego x(t) , argument transmitancji widmowej
te\ zazwyczaj jest funkcją częstości kątowej sygnału wejściowego.
Rys. 34. Transmisja sygnałów zawierających składową harmoniczną przez człon liniowy
obrazująca stosunek amplitud składowej harmonicznej sygnału wyjściowego Y max do
amplitudy sygnału wejściowego X max oraz kąt opóznienia fazowego ł sygnału
wyjściowego w stosunku do sygnału wejściowego
Równanie transmitancji widmowej otrzymane przez odpowiednie przekształcenie
równania transmitancji operatorowej jest zazwyczaj ilorazem dwóch wielomianów, w ka\dym
z tych wielomianów zazwyczaj występują wyrazy rzeczywiste Re zale\ne od częstości
kątowej sygnału i wyrazy urojone Im równie\ zale\ne od częstości kątowej sygnału.
W trakcie obliczania transmitancji widmowej wykonuję się podstawowe działania
algebraiczne na liczbach zespolonych zgodnie z podstawowymi zasadami działań
algebraicznych na tych liczbach.
Dodawanie i odejmowanie dwu liczb zespolonych
G( j) = G1( j) + G2( j) = {Re1() + j" Im1()}+ {Re2() + j" Im2()}
68
najwygodniej jest wykonywać na liczbach zespolonych podanych w postaci algebraicznej
poniewa\ sumowanie liczb zespolonych polega na oddzielnym sumowaniu ich części
rzeczywistych i na oddzielnym sumowaniu ich części urojonych.
Im[(G()] = Im[G1()] + Im[G2()]
Re[(G()] = Re[G1()] + Re[G2()]
Natomiast mno\enie i dzielenie liczb zespolonych najwygodniej jest wykonywać na liczbach
zespolonych podanych w postaci wektorowej. W przypadku mno\enia dwu liczb zespolonych
G( j) = G1( j) " G2( j)
moduł ich iloczynu jest równy iloczynowi modułów poszczególnych liczb a kąt fazowy jest
sumą kątów fazowych poszczególnych liczb.
G( j) = G1( j) " G2( j)
ł() = ł1() + ł2()
W przypadku dzielenia dwu liczb zespolonych
G1(j)
G(j) =
G2(j)
moduł ich ilorazu jest równy ilorazowi modułów poszczególnych liczb a kąt fazowy jest
ró\nicą kąta fazowego dzielnej i kąta fazowego dzielnika.
G1(j)
G(j) =
G2(j)
ł() = ł1() - ł2()
W wyniku przekształceń równanie transmitancji widmowej mo\na doprowadzić do postaci
Re1() + j" Im1()
G(j) = Re() + j" Im() =
Re2() + j" Im2()
w której występuje iloraz dwu liczb zespolonych i z tej postaci mo\na obliczyć moduł
transmitancji widmowej.
Re1()2 + Im1()2
Y max
G(j) = = Re()2 + Im()2 =
X max
Re2()2 + Im2()2
69
oraz kąt przesunięcia fazowego
Im() Im1() Im2()
ł() = arc tg = arc tg - arc tg
Re() Re1() Re2()
harmonicznego sygnału wyjściowego y(t) w stosunku do harmonicznego sygnału
wejściowego x(t) .
Charakterystyki częstotliwościowe analizowanego obiektu są graficznym obrazem
transmitancji widmowej sporządzonym dla harmonicznych sygnałów wejściowych o ró\nych
wartościach częstości kątowej lub częstotliwości tego sygnału. Charakterystyki
częstotliwościowe przedstawiają zale\ność modułu transmitancji widmowej (współczynnika
wzmocnienia, stosunku amplitud) i kąta przesunięcia fazowego (opóznienia fazowego) dla
sygnałów harmonicznych w zale\ności od częstości kątowej [rad/s] lub częstotliwości f
[cykl/s] sygnału wejściowego. W elektronice i automatyce powszechne zastosowanie znajdują
charakterystyki częstotliwościowe amplitudowo fazowe wykreślane na płaszczyznie liczb
zespolonych o współrzędnych ( Im, Re ) lub na płaszczyznie o współrzędnych moduł
transmitancji widmowej G( j) , kąt przesunięcia fazowego ł . W mechanice chętniej jest
u\ywany układ dwu oddzielnych charakterystyk zło\ony z charakterystyki amplitudowej
wykreślonej na płaszczyznie o w współrzędnych moduł transmitancji widmowej G( j)
oraz częstotliwość f (lub odpowiadająca jej częstość kątowa ) oraz z charakterystyki
fazowej wykreślonej na płaszczyznie o współrzędnych kąt przesunięcia fazowego ł oraz
częstotliwość f (lub odpowiadająca jej częstość kątowa ). Charakterystyki
częstotliwościowe obiektu o znanym opisie matematycznym mo\na sporządzić metodami
obliczeniowymi, je\eli opis nie jest znany lub zawiera kontrowersyjne zało\enia
upraszczające, to charakterystyki częstotliwościowe sporządza się na podstawie wyników
pomiarów przeprowadzonych na obiekcie rzeczywistym.
2.4. Stabilność układu regulacji
Stabilny układ regulacji wytrącony z poło\enia równowagi powraca do poło\enia
równowagi po pewnym czasie od chwili zaniku zakłóceń, układ niestabilny do poło\enia
równowagi powrócić nie mo\e i dlatego nie nadaje się do zastosowania w praktyce. Warunek
stabilności układu z ujemnym sprzę\eniem zwrotnym zawarty w kryterium Nyquista polega
na transformacji pierwiastków równania charakterystycznego na płaszczyznę liczb
zespolonych na której jest zobrazowana charakterystyka częstotliwościowa układu otwartego.
Warunkiem stabilności układu regulacji jest poło\enie wszystkich pierwiastków równania
charakterystycznego w lewej półpłaszczyznie natomiast ten sam warunek odniesiony do
częstotliwościowej charakterystyki układu otwartego wymaga, by punkt o współrzędnych
-1, j0 nazywany punktem Nyquista le\ał poza obszarem płaszczyzny ograniczonym
linią charakterystyki amplitudowo fazowej układu otwartego. Oznacza to, \e wartość
modułu transmitancji widmowej układu otwartego
Go( j) < 1
a ł =ąĄ
70
obliczona dla takiej częstości kątowej sygnału, przy której kąt przesunięcia fazowego sygnału
wyjściowego w stosunku do sygnału wejściowego wynosi ą Ą nie mo\e przekroczyć 1.
Do oceny stabilności układu przy pomocy kryterium Nyquista mo\na wykorzystać
ró\ne postacie wykresu charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego:
wykres charakterystyki amplitudowo fazowej sporządzony na płaszczyznie liczb
zespolonych o współrzędnych: Im(Go( j)) i Re(Go( j))
wykres modułu transmitancji widmowej (współczynnika wzmocnienia) sporządzony
w układzie współrzędnych moduł transmitancji widmowej w skali liniowej lub
logarytmicznej 20log (Go( j) ( lub (Go( j) ) i kąt przesunięcia fazowego
ł(Go( j) (wykres Blacka)
komplet dwóch oddzielnych wykresów:
o 1. moduł transmitancji widmowej (współczynnik wzmocnienia) w skali
liniowej lub logarytmicznej 20log (Go( j) lub ( (Go( j) ),
o 2. kąt przesunięcia fazowego ł(Go( j)
Obydwa wykresy sporządzone w zale\ności od częstotliwości sygnału logf lub
częstości kątowej log w skali logarytmicznej (wykresy Bode) .
Istotną zaletą kryterium Nyquista jest mo\liwość bardzo łatwego oszacowania zapasu
stabilności układu określanego jedną z dwu charakterystycznych wielkości:
zapas współczynnika wzmocnienia występującego w układzie otwartym
zapas kąta fazowego przesunięcia występującego w układzie otwartym
Znajomość tych dwu wielkości pozwala łatwo zoptymalizować nastawy poszczególnych
członów układu regulacji występujących w torze głównym i w torze ujemnego sprzę\enia
zwrotnego.
Rys. 35. Związek płaszczyzny pierwiastków równania charakterystycznego układu
zamkniętego z ujemnym sprzę\eniem zwrotnym Re(s), Im(s) z płaszczyzną
częstotliwościowej charakterystyki amplitudowo fazowej układu otwartego
Re(Go( j)), Im(Go( j)) zilustrowany przykładem stabilnego układu regulacji
71
Rys. 36. Przykładowa charakterystyka amplitudowo - fazowa układu otwartego dla stabilnego
układu regulacji z zaznaczonym charakterystycznym punktem 20log (Go( j) = 0, co
odpowiada (Go( j) =1 i charakterystycznym punktem ł = -Ą (wykresy Blacka)
Rys. 37. Przykładowa charakterystyka amplitudowa i fazowa układu otwartego dla stabilnego
układu regulacji z zaznaczonym charakterystycznym punktem 20log (Go( j) = 0 , co
odpowiada (Go( j) =1 i charakterystyka fazowa z zaznaczonymi charakterystycznym
punktem ł = -Ą (wykresy Bode)
72
Dla uzyskania dostatecznie du\ego zapasu stabilności układu zazwyczaj wstępnie
przyjmuje się, \e:
zapas modułu transmitancji widmowej układu otwartego " Go( j) wyra\ający
zapas współczynnika wzmocnienia amplitud sygnałów w układzie otwartym
obliczony dla częstości kątowej sygnału odpowiadającej w tym układzie
przesunięciu fazowemu sygnału wyjściowego y w stosunku do sygnału
wejściowego x o kąt ł = - Ą powinien wynosić nie mniej ni\ ok.
20 " log(Go(j) / Go(j) ) = 6 dB ,
niestab stab
co odpowiada stosunkowi
6
Go(j) / Go(j) = 1020 = 1.995 H" 2.0
niestab stab
zapas kąta fazowego "ł - nie mniej ni\ Ą / 6 ,.
Ą
"ł e"
6
co odpowiada 30 stopniom.
2.5. Przykład analizy stabilności układu regulacji okrętowego napędu
W celu otrzymania równania transmitancji widmowej otwartego układu regulacji
prędkości obrotowej turbiny parowej wchodzącej w skład okrętowego napędu przekształca się
wcześniej wyprowadzone równanie transmitancji operatorowej
1 1 1
Go(s) = K " " "
2 2
Tt1 "s +1
Tr2 "s2 + Tr1 "s +1 Tw3 "s3 + Tw "s2 + Tw1 "s
3 2
zastępując zespolony operator s = + j" częścią urojoną tego operatora j" . W tak
otrzymanym równaniu transmitancji widmowej.
Go(j) = Go(s) =
s= j"
1 1 1
= K " " "
2 2
Tt1 " j" +1
Tr2 " ( j" )2 + Tr1 " j" +1 Tw3 " (j" )3 + Tw " (j" )2 + Tw1 " j"
3 2
wykonuje się potęgowania liczby urojonej j = -1
73
Go(j) =
1 1 1
= K " " "
2 2
j" Tt1 " +1
- Tr2 " 2 + j" Tr1 " +1 - j" Tw3 " 3 - Tw " 2 + j" Tw1 "
3 2
i po uporządkowaniu części rzeczywistych Re i części urojonych Im w liczbach
zespolonych Z = Re+ j" Im występujących w mianownikach poszczególnych ułamków
otrzymuje się algebraiczną postać równania transmitancji widmowej
Go(j) =
1 1 1
= K " " "
2 2
1+ j" (Tt1 " )
(1- Tr2 " 2 ) + j" (Tr1 " ) ( - Tw " 2 ) + j" (-Tw3 " 3 + Tw1 " )
2 3
Równanie to jest iloczynem współczynnika wzmocnienia (zale\nego od częstości kątowej
) i trzech ułamków, ka\dy z tych ułamków jest ilorazem dwu liczb zespolonych. Liczby
zespolone występujące w licznikach ułamków mają zerowe części urojone a części
rzeczywiste są równe jedności ( Re =1, Im = 0) natomiast w mianownikach występują
ró\niące się liczby zespolone o niezerowych częściach rzeczywistych i urojonych zale\nych
od stałych i od częstości kątowej .
Moduł tej transmitancji widmowej układu otwartego obliczony zgodnie z zasadami
działania na liczbach zespolonych
Go( j) =
1 1 1
= K " " "
2 2
1+ (Tt1 " )2 (1- Tr2 " 2 )2 + (Tr1 " )2 ( - Tw " 2 )2 + (-Tw3 " 3 + Tw1 " )2
2 3
wyra\a stosunek rzeczywistych amplitud sygnałów harmonicznych.
Argument tej transmitancji widmowej obliczony z uwzględnieniem, \e w licznikach
poszczególnych ułamków występują liczby zespolone o zerowych częściach urojonych
charakteryzujące się zerowymi kątami przesunięcia fazowego arc tg 0/1 = 0 przybiera
wartość
- Tw3 " 3 + Tw1 "
Tt1 " Tr1 "
3
ł = -arc tg - arc tg - arc tg
2 2
1
1 - Tr2 " 2 - Tw " 2
2
wyra\ającą kąt przesunięcia fazowego harmonicznego sygnału wyjściowego w stosunku do
harmonicznego sygnału wejściowego.
Do wykonania dość pracochłonnych obliczeń niezbędnych do sporządzenia
charakterystyk częstotliwościowych bardzo przydatne są programy komputerowe zawierające
instrukcje realizujące podstawowe działania na liczbach zespolonych (dodawanie,
odejmowanie, mno\enie, dzielenie, obliczanie modułu i argumentu). Do przeprowadzenia
obliczeń analizowanego układu napędowego o podstawowych parametrach zestawionych w
tablicy na podstawie obliczeń zawartych w poszczególnych arkuszach wydruku programu
74
Tablica nr 1. Podstawowe dane hydromechanicznego układu regulacji przykładowego napędu
okrętowego
Nr Wielkość Symbol Wymiar Wartość
1 Moc nominalna turbiny 12.160
MW
Nture
2 Nominalna prędkość obrotowa turbiny 60
Hz
fnom
3 Nominalna moc oporów śruby 10.554
Nsrub MW
4 Nominalna prędkość obrotowa śruby 2
Hz
fnom
5 Nominalne przeło\enie przekładni elektrycznej 30
i 1
6 Moc nominalna śruby zreduk. na wał turbiny 11.726
MW
Nsrube
7 Nominalne wzmocnienie układu otwartego 0.03840
k 1
8 Stała czasowa turbiny sec 0.740
Tt1
9 Stała czasowa przetwornika prędkości turbiny 2.933E-7
2
Tr2 sec2
10 Stała czasowa przetwornika prędkości turbiny sec 6.908E-5
Tr1
11 Stała czasowa wzmacniacza hydraulicznego 5.778E-11
Tw3 sec3
3
12 Stała czasowa wzmacniacza hydraulicznego 2.726E-8
2
Tw sec2
2
13 Stała czasowa wzmacniacza hydraulicznego sec 1.429E-4
Tw1
Częstotliwość drgań własnych przetwornika 300
Hz
fp
Częstotliwość drgań własnych wzmacniacza 250
Hz
fw
Częstotliwość rezonansowa układu regulacji 280
Hz
fuklad
Stopień tłumienia przetwornika prędkości 0.25
1
Dp
Stopień tłumienia wzmacniacza hydraulicznego 0.15
1
Dw
wykorzystano pogram komputerowy MATHEMATICA 7, pełny wydruk instrukcji
programu obliczającego m.in. wartości liczbowe współczynnika wzmocnienia układu
otwartego i stałych czasowych poszczególnych jego członów dla wartości podanych w
powy\szej tablicy oraz wykreślającego charakterystyki częstotliwościowe układu regulacji
ww napędu okrętowego pokazano na kolejnych stronach.
75
76
77
78
79
80
81
82
83
Z analizy powy\szych wykresów wynikają następujące wnioski:
w układzie regulacji występuje częstość rezonansowa 1760 rad/sec odpowiadająca
280 Hz,
poło\enie punktu Nyquista (wyró\nionego czerwonym kolorem) na
charakterystykach częstotliwościowych wskazuje, \e układ regulacji napędu
okrętowego jest stabilny ale jego działanie nie jest dostatecznie zoptymalizowane,
zapas współczynnika wzmocnienia wynosi ok. 0.95 i znacznie przekracza wymagane
6 dB odpowiadające wartości bezwzględnej współczynnika wzmocnienia równej 0.5
w skali liniowej,
zapas kąta fazowego wynosi tylko 4.5 stopnia i jest znacząco mniejszy od
minimalnej wartości 30 stopni niezbędnej do niezawodnego działania układu
regulacji,
przebieg uchybu regulacji po skokowej zmianie zadanej wartości prędkości obrotowej
turbiny zanika oscylacyjnie,
uchyb regulacji praktycznie zanika po ok. 5 sec, w tym czasie w sygnale uchybu
występuje ok. 15 oscylacji uchybu o monotonicznie malejącej amplitudzie,
ustalony uchyb regulacji występujący po upływie czasu t " licząc od chwili
skokowej zmiany wartości zadanej dą\y do zera et " = 0 .
2.5.1. Korekcja własności dynamicznych układu regulacji okrętowego
napędu
`Poprawę działania analizowanego przykładu hydromechanicznego układu regulacji
okrętowego napędu mo\na osiągnąć przez równoczesne zastosowanie dwóch zabiegów:
84
1. zmniejszenie kąta opóznienia fazowego w zakresie niskich i średnich
częstotliwości przez szeregowe włączenie w układ otwarty odpowiedniego
członu korekcyjnego ( członu przyspieszającego ) np. rzeczywistego członu
ró\niczkującego,
2. przez powiększenie współczynnika wzmocnienia układu otwartego w
granicach nie powodujących nadmiernego zwiększenia kąta opóznienia.
Mo\na to zrealizować m. in. włączając szeregowo w układ otwarty dodatkowy człon
korekcyjny o transmitancji operatorowej
Td " s
Gk(s) =
T " s + 1
odpowiadającej transmitancji rzeczywistego członu ró\niczkującego o mo\liwie małej
wartości stosunku stałej czasowej T określającej inercyjne własności tego członu do stałej
czasowej ró\niczkowania Td , wartości liczbowe tych stałych nale\y dobrać drogą prób.
Przykładem realizacji praktycznej takiego członu mo\e być układ hydromechaniczny tzw.
izodrom włączany w strukturę wzmacniacza hydraulicznego w jeden z dwóch przewodów
łączących wyjście zaworu suwakowego z wejściem do siłownika wykonawczego tego
wzmacniacza i oddziałujący mechanicznie na suwak zaworu tworząc w układzie
wzmacniacza hydraulicznego wewnętrzne ujemne sprzę\enie zwrotne. Izodrom realizuje
działanie zbli\one do rzeczywistego członu proporcjonalno ró\niczkującego oznaczanego
jako człon PD.
Rys. 38. Uproszczony schemat blokowy hydromechanicznego układu regulacji napędu
okrętowego z członem korygującym własności dynamiczne układu otwartego, na schemacie
blok członu korekcyjnego przeniesiono poza blok wzmacniacza
Po włączeniu dodatkowego członu korekcyjnego o strukturze rzeczywistego członu
ró\niczkującego równanie ogólne transmitancji operatorowej układu otwartego przybierze
postać
Td "s
Gok(s) = Go(s) " Gk(s) = Go(s) " Kk "
T "s +1
85
umo\liwiającą analizę stabilności układu regulacji zawierającego dodatkowy człon
korekcyjny, dla którego wartości stałych czasowych Td =1sec i T = 0.005 sec zostały
dobrane drogą prób przeprowadzonych w serii obliczeń.
86
Rys. 39. Logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe modułu transmitancji widmowej
wyra\ającego stosunek amplitudy harmonicznego sygnału wyjściowego do amplitudy
harmonicznego sygnału wejściowego dla członu ró\niczkującego idealnego (T /Td = 0 ) i
dla członów ró\niczkujących rzeczywistych (T /Td > 0 ) (wykres Bode)
Rys. 40. Logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe kąta fazowego przesunięcia
harmonicznego sygnału wyjściowego w stosunku do harmonicznego sygnału wejściowego dla
członu ró\niczkującego idealnego (T /Td = 0 ) i dla członów ró\niczkujących
rzeczywistych (T /Td > 0 ) (wykres Bode)
87
Rys. 41. Zapasy wzmocnienia i fazy w układzie regulacji napędu okrętowego, linie niebieskie
układ regulacji w wersji podstawowej, linie czerwone układ regulacji z dodatkowym
członem korekcyjnym o charakterystyce rzeczywistego członu ró\niczkującego, w którym
Td =1sec i T = 0.005 sec
88
Rys. 42. Przebieg uchybu regulacji po skokowej zmianie wartości zadanej częstotliwości
obrotów wirnika turbiny napędu okrętowego o 0.5 Hz, linia brązowa skokowa zmiana
wartości zadanej, linia niebieska uchyb w układzie regulacji w wersji podstawowej, linia
czerwona uchyb w układzie regulacji z dodatkowym członem korekcyjnym o
charakterystyce rzeczywistego członu ró\niczkującego, w którym Td =1sec i
T = 0.005 sec
89
Zastosowanie członu korekcyjnego o odpowiednio dobranych parametrach pozwoliło
poprawić własności dynamiczne układu regulacji a szczególności umo\liwiło:
" korzystne zwiększenie zapasu fazy z ok. 4 stopni do ok. 40 stopni,
" korzystne powiększenie wartości współczynnika wzmocnienia układu w zakresie
częstości kątowej odpowiadającej kątowi przesunięcia fazowego ł = -Ą z -
współczynnik wzmocnienia powiększył się z ok. 0.07 do ok. 0.2 z zachowaniem
dostatecznie du\ego zapasu wzmocnienia wynoszącego ok. 5 i większego od
wymaganego minimum równego 2,
" korzystne prawie całkowite wyeliminowanie oscylacyjnych zmian uchybu po
skokowej zmianie zadanej wartości prędkości obrotowej,
" korzystne skrócenie czasu zaniku uchybu regulacji - czas zaniku zmniejszył się z ok. 5
sec do ok.0.02 sec.
90
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wykonywanie połączeń w urządzeniach precyzyjnych i układach automatyki przemysłowejPrzekazniki w automatyce przemyslowejmechanik automatyki przemyslowej i urzadzen precyzyjnychKomputerowe systemy automatyki przemyslowej piksapKomputerowe systemy automatyki przemysłowejsterowanie pracą i układy automatykiUkłady automatycznej regulacjiMechanik automatyki przemysłowejs11025 Hydrauliczne i pneumatyczne układy automatyki004new Automatyka UkładyLogiczneWykład 4 Automaty, algebry i cyfrowe układy logicznePodstawy Automatyki Lab 2014 CW1 Układy przełączające oparte na elementach stykowychMudry energetyczne układy dłoni(1)Automatyka okrętowa – praca kontrolna 2automatyka i sterowanie wykladAutomatyka okrętowa – praca kontrolna 4Automatyczna Ładowarka Akumulatorów SamochodowychStromlaufplan Passat 52 Automatisches 4 Gang Getriebe (AG4) ab 10 2000więcej podobnych podstron