v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 56
METODA PRZEMIESZCZEC
 część pierwsza
Zestawienie momentów utwierdzenia   momentów wyjściowych w belkach, przy ró\
nych schematach
obcią\
enia (lewa kolumna  obustronne utwierdzenie, prawa kolumna  jednostronne utwierdzenie),
na rysunkach pokazano rzeczywiste zwroty momentów przywęzłowych.
Rys.5.0.1
Jeśli zauwa\
ysz błędy, masz uwagi, uwa\
asz, \
e w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrze\
eniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 57
Zad. 5.1
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 5.1.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M.
Zadanie rozwiązać metodą przemieszczeń.
Rys. 5.1.1.
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny, nieprzesuwny  ng � = 1 .
( )
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP)  schemat geometrycznie wyznaczalny po
wprowadzeniu fikcyjnego więzu w węz
le 1  z przyło\
onym obcią\
eniem zewnętrznym przedstawiono na
rysunku 5.1.2, zaznaczono rzeczywiste zwroty wyjściowych momentów przywęzłowych od danego
obcią\
enia.
Rys. 5.1.2.
Momenty wyjściowe (wywołane obcią\
eniem zewnętrznym):
3�" 42
0
M1C = - = -4 [kNm]
12
3
0
M1B = �"16�"3 = 9 [kNm]
16
3�" 42
0
MC1 = = 4 [kNm]
12
Jeśli zauwa\
ysz błędy, masz uwagi, uwa\
asz, \
e w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrze\
eniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 58
Momenty przywęzłowe w UPMP wywołane jednostkowym wymuszeniem  kątem obrotu � = 1 węzła 1.
Rys. 5.1.3.
Sumaryczne momenty przywęzłowe (od obcią\
enia zewnętrznego i obrotu w węz
le):
1B
M1A = 2EI�
M1C = -4 + 2EI�
M1B = 9 + EI�
MC1 = 4 + EI�
M = -4 + 2EI�
Niewiadomą metody przemieszczeń, kąt obrotu � węzła 1, obliczymy z równania równowagi 
zerowania się reakcji w fikcyjnym więzie. Równanie to mo\
na tu rozumieć jako zerowania się sumy
momentów w przekrojach przywęzłowych prętów wychodzących z węzła 1:
ŁM1 = M1A + M1B + M1C = 0 .
1
Stąd: 5 + 5EI� = 0 �! � = -
EI
Podstawiając za � rzeczywistą wielkość wyznaczymy wartości momentów przywęzłowych:
�ł łł
1
1
�ł �ł
M1A = -2EI �" = -2 [kNm]
M1C = -4 + 2EI - = -6 [kNm]
�ł �ł
EI
EI
�ł łł
1
�ł �ł
1
�ł �ł
M1B = 9 + EI - = 8 [kNm]
�ł �ł MC1 = 4 + EI - = 3 [kNm]
�ł �ł
EI
�ł łł
EI
�ł łł
�ł �ł
Wykresy sił przywęzłowych najłatwiej sporządzić analizując równowagę ka\
dego elementu osobno.
Rys. 5.1.4.
Powy\
szy schemat umo\
liwia sporządzenie wykresów sił tnących i momentów zginających.
Jeśli zauwa\
ysz błędy, masz uwagi, uwa\
asz, \
e w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrze\
eniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 59
Celem sporządzenia wykresu sił normalnych zapisujemy równania równowagi wyciętego węzła 1.
Rys. 5.1.5.
N1A = 0
= 0 �! N1B = -6,75 + 0,667 = -6,0833 [kN]
"Py
=0 �! N1C = -10,667 [kN]
"Px
Rys. 5.1.6.
Jeśli zauwa\
ysz błędy, masz uwagi, uwa\
asz, \
e w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrze\
eniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 60
Zad. 5.2
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 5.2.1. Sporządzić wykresy momentów zginających.
Rys. 5.2.1.
Układ jest dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalny, nieprzesuwny: ng = 2(�1,�2 )
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP)  schemat geometrycznie wyznaczalny po
wprowadzeniu fikcyjnych więzów w węzłach 1 i 2  z przyło\
onym obcią\
eniem zewnętrznym
przedstawiono na rysunku 5.2.2, zaznaczono rzeczywiste zwroty wyjściowych momentów przywęzłowych
od danego obcią\
enia.
Rys. 5.2.2.
Jeśli zauwa\
ysz błędy, masz uwagi, uwa\
asz, \
e w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrze\
eniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 61
Momenty wyjściowe:
8�" 4
0 0
M1A = = 4 [kNm] M = -4 [kNm]
A1
8
3�" 42
0 0
M12 = - = -4 [kNm] M21 = 4 [kNm]
12
0
M13 = 2 [kNm]
Przywęzłowe momenty zginające w układzie geometrycznie wyznaczalnym wywołane jednostkowymi
wymuszonymi kątami obrotu: �1 i �2 , odpowiednio węzłów 1 i 2 (patrz rys 5.2.3).
Rys.5.2.3. Sumaryczne momenty przywęzłowe
M1A = 4 + EI�1
M12 = -4 + 2EI�1 + EI�2
M13 = 2
M21 = 4 + EI�1 + 2EI�2
M2B = EI�2
M2C = 4EI�2
1
M = -4 + EI�1
A1
2
MC2 = 2EI�2
Równania zerowania się reakcji w fikcyjnych więzach  równania równowagi, zapisano poni\
ej:
ŁM1 = M1A + M12 + M13 = 0 �! 2 + 3EI�1 + EI�2 = 0
2
3�1 +�2 = - (1)
EI
ŁM2 = M21 + M2B + M2C = 0 �! 4 + EI�1 + 7EI�2 = 0
4
�1 + 7�2 = - (2)
EI
1
Z rozwiązania (1), (2) otrzymamy: �1 = �2 = -
2EI
Jeśli zauwa\
ysz błędy, masz uwagi, uwa\
asz, \
e w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrze\
eniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 62
Wartości momentów przywęzłowych otrzymujemy z superpozycji trzech stanów obcią\
enia:
M1A = 4 + 0,5 = 3,5 [kNm]
M12 = -4 -1- 0,5 = -5,5 [kNm]
M13 = 2 [kNm]
M21 = 4 - 0,5 -1 = 2,5 [kNm]
M2B = -0,5 [kNm]
M2C = -2 [kNm]
M = -4 - 0,25 = -4, 25 [kNm]
A1
MC 2 = -1[kNm]
Rozwiązanie  końcowe wykresy momentów zginających.
Rys.5.2.4
Jeśli zauwa\
ysz błędy, masz uwagi, uwa\
asz, \
e w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrze\
eniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 63
Zad. 5.3
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rys. 5.3.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M dla
układu poddanego nierównomiernemu ogrzaniu pręta A-1.
Dane: "t = td - tg = 40oC , ąt = 10-5[deg-1], EI = 2000 kNm2, h = 0,2 m = const .
Rys. 5.3.1.
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny, nieprzesuwny. ng = 1(�)
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP)  schemat geometrycznie wyznaczalny po
wprowadzeniu fikcyjnego więzu w węz
le 1  z momentami przywęzłowymi będącymi skutkiem działania
przyło\
onego obcią\
enia zewnętrznego przedstawiono na rysunku 5.3.2, zaznaczono rzeczywiste zwroty
wyjściowych momentów przywęzłowych od danego obcią\
enia.
Rys. 5.3.2.
Jeśli zauwa\
ysz błędy, masz uwagi, uwa\
asz, \
e w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrze\
eniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 64
Momenty wyjściowe:
ąt"t 10-5 �" 40
0
M = -2,5EI = -5000�" = -10 [kNm]
A1
h 0, 2
0
M1A = 10 [kNm]
Momenty przywęzłowe w UPMP wywołane jednostkowym wymuszeniem  kątem obrotu � = 1 węzła 1.
Rys. 5..3.
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
M1A = 10 + 2EI�
M1B = EI�
M1C = 2EI�
M = -10 + EI�
A1
MB1 = 0,5EI�
Równanie zerowania się reakcji w fikcyjnym więzie  równowagi: ŁM1 = M1A + M1B + M1C = 0
2
Stąd: 10 + 5EI� = 0 �! � = -
EI
Wartości momentów przywęzłowych po podstawieniu rzeczywistej wielkości � :
M1A = 10 - 4 = 6 [kNm]
M1B = -2 [kNm]
M1C = -4 [kNm]
M = -10 - 2 = -12 [kNm]
A1
MB1 = -1[kNm]
Jeśli zauwa\
ysz błędy, masz uwagi, uwa\
asz, \
e w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrze\
eniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 65
Rozwiązanie
Rys. 5.3.4
Rys. 5.3.5
Siły normalne w elementach 1  A i 1  B obliczamy rozpatrując równowagę węzła 1:
ŁPX = 0 �! 0,75 - 0,72 + 0,8N1A = 0 �! N1A = -0,038 [kN]
ŁPY = 0 �! 0,6N1A + 0,96 -1,333 - N1B = 0 �! N1B = -0,396 [kN]
Jeśli zauwa\
ysz błędy, masz uwagi, uwa\
asz, \
e w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrze\
eniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 66
Zad. 5.4
Dana jest belka ciągła przedstawiona na rys.5.4.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych. Zadanie
rozwiązać metodą sił i metoda przemieszczeń.
Rys. 5.4.1
Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności układu n = 1
Przyjmujemy układ podstawowy metody sił (UPMS) odrzucając więz wewnętrzny  powstaje przegub.
Rys. 5.4.2
Zakładamy, \
e obcią\
enie zewnętrzne (moment skupiony przyło\
ony w węz
le 1) działa po lewej stronie
przegubu powstałego po przyjęciu UPMS.
Stan obcią\
enia zewnętrznego
Rys. 5.4.3
Stan X1 = 1
Rys. 5.4.4
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obcią\
eniem zewnętrznym
M0M1 1 1 2 14
�10 = ds = �" �"14�"6�" �"1 =
+"
EI 2EI 2 3 EI
L
- wywołane nadliczbową X1 = 1
M1M1 1 1 2 1 1 2 7
�11 = ds = �" �"6�"1�" �"1+ �" �" 4 �"1�" �"1 =
+"
EI 2EI 2 3 EI 2 3 3EI
L
Jeśli zauwa\
ysz błędy, masz uwagi, uwa\
asz, \
e w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrze\
eniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 67
�10
Z równania zgodności przemieszczeń �1 = �10 + �11X1 = 0 otrzymujemy X1 = - = -6 [kNm]
�11
Wykresy
Rys. 5.4.5
Metoda przemieszczeń
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny.
Momenty wyjściowe są zerowe (brak obcią\
eń przęsłowych)
Momenty przywęzłowe pochodzące od kąta obrotu � = 1:
Rys. 5.4.6
Sumaryczne momenty przywęzłowe: M1A = EI�; M1B = 0,75EI�
Równanie równowagi :
Rys. 5.4.7
ŁM = M + M +14 = 0
1 1 A 1 B
Jeśli zauwa\
ysz błędy, masz uwagi, uwa\
asz, \
e w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrze\
eniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 68
8
Stąd: 1,75EI� +14 = 0 �! � = -
EI
Wartości końcowych momentów przywęzłowych:
M1A = -8 [kNm]
M1B = -6 [kNm]
Wykresy
Rys. 5.4.8
Zad. 7.5
Dana jest belka ciągła przedstawiona na rys.5.5.1. Rozwiązać układ stosując metodę przemieszczeń.
�łkNm2 łł
Dane: EI = 40000 ; "tA-B = td - tg = 20o C h = 0, 2m; ąt = 10-5 �łdeg-1łł
�ł �ł �ł �ł
Rys. 5.5.1
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP)  schemat geometrycznie wyznaczalny po
wprowadzeniu fikcyjnego więzu w węz
le B  z momentem przywęzłowym będącym skutkiem działania
przyło\
onego obcią\
enia zewnętrznego przedstawiono na rysunku 5.5.2, zaznaczono rzeczywisty zwrot
wyjściowego momentu przywęzłowego od danego obcią\
enia
Rys. 5.5.2.
Jeśli zauwa\
ysz błędy, masz uwagi, uwa\
asz, \
e w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrze\
eniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 69
Moment wyjściowy
3 ąt"t 10-5 �" 20
0
MBA = EI = 6000�" = 60 [kNm]
2 h 0, 2
Momenty przywęzłowe wywołane jednostkowym wymuszeniem � = 1
Rys. 5.5.3.
Sumaryczne momenty przywęzłowe: MBA = 60 + 0,6�" EI�; M = EI�
BC
Równanie zerowania się reakcji w fikcyjnym więzie  równowagi: ŁMB = M + MBC = 0
BA
37,5
Stąd: 60 +1,6EI� = 0 �! � = -
EI
Wartości momentów przywęzłowych po podstawieniu rzeczywistej wielkości � :
MBA = 60 - 22,5 = 37,5 [kNm]
MBC = -37,5 [kNm]
Rys. 5.5.4.
Jeśli zauwa\
ysz błędy, masz uwagi, uwa\
asz, \
e w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrze\
eniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy