XXXV OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ
Zawody II stopnia
RozwiÄ„zania zada« dla grupy elektryczno-elektronicznej
RozwiĄzanie zadania 1
Przed zaªÄ„czeniem ªÄ„cznika S kondensator C1 naªaduje siÅš do wartoÄ…ci napiÅšcia Ä…ródªa
E1 = 6 V, a kondensator C2 do wartoÄ…ci napiÅšcia Ä…ródªa E2 = 12 V.
S
R1 R2
i
t =0+ u
R
u(t)
C1 C2
E1
E2
Rys.1. Schemat ukªadu po zaªÄ„czeniu ªÄ„cznika S
W chwili t 0+ (rys.1), tu po zaªÄ„czaniu ªÄ„cznika S, napiÅšcie U 0+ na poªÄ„czonych
równolegle kondensatorach o wypadkowej pojemnoąci:
C = C1 + C2 = 20 F + 2 20 F = 60 F ;
mona wyznaczyó korzystajÄ„c z zasady zachowania ªadunku:
E1 C1 + E2 C2 = C U 0+ :
Patronem medialnym Olimpiady Wiedzy Technicznej jest ÿ PrzeglÄ„d Techniczny"
1
StĄd
E1 C1 + E2 C2 6 20 10 + 12 40 10 6
6
U 0+ = = = 6 V :
C 6
60 10
Przebieg napiŚcia u(t) na kondensatorach mona wyznaczyó korzystajĄc z zasady superpo-
zycji stanu ustalonego i stanu przejÄ…ciowego:
u(t) = U + u :
u p(t)
SkªadowÄ„ ustalonÄ„ U napiÅšcia u(t) mona wyznaczyó przyjmujÄ„c, e w stanie ustalonym
u
kondensatory stanowiĄ przerwŚ w obwodzie. Zatem, gdy t ! 1 oraz i = I mona np. napisaó:
u
E2 UR U = 0 ;
u
gdzie
E2 E1
UR = I R2 ; I = :
u u
R1 + R2
Zatem
E2 E1
12 + 6
U = E2 R2 = 12 1 103 = 3 V :
u
R1 + R2
1 103 + 1 103
Skªadowa przejÄ…ciowa u opisana jest równaniem:
p(t)
t

u = U 0+ e ;
p(t) p
a poniewa:
U 0+ = U + U 0+ ;
u p
to wartoąó poczÄ„tkowa skªadowej przejÄ…ciowej jest równa
U 0+ = U 0+ U = 6 3 = 3 V :
p u
Dla tej skªadowej Ä…ródªa napiÅšcia staªego E1 i E2 stanowiÄ„ zwarcie, zatem iloczyn wypad-
kowej rezystancji R, poªÄ„czonych równolegle rezystorów R1 i R2, oraz wypadkowej pojemnoÄ…ci
C , kondensatorów C1 i C2, okreÄ…la staªÄ„ czasowÄ„ przeªadowania :
R1 R2
1 103 1 103
6 6
= C R = C1 + C2 = 20 10 + 40 10 = 30 ms.
R1 + R2
1 103 + 1 103
2
Przebieg napiÅšcia u(t) zawierajÄ„cy, skªadowÄ„ ustalonÄ„ i skªadowÄ„ przejÄ…ciowÄ„, jest zatem
opisany wzorem:
33; 3 t
u(t) = 3 + 3 e V :
RozwiĄzanie zadania 2
PrĄd znamionowy silnika I jest równy:
aN
PN 1000
I = = = 12; 5 A :
aN
UN 0; 8 100
Iloczyn C , przyjmujĄc parametry znamionowe maszyny, jest równy:
e
UN I R
aN a V
C = = 0; 0875 :
e
nN obr
min
Zatem prÅšdkoąó biegu jaªowego mona obliczyó z zalenoÄ…ci:
U 100 obr
n0 = = = 1143 :
C 0; 0875 min
e
WstawiajĄc prŚdkoąó obrotowĄ w obr/min i moc znamionowĄ w kW moment znamionowy
silnika w Nm oblicza siÅš ze wzoru:
9549 PN 9549 1
M = = = 9; 549 Nm :
n
nN 1000
Iloczyn C jest zatem równy:
e
MN 9:549
Nm
C = = = 0; 764 :
e
I 12; 5 A
aN
PrĄd rozruchu jest równy:
U 100
I = = = 100 A :
ar
R 1
a
3
Moment rozruchowy mona zatem obliczyó z zalenoąci:
M = C I = 0; 764 100 = 76; 4 Nm :
r m ar
PrÅšdkoąó obrotowÄ„ w stanie pracy prÄ„dnicowej, jeeli do sieci pªynie prÄ„d znamionowy
maszyny I , mona obliczyó ze wzoru:
aN
U + I R
aN a 100 + 12; 5 1 obr
n = = = 1286 :
C 0; 0875 min
e
Charakterystyki maszyny w trzech strefach pracy przedstawiono na rys.1.
Skale osi:
M { 25 Nm/dziaªkÅš,
n { 200 obr/min/dziaªkÅš,
Ui { 50 V/dziaªkÅš,
IA { 20 A/dziaªkÅš.
M Ui n
i
i
i
obr
/min
Nm V
175 1600
prÄ…dnica
silnik hamulec
300
M
125 1200
1143
200
76,4
75
800
100
25 400
Ia
0 A
-120 -80 -40 40 80 120 160 200
Ui
i
i
i
-100 -400
n
-200 -800
Rys.1. Charakterystyki maszyny w trzech strefach pracy
4
Tabela 1
Strefa pracy maszyny prĄdnica silnika hamulec
*NapiÅšcie indukowane w wirniku U Ui = U + I R Ui = U I R Ui = U + I R
a a a a a a
i
**Relacje miÅšdzy prÅšdkoÄ…ciami n i n n > n0 0 < n < n0 n < 0
0
**Relacje miÅšdzy momentami M i M M < 0 0 < M < M M > M
r r
r
**Relacje miŚdzy prĄdami I i I I < 0 0 < I < I I > I
a a a ar a ar
ar
RozwiĄzanie zadania 3
WartoÄ…ci rezystancji termistora odczytane z charakterystyki Rt = f(#) podano w Tabeli 1.
Tabela 1
# C 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
R 6000 4000 2100 1200 800 550 330 200 110 75 50 31 11
t
Ad a) NapiŚcie U1 sterujĄce wzmacniaczem operacyjnym mona obliczyó z zalenoąci:
R Rt
E E
U1 = R Rt = E :
Rt + R Rt + R Rt + R
Polaryzacja napiÅšcia U1 zaley od relacji miÅšdzy wartoÄ…ciami rezystancji R i Rt,
gdy Rt > R U1 < 0 ,
gdy Rt < R U1 > 0 .
Z warunków zadania wynika, e dla temperatury # = 40 C, dla której rezystancja termistora
Rt = 200 , napiÅšcie U1 powinno speªniaó warunek U1 = 0.
Warunek ten jest speªniony, gdy R = Rt = 200 .
Ad b) W celu ograniczenia zjawiska samo podgrzewania siÅš termistora naley zgodnie z cha-
rakterystykĄ U = f(I) przyjĄó, e w zadanym zakresie temperatur pracy czujnika, w najnieko-
rzystniejszych warunkach (tzn., gdy # = 90 C) przez termistor moe pªynĄó prÄ„d nie wiÅškszy
ni I = 10 mA.
max
5
ZakªadajÄ„c, e prÄ„d w dowolnej gaªÅšzi mostka jest równy I = I = 10 mA maksymalne
max
napiÅšcie Ä…ródªa zasilania E ma wartoąó:
max
E = I R + R90 = 0; 01 (200 + 11) = 2; 11 V :
max max
Warunki zadania speªnia np. dioda referencyjna o napiÅšciu 1; 25 V.
Ad c) PrzyjmujÄ„c wartoąó napiÅšcia Ä…ródªa zasilajÄ„cego mostek pomiarowy E = 1; 25 V wspóª-
rzÅšdne punktów charakterystyki U1 = f(#) mona wyznaczyó posªugujÄ„c siÅš TabelÄ„ 1 z zale-
noÄ…ci:
R Rt
U1 = E :
Rt + R
Wyniki oblicze« przedstawiono w Tabeli 2, a charakterystykÅš U1 = f(#) na rys.1.
Tabela 2
# C 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
U V 1; 17 1; 13 1; 03 0; 89 0; 75 0; 58 0; 31 0 0; 54 0; 57 0; 75 0; 91 1; 12
1
U1
1,0
0,8
U0
V
0,6
0,4
0,2
10
0
-30 -10 10 30 50 70 90
C
-0,2
-0,4
0
-30 -10 10 30 50 70 90
C
-0,6
-0,8
-10
-1,0
Rys.1. Charakterystyka U1 = f(#) Rys.2. Charakterystyka U0 = f(#)
CharakterystykÅš U0 = f(#) przedstawiono na rys.2.
6
RozwiĄzanie zadania z optymalizacji
W tabeli 1 zapisano ªÄ„czne koszty produkcji i transportu przy kooperacji lii Fi i zakªadu
Zj
Tabela 1
Z Z Z Z
1 2 3 4
F 120 90 140 60
1
F 100 110 70 90
2
F 70 80 120 50
3
F 50 90 70 110
4
W celu rozwiĄzania problemu naley, korzystajĄc z tabeli 1, sporzĄdzió roboczĄ tabelŚ 2,
w której wartoÄ…ci Xij, czyli liczby podzespoªÃ³w produkowanych w lii Fi dostarczanych do
zakªadu Zj, bÅšdÄ„ dobierane w ten sposób, aby mona byªo wybraó warianty o najniszym
koszcie K Fi Zj ,
Tabela 2
Z Z Z Z produkcja
1 2 3 4
F X11 X12 X13 X14 60
1
F X21 X22 X23 X24 45
2
F X31 X32 X33 X34 75
3
F X41 X42 X43 X44 50
4
dostawa 80 50 60 30
a ponadto, eby speªnione byªy nierównoÄ…ci:
X11 + X12 + X13 + X14 60
X21 + X22 + X23 + X24 45
X31 + X32 + X33 + X34 75
7
X41 + X42 + X43 + X44 50
i równania:
X11 + X21 + X31 + X41 = 80
X12 + X22 + X32 + X42 = 50
X13 + X23 + X33 + X43 = 60
X14 + X24 + X34 + X44 = 30
Funkcja celu ma postaó:
4 4
X X
Koszt = K Fi Zj Xij :
i = 1 j = 1
Wypeªniona tabela 2, w pierwszej wersji, moe mieó zatem postaó jak w tabeli 3
Tabela 3
Z Z Z Z produkcja
1 2 3 4
F 60
1
F 45(3) 45
2
F 30(2) 75
3
F 50(1) 50
4
dostawa 80 50 60 30
W nawiasach podany numer kroku.
By uniknĄó wysokich kosztów zwiÄ„zanych z uzupeªnieniem dostawy do zakªadu Z3 przez
lie F1 lub F3 wprowadza siÅš w 5 kroku do tabeli 3 korektÅš (tabela 4).
8
Tabela 4
Z Z Z Z produkcja
1 2 3 4
F 50(7) 60
1
F 45(3) 45
2
F 45(6) 30(2) 75
3
F 35(5) 15(4) 50
4
dostawa 80 50 60 30
ŠÄ„czna suma minimalnych kosztów produkcji i transportu jest zatem równa:
Koszt = 45 70 + 35 50 + 50 90 + 45 70 + 15 70 + 30 50 = 15100 zª :
Przedstawiona metoda rozwiĄzania zadanie nie jest jedynĄ. Mona tu wykorzystaó metodŚ
Simplex lub tzw. algorytm transportowy.
Jest to równie idealny przykªad na zastosowanie narzÅšdzia Solver w Excelu, w takim przy-
padku otrzymuje siÅš w tym zadaniu trochÅš inny rozkªad dostaw, ale o tym samym koszcie
minimalnym.
RozwiĄzanie zadania z zastosowania informatyki
Algorytm oblicze«
Wczytaó liczbÅš wierzchoªków.
Wczytaó wspóªrzÅšdne kolejnych wierzchoªków wielokÄ„ta.
Podzielió wielokÄ„t na trójkÄ„ty o jednym wspólnym wierzchoªku (np. moe to byó pierwszy
wczytany wierzchoªek wielokÄ„ta).
Kolejno dla wszystkich trójkĄtów obliczyó:
{ dªugoąó boków,
{ powierzchniÅš (np. ze wzoru Herona),
{ wspóªrzÅšdne Ä…rodków dwu z trzech boków trójkÄ„ta,
{ równania dwu ąrodkowych,
{ wspóªrzÅšdne Ä…rodka ciÅškoÄ…ci leÄ„cego na przeciÅšciu siÅš Ä…rodkowych,
9
 Obliczyó pole powierzchni wielokĄta jako sumŚ powierzchni trójkĄtów,
Obliczyó poªoenie Ä…rodka ciÅškoÄ…ci kolejno
{ dwóch pierwszych trójkĄtów,
{ dwóch pierwszych trójkĄtów i trzeciego,
{ trzech pierwszych trójkĄtów i czwartego itd.
Wydrukowaó wartoąó powierzchni i wspóªrzÅšdne Ä…rodka ciÅškoÄ…ci wielokÄ„ta.
Przykªad programu (jÅšzyk C)
#include
#include
#include
double A[ 50][ 5], B[ 3][ 5];
FILE *p;
void wczytanie_danych(int);
void dlugosci_bokow( int);
void pole(int);
void srodki_bokow(int);
void srodek_ciezkosci(int);
void wyniki(int);
void main()
{
/* Dane wczytywane sĄ z pliku ` ` Dane. dat' ' . Wczytywana *
* jest liczba wierzchoªków, a nastÅšpnie wspóªrzÅšdne x i y *
* kolejnych wierzchoªków - tablica A. IstotÄ„ algorytmu *
* jest podziaª wielokÄ„ta na trójkÄ„ty dla których jednym z *
* wierzchoªków jest zawsze pierwszy wierzchoªek wielokÄ„ta *
* (A[ 0][ 0], A[ 0][ 1]). WspóªrzÅšdne wierzchoªków tych *
* trójkĄtów wprowadzone sĄ do roboczej tablicy B. *
* Obliczane jest pole trójkÄ„ta i poªoenie jego Ä…rodka *
* ciÅškoÄ…ci. Z tych danych w funkcji , , Wyniki' ' obliczane *
* jest pole i poªoenie Ä…rodka ciÅškoÄ…ci caªego wielokÄ„ta. */
int n, n1, k;
p=fopen("D: \\Dane. dat", "r");
fscanf(p, "%d", &n);
n1=n-2;
wczytanie_danych(n);
A[ n][ 0]=A[ 0][ 0];
10
A[ n][ 1]=A[ 0][ 1];
B[ 0][ 0]=A[ 0][ 0];
B[ 0][ 1]=A[ 0][ 1];
for(k=1; k<=n1; k++)
{
B[ 1][ 0]=A[ k][ 0];
B[ 1][ 1]=A[ k][ 1];
B[ 2][ 0]=A[ k+1][ 0];
B[ 2][ 1]=A[ k+1][ 1];
dlugosci_bokow( k);
pole(k);
srodki_bokow( k);
srodek_ciezkosci(k);
}
wyniki(n1);
return;
}
void wczytanie_danych(int n)
{
int i;
for(i=0; i < n; i++)
fscanf(p, "%lf%lf", \&A[ i][ 0], \&A[ i][ 1]);
return;
}
void dlugosci_bokow( int k)
{
int i;
double x, y;
for(i=0; i < 2; i++)
{
x=B[ i+1][ 0]-B[ i][ 0];
y=B[ i+1][ 1]-B[ i][ 1];
B[ i][ 2]=sqrt( x*x+y*y);
}
x=B[ 2][ 0]-B[ 0][ 0];
y=B[ 2][ 1]-B[ 0][ 1];
B[ 2][ 2]=sqrt(x*x+y*y);
return;
}
11
void pole(int k)
{
int i;
double ob=0, pl;
for(i=0; i < =2; i++)
ob=ob+B[ i][ 2];
ob=0. 5*ob;
pl=ob;
for(i=0; i < 3; i++)
pl=pl*(ob-B[ i][ 2]);
pl=sqrt(pl);
A[ k-1][ 2]=pl;
return;
}
void srodki_bokow(int k)
{
int i;
for(i=0; i < 2; i++)
{
B[ i][ 3]=0. 5*( B[ i+1][ 0]+B[ i][ 0]);
B[ i][ 4]=0. 5*( B[ i+1][ 1]+B[ i][ 1]);
}
B[ 2][ 3]=0. 5*(B[ 2][ 0]+B[ 0][ 0]);
B[ 2][ 4]=0. 5*(B[ 2][ 1]+B[ 0][ 1]);
return;
}
void srodek_ciezkosci(int k)
{
int i=0;
double a1, a2, b1, b2, m1, m2, W, Wx, Wy;
m1=B[ 0][ 0]-B[ 1][ 3];
m2=B[ 1][ 0]-B[ 2][ 3];
a1=(B[ 0][ 1]-B[ 1][ 4])/m1;
a2=(B[ 1][ 1]-B[ 2][ 4])/m2;
b1=(B[ 1][ 3]*B[ 0][ 1]-B[ 0][ 0]*B[ 1][ 4])/m1;
b2=(B[ 2][ 3]*B[ 1][ 1]-B[ 1][ 0]*B[ 2][ 4])/m2;
W=a2-a1;
Wx=b2-b1;
Wy=a1*b2-a2*b1;
A[ k-1][ 3]=Wx/W;
A[ k-1][ 4]=Wy/W;
12
return;
}
void wyniki(int n1)
{
int i;
double x, y, F;
F=A[ 0][ 2];
x=A[ 0][ 3];
y=A[ 0][ 4];
for (i=1; i < =n1; i++)
{
x=x*F+A[ i][ 3]*A[ i][ 2];
y=y*F+A[ i][ 4]*A[ i][ 2];
F=F+A[ i][ 2];
x=x/F;
y=y/F;
}
printf(" Wspolrzedne srodka ciezkosci\n");
printf("\n\n x=%lf y=%lf\n\n", x, y);
printf(" Pole\n");
printf("\n\n F=%lf\n\n\n", F);
return;
}
13