MECHANIKA
UKA
ADÓW WIELOCZA
ONOWYCH
Prowadzący: dr in\
. Paweł Ostapkowicz
WM-324
Wykład 2 i 3
Temat: Metody wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów
płaskich
1. Wstęp
Kinematyka: (od greckiego słowa  kinema - ruch)  dział mechaniki, który zajmuje się
badaniem ruchu mechanizmów w oderwaniu od przyczyn (sił), które ten ruch powodują.
Stąd uzasadnia to często stosowaną zamiennie ze słowem kinematyka nazwę geometria
ruchu.
Badanie ruchu polega na określeniu poło\
eń, prędkości i przyspieszeń punktów (danego
mechanizmu).
W kinematyce występują dwie jednostki:
- długości (przemieszczenia),
- czasu.
Kinematyka dzieli się na dwa podstawowe działy:
1) analiza  dotyczy badania ruchu istniejących mechanizmów,
2) synteza  dotyczy projektowania mechanizmów wykonujących określony ruch.
Metody stosowane w kinematyce mo\
na podzielić na trzy grupy:
- metody wykreślne  są szczególnie przydatne dla konstruktorów mechanizmów
i maszyn. Pozwalają prosto i szybko wyznaczyć poło\
enia, prędkości i przyśpieszenia
w zło\
onych mechanizmach;
- metody analityczne  zapewniają większą dokładność wyników;
- metody numeryczne  zapewniają większą dokładność wyników i szybkość obliczeń.
Metody analizy powinny być dobierane w zale\
ności od \
ądanej dokładności i rodzaju
mechanizmu. W mechanizmach prostych metody analityczne są dość proste,
w mechanizmach zło\
onych stają się one mocno skomplikowane.
2. Przypomnienie wiadomości o wektorach
Wektor jest to wielkość posiadająca:
- kierunek,
- zwrot,
- punkt przyło\
enia,
- wartość.
Działania na wektorach:
- mno\
enie skalarne,
- dodawanie skalarne,
- dodawanie graficzne.
3. Metody wykreślne wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów płaskich
Podstawowym zagadnieniem przy stosowaniu metod wykreślnych jest przyjęcie
odpowiedniej podziałki.
�
Podziałka jest to skalar określający stosunek wielkości rzeczywistej do rysunkowej
i mający taki wymiar, aby na rysunku otrzymać długość w milimetrach.

X X
� = =

(X )
(X )

X
- wektor rzeczywisty,
X
- moduł wektora,

(X )
- wektor rysunkowy,
(X )
- moduł wektora,
�v
- podziałka prędkości (m/s / mm)
��
- podziałka dla przyspieszenia kątowego (1/s2 / mm)
3.1. Wyznaczanie prędkości
METODA RZUTÓW
Twierdzenie: Rzuty prędkości dwóch punktów A i B członu sztywnego (nie powinien się
rozciągać lub kurczyć) na prostą AB są sobie równe.
Rys. Ilustracja metody rzutów
Dane konieczne do zastosowania metody to:
1) prędkość jednego punktu,
2) kierunek prędkości drugiego punktu.
METODA CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU
Twierdzenie: Ze środka chwilowego obrotu członu widać prędkości wszystkich punktów
członu pod jednakowym kątem.
VA = rA�A
Zawsze mo\
na napisać, \
e
Rys. Ilustracja metody chwilowego
środka obrotu
Dane konieczne do zastosowania metody to:
1) prędkość jednego punktu ciała,
2) poło\
enie chwilowego środka obrotu.
Co zrobić, gdy poło\
enie chwilowego środka obrotu nie mieści się na rysunku?
Twierdzenie: Ka\
dy ruch zło\
ony mo\
e być rozpatrywany jako chwilowy ruch postępowy i
obrotowy.
Składowe chwilowego ruchu obrotowego są
prostopadłe do a0b0 i są proporcjonalne do
odległości od punktu O.
To prawo proporcjonalności pozwala określić
prędkość dowolnego punktu członu sztywnego,
Rys. Ilustracja zasady, \
e ka\
dy
w przypadku gdy nie znany jest kierunek jego
ruch zło\
ony składa się z ruchu
prędkości, a środek prędkości le\
y poza
obrotowego i postępowego
rysunkiem.
Dane konieczne do zastosowania metody to:
1) prędkość jednego punktu ciała,
2) kierunek prędkości drugiego punktu.
Do wyznaczenia chwilowego środka obrotu (środka prędkości) trzeba mieć dane kierunki
prędkości dwóch punktów ciała sztywnego i punkty przyło\
enia tych prędkości. Środek
prędkości le\
y na przecięciu prostopadłych do kierunków prędkości, wyprowadzonych z
punktów przyło\
enia prędkości.
Jak wyznaczyć chwilowe środki obrotu trzech układów płaskich poruszających się
względem siebie?
Twierdzenie: Trzy chwilowe środki obrotu względnego dowolnych trzech członów
mechanizmu płaskiego le\
ą na jednej prostej.
Rys. Trzy układy płaskie poruszające się względem siebie
trzy układy płaskie: i, k , l; dane środki obrotu: ki, li, kl;
przy czym poszukiwany jest środek obrotu kl
Punkt x będzie chwilowym środkiem obrotu członów k i l
wtedy i tylko wtedy, jeśli "V = 0, a to wymaga aby x le\
ał
na prostej kl.
METODA ROZKA
ADU (NA PR
DKOŚĆ UNOSZENIA I PR
DKOŚĆ WZGL
DN
)
Twierdzenie: Prędkość bezwzględna dowolnego punktu ciała sztywnego
jest sumą wektorową prędkości unoszenia i prędkości względnej.
Ruch względny jednego punktu członu sztywnego
względem drugiego punktu tego członu mo\
e być tylko
ruchem obrotowym, prędkość względna musi być zawsze
prostopadła do prostej łączącej punkty członu.
Rys. Ilustracja metody
Wektor będąc sumą ma zwrot przeciwny do składowych. Nale\
y równie\

przestrzegać kolejności indeksów. Nie wolno ich zmieniać, szczególnie dla prędkości
względnej. Kreski pod oznaczeniami prędkości informują o ilości danych. Dwie kreski
oznaczają, \
e znany jest moduł i kierunek, jedna kreska, \
e znana jest tylko jedna z tych
wielkości np. kierunek prędkości . Kierunki pisze się zwykle pod kreską.
Dane konieczne do zastosowania metody to:
1) prędkość jednego punktu ciała,
2) kierunek prędkości drugiego punktu.
METODA PLANU PR
DKOŚCI
Zadanie: Obliczyć prędkości punktów
Q i R członu a poruszającego się
względem nieruchomego członu b.
Dane: prędkość punktu P i kierunek
prędkości punktu Q.
Rys. Ilustracja metody

VP
Obiera się dowolny punkt O' i w wybranej podziałce kreśli wektor prędkości .
Z punktu P' kreśli się prostopadłą do PQ. Na kierunku tym będzie le\
ał wektor prędkości
VQP
względnej . Przez punkt O' kreśli się równoległą do kierunku VQ. Punkt Q' jako
przecięcie kierunków VQ i VQP daje wielkości tych prędkości. Odcinek O'Q' reprezentuje

VQ VQP
w wybranej podziałce wektor , a odcinek P'Q' wektor . Przez punkt P' kreśli się
prostopadłą do PR. Jest to kierunek prędkości VRP. Kierunek prędkości VRQ otrzymuje się
kreśląc prostopadłą do QR przez punkt Q'. Przecięcie się kierunków VRP i VRQ daje wektor

VR
zgodnie z sumą wektorową:
Obliczono prędkości punktów Q i R.
Trójkąt P'Q'R' jest podobny do trójkąta
PQR, tylko obrócony względem niego o
90� w stronę obrotu chwilowego.
Odpowiadające sobie boki są prostopadłe.
Trójkąt P'Q'R' nazywa się planem
prędkości.
Definicja: Figurę geometryczną będącą miejscem geometrycznym końców wektorów
prędkości figury płaskiej a, poruszającej się ruchem płaskim, wykreślonych z dowolnie
obranego punktu, nazywa się planem prędkości figury a w danym poło\
eniu.
Własności planu prędkości:
1. Plan prędkości jest figurą podobną do badanej.
2. Jest obrócony względem figury badanej o kąt 90� w stronę obrotu chwilowego.


(P'Q') (P' R')
QP
3. Wektory , ... są prędkościami rysunkowymi względnymi, np. (P'Q') = (V )
itp..
4. Twierdzenie o planie prędkości jest prawdziwe dla jednego członu mechanizmu.
3.2. Wyznaczanie przyspieszenia
Aby wyznaczyć przyspieszenia punktów członu sztywnego, nale\
y przedtem znać
prędkości tych punktów. Wygodnie jest wyznaczać przyspieszenia w takiej kolejności,
w jakiej wyznaczano prędkości.
METODA ROZKA
ADU PRZYSPIESZEC

Twierdzenie: przyspieszenie bezwzględne dowolnego punktu członu sztywnego jest sumą
wektorową przyspieszenia unoszenia, przyspieszenia względnego i przyspieszenia
Coriolisa.
Gdy rozpatruje się człon sztywny, wtedy ruch unoszenia jest

pu = pA
ruchem postępowym. Dla członu AB i wtedy

pc = 0
zawsze . Dla członu sztywnego ruch względny jest
ruchem obrotowym i wtedy:
Gdy zostały uprzednio obliczone prędkości punktów, wektor

n
pBA
przyspieszenia normalnego jest zawsze znany, bo jego moduł
wyra\
a się równaniem:
a zwrot jest zawsze skierowany w stronę środka obrotu względnego.

t
pBA
Moduł względnego przyspieszenia stycznego , które jest prostopadłe do
względnego przyspieszenia normalnego, wyra\
a się równaniem:
dwie kreski oznaczają, \
e znany Jeśli znane jest � i przyspieszenie punktu A, mo\
na
jest moduł i kierunek, jedna kreska,
obliczyć przyspieszenie punktu B za pomocą równania:
\
e znana jest tylko jedna z tych
wielkości np. kierunek
Jeśli nie jest znane �, to w celu zastosowania metody nale\
y
mieć dane: przyspieszenie punktu A i kierunek
przyspieszenia punktu B. Wtedy przyspieszenie punktu B
oblicza się za pomocą równania:
Ogólnie mo\
na napisać, \
e:
Kąt, który tworzy przyspieszenie względne z prostą AB, obliczamy się z równania:
Z uwagi, \
e � i � są w danej chwili stałe dla całego członu, kąt � jest w danej chwili stały
dla całego członu.
METODA CHWILOWGO ŚRODKA PRZYSPIESZEC

Twierdzenie: w ruchu obrotowym chwilowy środek przyspieszeń (punkt,
którego przyspieszenie w danej chwili równa się zeru) pokrywa się ze
środkiem prędkości.
CP , wyznaczenie przyspieszenia
Jeśli znane jest poło\
enie środka przyspieszeń
dowolnego punktu ciała sztywnego znacznie się upraszcza. Wówczas:
- przyspieszenie chwilowego środka przyspieszeń, które równe jest zeru
Stąd:
Korzystając z zale\
ności:
gdzie: - odległość środka przyspieszeń od punktu B
przyspieszenia dowolnego
punktu członu sztywnego są
Po podstawieniu
proporcjonalne do odległości
otrzymuje się:
od chwilowego środka
przyspieszeń
Rys. Wyznaczanie przyspieszeń metodą chwilowego środka
przyśpieszeń
Je\
eli wiadomo, \
e kąt � jest w danej
chwili stały dla całego członu
z otrzymanego równania:
wynika, \
e kąty � te\
są stałe w danej chwili dla całego członu
sztywnego.

pB
Pozwala to, gdy znane jest przyspieszenie jednego punktu członu sztywnego i jego
�BP
odległość od chwilowego środka przyspieszeń , wyznaczyć przyspieszenie dowolnego
punktu C.

pB
Najpierw mając i P znajduje się kąty � i �, a następnie łączy punkt C z punktem P

pC
i odmierzając kąty � i � znajduje się .
Rys. Konstrukcja pomocnicza do wyznaczania przyspieszenia kątowego
Poniewa\
kąty � są w danej chwili stałe, stałe są tak\
e kąty � . Pozwala to, gdy znane jest
pB �B
i wyznaczyć przyspieszenie kątowe �, gdy\
:
Istotne zagadnienie to umiejętność wyznaczania poło\
enia chwilowego środka
przyspieszeń.
METODA PLANU PRZYSPIESZEC

Zadanie: Obliczyć przyspieszenie punktu D.

VA VB
Dane: prędkości punktów A i B ( i ),
przyspieszenie punktu A i kierunek
przyspieszenia punktu B.
Obierając dowolny biegun O, wykreśla się w

pA
obranej podziałce , i oblicza przyspieszenie
punktu B według równania:
dwie kreski oznaczają,
\
e znany jest moduł i
kierunek, jedna kreska,
\
e znana jest tylko jedna
z tych wielkości np.
moduł
kierunek
Rozwiązując to równanie wykreślnie, otrzymuje się przyspieszenie punktu B.
Oznaczając końce wektorów przyspieszeń
ap bp
odpowiednio , , po ich połączeniu
otrzymuje się odcinek prostej.
Wybierając na członie AB dowolnie obrany
punkt D, korzystając z poni\
szej proporcji,
ap bp
odnajduje się na prostej odpowiadający
mu punkt d .
p
Korzystając z metody rozkładu otrzymuje się:
Badając stosunki przyspieszeń względnych,
mo\
na ustalić, \
e:
Wynika z tego, \
e jeśli rozwią\
e się wykreślnie
równanie, to koniec wektora przyspieszenia
d
punktu D musi znalez
ć się w punkcie .
p
Podobnie będzie dla wszystkich innych
punktów prostej AB.
ap bp
Prostą nazywa się planem przyspieszeń
członu AB. Nale\
y zauwa\
yć, \
e aby otrzymać
ap bp
poło\
enie prostej , prosta AB jest obracana
o kąt 180�-�.
Planem przyspieszeń figury płaskiej, poruszającej się ruchem płaskim, nazywa się miejsce
geometryczne końców wektorów przyspieszeń tej figury, wykreślonych z dowolnie
obranego punktu.
Własności planu prędkości:
1. Plan przyspieszeń jest figurą podobną do badanej.
2. Jest obrócony względem figury badanej o kąt 180�-� w kierunku zgodnym z obrotem
figury, jeśli � i � mają te same zwroty, lub w stronę przeciwną - jeśli mają zwroty
przeciwne.

(apb ) (apd )
3. Wektory , ... są przyspieszeniami rysunkowymi względnymi,
p p

np. (a b ) = pBA itp.
p p
4. Twierdzenie o planie przyspieszeń jest prawdziwe dla jednego członu mechanizmu.
Poniewa\
plan przyspieszeń jest figurą, aby go wyznaczyć potrzebne są wektory
przyspieszeń dwóch punktów członu sztywnego.
Problemy:
Plan przyśpieszeń w przypadku przyspieszenia Coriolisa buduje się identycznie jak
zwykły plan przyspieszeń, z tym \
e nale\
y uwzględnić składową Coriolisa.
Przedstawione metody wyznaczania prędkości i przyspieszeń dotyczą tylko mechanizmów
klasy drugiej. W odniesieniu do mechanizmów klasy trzeciej nale\
y zastosować inną
metodę, np. metodę Assura.
4. Metody analityczne wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów
płaskich
Charakterystyka metod analitycznych:
" są dokładniejsze od metod wykreślnych;
" dokładność jest zale\
na od dokładności obliczeń;
" stosując metody analityczne otrzymuje się wartości szukanych parametrów w postaci
ostatecznej, z uwzględnieniem wszystkich składowych wchodzących w rozwiązanie;
" najwa\
niejszą zaletą jest ich ogólność (wzory analityczne pozwalają wyjaśnić wpływ
poszczególnych parametrów na charakter ruchu mechanizmu, znalez
ć ekstrema i
określić charakter krzywych torów poszczególnych punktów);
" wadą jest ich du\
a zło\
oność.
4.1. Określanie analitycznych związków między parametrami mechanizmów
Zasada metod analitycznych polega na określeniu współrzędnych interesującego nas
punktu mechanizmu jako funkcji czasu. Następnie przez ró\
niczkowanie tych związków
względem czasu otrzymuje się prędkości i przyspieszenia.
Jedną z metod jest przedstawienie mechanizmu płaskiego w postaci zamkniętych wielo-
boków wektorowych. Przy takiej analizie mechanizmów przypisuje się członom charakter
wektorowy. Ka\
dy mechanizm jako zamknięty łańcuch kinematyczny mo\
na przedstawić
w postaci zamkniętego wieloboku wektorów, określających chwilowe poło\
enia członów.
Chcąc aby związek między parametrami mechanizmu był prawdziwy dla wszystkich jego
poło\
eń, wszystkie kąty charakteryzujące poszczególne człony i wzajemne ich poło\
enia
muszą być określone jednakowo za pomocą tzw. kątów skierowanych.
Kąty skierowane są to kąty odmierzane w jednym obranym za dodatni zwrocie, od
dodatniego kierunku osi np. x, do dodatniego kierunku wektora. W toku analizy nie wolno
zmieniać zwrotu kątów. Zachowując taką umowę otrzymuje się:
Rys. Określenie kątów skierowanych
Warunki zamykania się wieloboku wektorów utworzonego ze schematu mechanizmu
wyra\
a się w postaci równań:
a rzutów tych wektorów na osie współrzędnych równaniami:
Równania tego typu są równaniami toru. Pozwalają one określić wszystkie właściwości
toru punktów mechanizmu.
Prędkości i przyspieszenia członów mechanizmu i ich punktów mo\
na znalez
ć dzięki
powy\
szym równaniom, poprzez ich ró\
niczkowanie względem czasu:
tzw. równania prędkości, które pozwalają otrzymać
rzuty nie znanych prędkości mechanizmu
tzw. równania przyspieszeń, które pozwalają
otrzymać rzuty nie znanych przyspieszeń
mechanizmu
5. Metody numeryczne wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów
płaskich
Charakterystyka metod numerycznych:
" stosuje się, gdy zawodzą metody wykreślne (rysunki są zbyt mało dokładne)
i analityczne (mechanizmy są tak zło\
one, \
e związki analityczne są zbyt
skomplikowane);
" najczęściej są u\
ywane do korygowania wyników otrzymanych innym sposobem
i traktowanych jako pierwsze przybli\
enie.
Przykłady metod numerycznych:
- metody przyrostowe: np. metoda przyrostów skończonych;
- metody iteracyjne: np. metody Newtona-Raphsona.