MECHANIKA
UKA
ADÓW WIELOCZA
ONOWYCH
Prowadzący: dr in\
. Paweł Ostapkowicz
WM-324
Wykład 4
Temat: Dynamika mechanizmów
1. Wstęp
Analiza dynamiczna mechanizmów obejmuje:
" badanie wpływu sił zewnętrznych, cię\
aru, sił tarcia oraz sił bezwładności na człony
ruchome, pary kinematyczne i podstawę;
" badanie ruchu mechanizmu pod działaniem zadanych sił i ustalenie parametrów,
zapewniających zadane przebiegi mechanizmu.
Najczęściej w obliczeniach stosuje się ogólne równania równowagi ciał sztywnych,
np. zasadę d'Alem-berta.
Zgodnie z zasadą d'Alem-berta wpływ ruchu na obcią\
enie członów i reakcje w parach
kinematycznych mo\
e być uwzględniony przez dołączenie do sił zewnętrznych, sił
bezwładności.
Zasada d'Alem-berta: Układ sił zewnętrznych i reakcji zewnętrznych działających na
układ mechaniczny z dodaniem sił bezwładności tego układu stanowi układ równowa\
ny
zeru.
Zapis
matematyczny:
Poszczególne siły bezwładności
wyra\
ają się równaniem:
Kinetostatyka - metoda polegająca na rozpatrywaniu równowagi wszystkich sił wraz z siłą
bezwładności (równania wynikające z zasady d'Alemberta przypominają równania
statyki).
Podział sił zewnętrznych działających na mechanizm mo\
na w ogólności dokonać na:
- siły czynne (napędzające) - siły, których praca w danym okresie jest dodatnia,
- siły bierne (oporu) - siły, których praca w mechanizmie jest ujemna, tzn. siły te
działają przeciwnie do przesunięcia.
Podczas trwania określonego ruchu mechanizmu ta sama siła mo\
e być w części okresu
siłą czynną, a w innej części okresu siłą bierną.
Siły oporu mo\
na podzielić na tzw.:
- opory u\
yteczne - nazywane oporami technologicznymi, np. opór skrawania
w obrabiarkach,
- opory szkodliwe - które powinny być ograniczane w jak największym stopniu,
np. opory tarcia w przegubach.
Główne siły czynne pochodzą
zwykle od silników
napędzających lub innego rodzaju
napędów.
Przebieg zmienności tych sił
określa się przez podanie
charakterystyki mechanicznej
maszyny.
Charakterystyką mechaniczną
maszyny nazywa się zale\
ność
momentu (lub mocy)
przyło\
onego do wału
wyjściowego silnika
(lub wału wejściowego maszyny)
od prędkości obrotowej
(lub kątowej) tego wału.
Rys. Przykłady charakterystyk wybranych napędów i maszyn
2. Masy zastępcze
W wielu wypadkach, gdy znane są przyspieszenia pewnych punktów członu, wygodniej
jest w celu wyznaczenia sił bezwładności nie redukować układu sił do środka mas, ale
skupić masę członu w punktach, których przyspieszenia są znane.
Taką metodę postępowania nazywa się metodą skupionych mas zastępczych. Aby mo\
na
było człon o masie rozło\
onej zastąpić kilkoma masami skupionymi w określonych
punktach, muszą być spełnione następujące warunki:
1) suma mas zastępczych musi być równa masie członu:
2) środek masy układu mas skupionych powinien pokrywać się ze środkiem masy członu
mechanizmu.
- warunek ten dla układu płaskiego wyra\
a się równaniami:
- w przypadku układu przestrzennego dochodzi jeszcze równanie:
3) moment bezwładności układu mas zastępczych względem osi przechodzącej przez
środek mas powinien być równy momentowi bezwładności członu względem tej samej
osi.
- w przypadku układu płaskiego wyra\
a się to równaniem:
- w przypadku układu przestrzennego:
Jeśli chce się zastąpić masę członu płaskiego n masami skupionymi, nale\
y określić
3n parametrów (ka\
da masa określona jest trzema parametrami: wielkość i dwie
współrzędne).
Poniewa\
w układzie płaskim nale\
y spełnić 4 równania, mo\
na dowolnie zało\
yć
p parametrów, których ilość mo\
na policzyć korzystając z zale\
ności: .
3. Statyczna wyznaczalność mechanizmu
Ka\
dy mechanizm to pewna struktura, dzięki której człony wykonują odpowiedni ruch.
Struktura mechanizmu musi uwzględniać ograniczenia ruchu, które nazywa się więzami.
Reakcjami więzów w mechanizmach nazywa się siły oddziaływania jednego członu na
drugi.
Jak wyznaczyć te reakcje, jaki musi być spełniony warunek?
Warunkiem statycznej wyznaczalności mechanizmu płaskiego jest spełnienie równań
rzutów i momentów, znanych w mechanice:
gdzie punkt 0 jest dowolnie wybranym stałym biegunem.
Zatem liczba równań statyki, które mo\
na uło\
yć dla mechanizmu o n członach wyniesie
3n. Tyle niewiadomych reakcji mo\
na wyznaczyć z równań mechaniki.
Ile reakcji mo\
na mieć w mechanizmie płaskim, w który wchodzą pary V i IV klasy?
W parze obrotowej V klasy jest jedna wiadoma, tj. znany jest
punkt przyło\
enia reakcji, poniewa\
musi ona przechodzić
przez oś przegubu. Niewiadome są dwie, tj.: wartość reakcji i
jej kierunek. Wartość i kierunek reakcji zale\
ą od sił
działających na człony k i l.
W parze postępowej V klasy jest tak\
e jedna wiadoma,
tj. kierunek reakcji, poniewa\
wiadomo, \
e musi być ona
prostopadła do kierunku ruchu (zakładany jest brak tarcia).
Niewiadomymi są wartość i punkt przyło\
enia reakcji,
zale\
ne od obcią\
enia członów.
W parze wy\
szej IV klasy 4.6c) są dwie wiadome (dlatego
para ta nazywa się wy\
szą), tj. kierunek reakcji, (równoległy
do prostej n-n przechodzącej przez środki krzywizn) i punkt
jej przyło\
enia (w punkcie styku). Niewiadomą jest wartość
reakcji.
W ka\
dej parze V klasy są dwie niewiadome, a w parze IV klasy tylko jedna.
Jeśli mechanizm składa się z p5 par piątej klasy i p4 par czwartej klasy to sumaryczna ilość
niewiadomych wynosi 2p5 + p4. Aby mechanizm był statycznie wyznaczalny, to ilość
niewiadomych musi być równa ilości równań statyki. Otrzymuje się więc warunek:
3n = 2p5 + p4.
Widać, \
e warunek statycznej wyznaczalności mechanizmu jest identyczny z warunkiem
istnienia grupy.
Identyczny warunek jest dla mechanizmów przestrzennych, w których jest 6 równań
statyki dla ka\
dego członu. Warunek ten jest następujący:
6n = 5p5 + 4p4 + 3p3+2p2+p1.
Z równań tych wynika, \
e grupy są łańcuchami kinetostatycznie wyznaczalnymi.
Aby więc wyznaczyć reakcje w mechanizmie, nale\
y najpierw podzielić go na grupy,
a następnie rozwa\
ać równowagę grupy.
4. Plan sił członu napędzającego
Człon napędzający tworzy najczęściej z podstawą parę postępową lub obrotową, do której
mo\
e być przyło\
ony moment sił. Człon napędowy ma 1 stopień swobody względem
podstawy.
Dla członu napędzającego nie jest spełniony warunek statycznej wyznaczalności
mechanizmu.
Jeśli do członu napędzającego byłyby przyło\
one tylko siły bezwładności tego członu
i reakcje w węzłach od pozostałych członów mechanizmu i podstawy, człon napędowy nie
byłby w równowadze.
Aby go zrównowa\
yć, nale\
y przyło\
yć siłę zewnętrzną (lub moment) pochodzącą od
napędu. Siła ta (lub moment) jest konieczna do utrzymania mechanizmu w zało\
onym
ruchu. Siłę tę pochodzącą od napędu a konieczną do zachowania równowagi członu
napędzającego nazywa się siłą równowa\
ącą. Jeśli do członu napędowego przyło\
ony jest
moment pochodzący od napędu, a konieczny do zachowania równowagi nazywa się go
momentem równowa\
ącym.
Człon napędzający wykonuje np. ruch obrotowy.
o dane: reakcja pochodząca od pozostałych części mechanizmu R21 oraz obcią\
enie
zewnętrzne członu napędowego P1 i M1;
o znalez
ć: moment równowa\
ący MR i reakcję podstawy R0l;
o zało\
enie: P1 jest wypadkową sił bezwładności, sił cię\
kości i sił zewnętrznych
przyło\
onych do członu.
Reakcja w punkcie O zale\
y od sposobu
przyło\
enia do członu siły PR lub
momentu MR. Jeśli człon napędowy
połączony jest z wałem silnika za pomocą
sprzęgła, to przyło\
ony jest do niego
moment MR. Przy innym sposobie
przyłączenia członu do silnika jest do
niego przyło\
ona siła równowa\
ąca PR.
Gdy się zało\
y, \
e do członu przyło\
ony jest moment MR, to rozwiązanie otrzyma się
w sposób następujący:
- reakcję podstawy R01 wyznaczy się
z wieloboku sił (na człon działają trzy siły),
- moment równowa\
ący wyznaczy się z
równowagi momentów względem punktu O
5. Analityczno-wykreślne wyznaczanie sił w mechanizmach płaskich bez tarcia
Jeśli na rozpatrywany łańcuch kinematyczny działa układ sił składający się z kilku
znanych sił oraz dwóch sił nie znanych co do wartości, ale o znanych kierunkach, to
mo\
na zbudować wielobok sił ze znanych sił i wykreślić dwa zamykające boki wieloboku
z sił nie znanych, rozwiązując zadanie wykreślnie.
Jeśli sił nie znanych jest więcej ni\
dwie, to wieloboku nie da się zamknąć. W tym
przypadku stosuje się metodę analityczno-wykreślną. Najpierw układa się równania
równowagi obliczając analitycznie niektóre z niewiadomych, a dopiero po zmniejszeniu
liczby niewiadomych do dwóch mo\
na wykreślić plan sił. Jako równanie równowagi
nale\
y obrać równanie momentów. Sprawdzenie tych równań jest konieczne, gdy\

zamykanie się wieloboku sił nie zapewnia zerowania się momentu głównego układu sił.
Układając równania momentów nale\
y starać się tak dobrać punkty, względem których
obliczane są momenty, aby w ka\
de równanie wchodziła tylko jedna niewiadoma,
np. reakcja poprzeczna do członu.
Kolejność postępowania przy określaniu reakcji jest następująca:
" podanie wszystkich sił wraz z siłami bezwładności, działających na człony
mechanizmu;
" podzielenie mechanizmu na grupy i człon napędzający, wraz z oddzielną analizą
równowagi ka\
dej grupy.
Analizę rozpoczyna się od grupy najbardziej oddalonej od członu napędzającego, kolejno
dochodząc na końcu do analizy członu napędzającego.
Rozpatrywanie równowagi typowych grup
a) grupa klasy drugiej z parą postępową
Reakcja pary postępowej jest
prostopadła do osi prowadnicy, przy
czym oprócz jej wartości nie znany
jest tak\
e punkt jej przyło\
enia.
Reakcje poprzeczne wyznacza się
z równania momentów:
stąd:
Po wyznaczeniu tej reakcji mo\
na
wykreślić wielobok sił. Z wieloboku
znajduje się R01 i R02w oraz reakcje w punkcie B. Aby wyznaczyć poło\
enie reakcji R01,
układa się równanie momentów sił działających na człon 1 względem punktu B:
b) grupa klasy trzeciej z parami obrotowymi
Do członów przyło\
ono siły zewnętrzne i siły
bezwładności (reprezentują te siły: siły Pi
i momenty Mi). Człony 4, 5, 6 tworzą sztywny
trójkąt, który traktuje się jak jeden człon. Siłę
działającą na ten człon oznaczono PT, a moment MT.
Do planu sił całej grupy wchodzi sześć nieznanych
reakcji. Cztery z nich trzeba wyznaczyć analitycznie.
Trzy reakcje R01p, R02p, R03p mo\
na wyznaczyć
z równań momentów kolejno członu 1 względem
punktu B, członu 2 względem punktu C i członu 3
względem punktu D. Czwarta mo\
e być np. reakcja
R03w. W celu jej wyznaczenia nale\
y uło\
yć równanie
momentów sił działających na całą grupę względem
punktu S, w którym przecinają się kierunki członów
1 i 2:
Ramiona sił (nie przedstawione na rysunku) są
odmierzane prostopadle do odpowiednich sił.
Po wyznaczeniu R03w mo\
na narysować wielobok sił
dla całej grupy. Z wieloboku mo\
na wyznaczyć siły
RB, RC i RD będące reakcjami punktów B, C i D na
odpowiednie człony. Reakcje te łącznie z siłą PT
tworzą zamknięty wielobok przedstawiający siły
działające na trójkąt T. Aby uzyskać ten wielobok,
trzeba układając plan sił kreślić je kolejno w obranym
kierunku. Na rysunku przyjęto kierunek w prawo,
przechodząc od sił członu 1 (R0lp , P1) do sił członu
T (PT), dalej do członu 3 (P3, R03w, R03p) i do członu
2 (P2, R02p). Pozostałe do zamknięcia wieloboku
niewiadome tak\
e spełniają tę kolejność (R02w, R01w).
6. Wyrównowa\
anie mechanizmów płaskich
W trakcie zło\
onego ruchu mechanizmów płaskich (np. dz
wigniowych) na ich ogniwa
działają zmienne siły i momenty sił bezwładności.
Wyrównowa\
enie statyczne ogranicza się do unieruchomienia środka cię\
kości
mechanizmu jako całości, co uzyskuje się poprzez odpowiednią korekcję mas ruchomych
ogniw mechanizmu. W efekcie eliminuje się jedynie siły, lecz nie momenty sił
bezwładności.
Poprzez zwiększenie mas ogniw ruchomych zwiększa ich masowe momenty bezwładności
i w rezultacie zwiększa się przenoszenie dynamicznego momentu na fundament.
Całkowite dynamiczne wyrównowa\
enie mechanizmu jest mo\
liwe poprzez zmianę
struktury mechanizmu np. zastosowanie zamiast struktury rzędowej układu cylindrów
silników tłokowych układu przeciwbie\
nego typu  bokser . Nie zawsze jednak zmiana
struktury jest mo\
liwa (np. silniki jednocylindrowe).