Rozwijanie funkcji nieliniowej w
szereg Taylora
Brook Taylor
(ur. 18 sierpnia 1685 na przedmieściach Londynu Edmonton,
zm. 29 grudnia 1731 w Londynie),
angielski matematyk, znany jako autor szeregu Taylora.
Szereg Taylora
W powy\
szym wzorze
nazywamy resztÄ… Lagrange'a i oznaczamy Rn.
Ograniczamy szereg do wyrazów
pierwszego rzędu
ëÅ‚ öÅ‚
"f "f "f
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
f (x, y, z) = f (x0, y0, z0) + "x + ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚x=x
ìÅ‚ ÷Å‚x=x "y + ìÅ‚ "z ÷Å‚x=x "z
0 0
0
"x "y
íÅ‚ Å‚Å‚y=y íÅ‚ Å‚Å‚y= y0
íÅ‚ Å‚Å‚y= y0
0
z=z0 z=z0
z=z0
"f
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚x=x - pochodna z funkcji f wzglÄ™dem x dla x=x0 , y=y0 i
0
"x
íÅ‚ Å‚Å‚y= y0
z=z0.
z=z0
Przykładowa funkcja:
y = 2x2 + 4x + 3
x0 = 5
y = (2x02+4x0+3) + (4x0+4)"
"x
"
"
y = 73 + 24"
"x
"
"
Porównanie wyników obliczeń dla
oryginalnej funkcji i rozwiniętej w szereg
x
x y y'
"
"
"
"
4.5 61.5 -0.5 61.0
4.6 63.7 -0.4 63.4
4.7 66.0 -0.3 65.8
4.8 68.3 -0.2 68.2
4.9 70.6 -0.1 70.6
5 73.0 0 73.0
5.1 75.4 0.1 75.4
5.2 77.9 0.2 77.8
5.3 80.4 0.3 80.2
5.4 82.9 0.4 82.6
5.5 85.5 0.5 85.0
Porównanie wykresów funkcji
nieliniowej i liniowej
85.0
80.0
75.0
Nieliniowa
Liniowa
70.0
65.0
60.0
5
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Porównanie wykresów funkcji dla
większych wartości "
"x
"
"
300.0
250.0
200.0
150.0
Nieliniowa
100.0
Liniowa
50.0
0.0
-50.0
-100.0
0
2
4
6
8
10
Funkcja zale\
ności azymutu od
współrzędnych
x
B
Ä…AB
A
YB - YA
Ä… = arctg
AB
X - X
B A
Rozwinięcie funkcji arctg w szereg Taylora
YB -YA
Ä… = arctg
AB
X - X
B A
-1Å" (YB - YA )
"Ä… 1
= Å" Å" (-1)
2 2
"X
(X - X )
A ëÅ‚ öÅ‚
YB - YA
B A
ìÅ‚ ÷Å‚
1 +
ìÅ‚ ÷Å‚
X - X
íÅ‚ B A Å‚Å‚
(YB - YA )
"Ä…
=
"X
(X - X )2 + (YB - YA )2
A
B A
Pochodna względem YA
YB -YA
Ä… = arctg
AB
X - X
B A
"Ä… 1 -1
= Å"
2
"YA
ëÅ‚ öÅ‚
B A
YB -YA ÷Å‚ (X - X )
ìÅ‚
1+
ìÅ‚ ÷Å‚
X - X
íÅ‚ B A Å‚Å‚
"Ä… -(XB - XA)
=
"YA (XB - XA)2 +(YB -YA)2
Funkcja po rozwinięciu w szereg Taylora
Ä… = Ä… + aA Å" "xA + bA Å" "yA + aB Å" "xB + bB Å" "yB
AB AB0
YB -YA
0 0
Ä…AB = arctg
0
X - X
B0 A0
(YB -YA )
"Ä…
0 0
aA = = * Á
aB = -aA
"X (X - X )2 + (YB -YA )2
A B0 A0
0 0
- ( X - X )
"Ä…
B0 A0
bB = -bA
bA = = * Á
"YA ( X - X )2 + (YB - YA )2
B0 A0
0 0
cc
Á = 636620cc
Á"= 206265"
Przykład
x
B
(1600.00, 1800.00)
Ä…AB
A
YB - YA
(1000.00, 1000.00)
Ä… = arctg
AB
X - X
B A
Ä… = Ä… + aA Å" "xA + bA Å" "yA + aB Å" "xB + bB Å" "yB
AB AB0
YB -YA
1800.00 -1000.00
0 0
Ä… = arctg = arctg = 59,0334
AB0
X - X 1600.00 -1000.00
B0 A0
(YB -YA )
"Ä… 1800.00 -1000.00
cc
0 0
aA = = Ácc = Á = 509,30
"X (X - X )2 + (YB -YA )2 1000.002
A B0 A0
0 0
- ( X - X )
"Ä… - (1600 .00 -1000 .00)
B0 A0
cc cc
bA = = Á = Á = -381,97
2
"YA ( X - X )2 + (YB - YA )2 1000 .00
B0 A0
0 0
aB = -aA
bB = -bA
Ä… = 590334cc + 509,30"xA - 381,97"yA - 509,30"xB + 381,97"yB
AB
Ä… = 590334cc + 509,30"xA - 381,97"yA - 509,30"xB + 381,97"yB
AB
x
B
"Ä… = -509,30"xB = -509,30Å"0.01H" -5cc
"Ä… = 381,97"yB = 381,97 Å"0.01 H" 4cc
Ä…
A
"Ä… = 509,30"xA = 509,30Å"0.01 H" 5cc
"Ä… = -381,97"yA = -381,97Å"0,01H" -4cc
B
Ä… = Ä… + aB Å" "xB + bB Å" "yB
AB AB0
Ä…
A
B
Ä…
Ä… =Ä… + aA Å""xA + bA Å""yA
AB AB0
A