v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 1
Wyznaczanie przemieszczeń
w układach statycznie wyznaczalnych
Zad. 1.1.
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 1.1.1. Obliczyć przemieszczenie poziome � rygla.
Znana jest sztywność na zginanie EI=10 000[kNm2]
Rys. 1.1.1.
Do obliczenia poszukiwanego przemieszczenia zastosujemy zasadę prac
wirtualnych dla układów odkształcalnych, z uwzględnieniem jedynie wpływu
zginania. Wpływ pozostałych sił wewnętrznych pomijamy jako mały.
Wzór do obliczenia przemieszczenia ma postać
T
� �" 1 E" � M �" 1
( )
E
O
� = � M
( )
R
M �" M
I
� = ds
+"
EI
A
L
gdzie:
M - momenty zginające wywołane obciążeniem zadanym,
M - momenty zginające pochodzące od jednostkowego obciążenia wirtualnego.
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 2
Rys. 1.1.2.
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia;
wyznaczenie wykresu momentów zginających M
Rys.1.1.3.
Stosując do dalszych obliczeń zasadę prac wirtualnych można wykorzystać tzw.  całkowanie graficzne
zgodnie z poniższym wzorem.
f
+"G(x)�" f (x)ds = A�"�
T l
E gdzie:
O G(x) -funkcja krzywoliniowa,
R
f (x) - funkcja liniowa,
I
A - pole pod funkcją krzywoliniową ,
A f
� - rzędna funkcji liniowej odpowiadająca odciętej w miejscu środka ciężkości figury
pod krzywą (spr. wzór Wereszczagina)
Całkowanie graficzne przeprowadza się w przedziałach w których funkcje M i M są niezerowe.
Przedział A 1 (wielkości pomocnicze)
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 3
1
A1 = �" 4�" = -48
(-24
)
2
2 8
�1 = �" = -
(-4
)
3 3
Przedział 1 2 (wielkości pomocnicze)
1 2
A2 = �"6�"(-24) = -72 A3 = �"6�"9 = 36
2 3
2 8 1
�2 = �"(-4) = - �3 = �"(-4) = -2
3 3 2
Zgodnie ze wzorem Wereszczagina szukane przemieszczenie jest równe:
M �" M 1 1
� = ds = A1�1 + (A2�2 + A3�3) = 0.0188 [m]
+"
EI EI 2EI
l
Zad. 1.2.
Dana jest swobodnie podparta kratownica przedstawiona na rysunku 1.2.1. Obliczyć zaznaczone
przemieszczenie � węzła w pasie górnym. Sztywności wszystkich prętów są stałe (EA = const.) .
Rys. 1.2.1.
Przemieszczenie w układach kratowych obliczamy stosując zasadę prac wirtualnych
według wzoru :
T
n
Si �" Si
E
� = li
"
O
EAi
i=1
R
gdzie:
I
n - liczba prętów
A
Si , Si - siły w prętach wywołane odpowiednio: obciążeniem zewnętrznym oraz
jednostkowym obciążeniem wirtualnym
1) Siły w prętach kratownicy wywołane obciążeniem zewnętrznym ( Si )
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 4
Rys. 1.2.2.
2) Siły w prętach kratownicy wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym( Si )
Rys. 1.2.3.
Zgodnie ze wzorem(*)otrzymujemy:
Si �" Si �ł 2 1 1
1
� = li =
�ł(-P 2) �" �" a �" 2 + 2P �" a + P �" (- ) �" a +
"
EAi EA 2 2 2
�ł
łł
1 2 1
+ (-2P) �" �" a + 2P 2 �" �" a �" 2 + (-2P) �"(- ) �" aśł =
2 2 2
�ł
Pa
�ł2 2 +1łł
=
�ł �ł
2EA
Zad. 1.3.
Dany jest łuk paraboliczny o zmiennym przekroju. Obliczyć kąt obrotu przekroju w punkcie B (kąt obrotu
przekroju w punkcie B jest równy kątowi obrotu stycznej do osi łuku w punkcie B). W obliczeniach
uwzględnić jedynie wpływ momentów zginających. Moment bezwładności przekroju zmienia się zgodnie
I0
ze wzorem I = , gdzie EI0=1 000[kNm2 ] zaś ą - kąt nachylenia stycznej do osi łuku w danym
cosą
przekroju
Stosując zasadę prac wirtualnych przy uwzględnieniu jedynie momentu zginającego
T
szukany kąt obrotu (przemieszczenie uogólnione) obliczymy ze wzoru
E
M �" M
O
�B = ds
+"
R EI
L
I
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 5
A
Zmienne podcałkowa (s) przebiega wzdłuż łuku (rys.1.3.1.a) zatem jej różniczka przyjmuje postać
dx
ds =
cosą
a) b)
Rys. 1.3.1.
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M
Rys. 1.3.2.
M (x) = -6y [kNm]
Rys. 1.3.4.
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia (w
przypadku poszukiwania kąta obrotu jest to jednostkowy moment skupiony, obie wielkości tworzą parę
sprzężoną); wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 6
Rys. 1.3.3.
1
M (x) = x
8
Rys. 3.3.5.
dx
Zmienna podcałkowa s przebiega wzdłuż łuku. Podstawiając ds = przyjmuje postać:
cosą
8 8
M �" M M �" M dx 1
�B = ds = �" =
+" +" +"M �" Mdx
I0 cosą EI0 0
EI
l 0
E
cosą
Zastosujemy całkowanie graficzne
8
2 1
Zgodnie ze wzorem
+"MMdx = 3 �"8�"(-12) �" 2 �"(-1) = 32 [kNm3]
0
1
tak więc: �B = �"32 = 1o50'
1000
Zad. 1.4.
Dany jest łuk kołowy przedstawiony na rysunku 1.4.1. Obliczyć kat obrotu przekroju w punkcie A
(�A) �. Znana jest sztywność na zginanie EI=10 000[kNm2]
Rys. 1.4.1.
Rozwiązanie przeprowadzimy drogą całkowania analitycznego w biegunowym układzie współrzędnych.
Zmienną podcałkową s przebiegającą wzdłuż łuku zastąpimy współrzędną kątową � (zobacz rys.1.4.2).
Przyjmując ds = a �" d�
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 7
Przyjmując d� jako małe można
przyjąć, że d� E" tg(d�)
ds
tg(d�) = �! ds = a �" d�
a
y
sin� =
a
x
cos� =
a
Rys. 1.4.2.
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 1.4.3.
M (�) = -P �" y = -Pa sin�
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia;
wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 1.4.4.
1 1 1
M (�) = 1- ( - x = 1- ( ) ( )
a 1- cos� a = 1+ cos�
)
2a 2a 2
(")
Podstawiając otrzymane wartości do wzoru otrzymujemy:
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 8
Ą
M (�) �" M (�) 1 1 Pa2 Ą
�A = ds =
+" +"(-Pa sin�) �" 2 (1+ cos�)�" ad� = - 2EI +"sin�(1+ cos�)d� =
EI EI
l 0 0
Ą
Ą
Pa2 Pa2 1 Pa2
�ł- cos� + sin2 � łł
= - = - [-(-1) + 0 - (-1) + 0 =
]
+"[sin� + sin� �"cos�]d� = - 2EI �ł śł
2EI 2 2EI
�ł �ł
0
0
Pa2
= -
EI
Zad. 1.5
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 1.5.1. Obliczyć poziome przemieszczenie � punktu
B. Znana jest sztywność na zginanie EI=8 000[kNm2]
Rys. 1.5.1.
1) . Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M .Na odcinku A-1 wykres
M rozkładamy na dwie części: liniową i paraboliczną -według rysunku 1.5.2
Rys. 1.5.2.
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia;
wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 9
Rys. 1.5.3.
W wyniku całkowania graficznego wykresów M i M otrzymujemy szukane przemieszczenie:
M �" M 1 1 2 2 1
�ł
� = ds = �"5�"(-24) �" �"(-4) + �"5�"12�" �"(-4) + 3�"(-4) �" (-36) +
+" �ł
EI 8000 2 3 3 2
�ł
l
1 2
+ �" 4�"(-48) �" �"(-4)łł = 0.096m = 9.6cm
śł
2 3
�ł
Zad. 1.6
Dany jest układ ramowo-kratowy przedstawiony na rysunku 1.6.1. Obliczyć poziome przemieszczenie �
podpory. Dla danego układu przyjać EI=2 000[kNm2] i EA=1 500[kN].
Rys. 1.6.1.
Wzór służący do obliczania przemieszczeń w układach ramowo-kratowych ma
postać
T
n
M �" M Si �" Si
E
� = ds + li
"
+"
O EI EAi
i=1
l
R
Wzór ten wynika z założenia, że w elementach ramowych układu uwzględnia się
I
jedynie wpływ momentów zginających, zaś w prętach kratowych wpływ sił
A
normalnych. W powyższym wzorze symbole użyte są zgodnie z oznaczeniami
stosowanymi w zadaniach 1.1 i 1.2 .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 10
1) Siły wewnetrzne wywołane obciążeniem zewnętrznym:
Rys. 1.6.2.
2) Siły wewnetrzne wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:
Rys. 1.6.3.
Przemieszczenie obliczamy korzystając z uprzednio podanego wzoru:
M �" M Si �" Si 1 1 2 1 1
�ł2�" �" 2�"12�" �" 2 + �" 2�"12�" �" 2łł +
� = ds + li =
"
+" �ł śł
EI EAi EI 2 3 2 3
�ł �ł
l
1 1 1 1
�ł(-12) �"(-1) �" 2 + �"(-6)�" 2�" 2łł = �" 40 + �"12 = 0.028m = 2.8cm
+
�ł śł
EA 2 2000 1500
�ł �ł
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 11
Zad. 1.7
Dana jest sztywna tarcza podparta trzema prętami kratowymi przedstawiona na rysunku 1.7.1. Obliczyć
poziome przemieszczenie � tarczy. Założyć, że odkształceniom ulegają tylko pręty kratowe (tarcza jest
nieskończenie sztywna). W związku z powyższymi założeniami szukane przemieszczenie obliczamy
stosując wzór dla kratownic. Sztywność prętów podana na rysunku.
Rys. 1.7.1.
1) Obciążenie zewnętrzne, siły w prętach kratowych
Rys. 1.7.2.
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia; siły w
prętach
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 12
Rys. 1.7.3.
Obliczenie przemieszczenia:
3
Si �" Si P 2 �" 2 (-P) �"(-2)
� = li = 0 + �"l 2 + l =
"
EAi EA
EA 2
i=1
4Pl
=
EA
Zad. 1.8
Dany jest dz
wigar załamany w planie przedstawiony na rysunku 1.8.1. Obliczyć pionowe
przemieszczenie � punktu D. Przyjąć, że sztywności na zginanie i skręcanie są stałe w całym układzie i
wiąże je zależność: GIs = 3EI .
Rys. 1.8.1.
Stosując zasadę prac wirtualnych przy uwzględnieniu momentu zginającego i
skręcającego szukane przemieszczenie obliczymy ze wzoru
T
M �" M Ms �" Ms
E
� = ds + ds = �Z + �S
+" +"
O EI GIs
l l
R
gdzie:
I
M ,MS -momenty zginające i skręcające wywołane obciążeniem zewnętrznym
A
M ,Ms -momenty zginające i skręcające wywołane wirtualnym obciążeniem
jednostkowym.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 13
1) Obciążenie zewnętrzne. Wyznaczenie reakcji podporowych; wykresy M i Ms
= 0 �! RC = ql
"M AB
1
= 0 �! RA = ql
"M BC
3
1
= 0 �! RB = - ql
"MCD
3
Rys. 1.8.2.
Rys. 1.8.3.
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.
Wyznaczenie reakcji podporowych, wykresy M i Ms .
= 0 �! RC = 1
"M AB
2
= 0 �! RA =
"M BC
3
2
= 0 �! RB = -
"MCD
3
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 14
Rys. 1.8.4.
Rys. 1.8.5.
Obliczenie przemieszczenia:
�ł1 łł
M �" M 1 ql2 l 2 l 1 ql2 2 2l 2 ql2 5 55 ql4
�Z = ds = �" �" �" �" + �" �"l �" �" + �"l �" �" �"lśł =
�ł
+"
EI EI 2 6 2 3 3 2 3 3 3 3 2 8 216 EI
�ł �ł
l
Ms �" Ms 1 ql2 ql4 ql4
�S = ds = �" �"l �"l = =
+"
GIs GIs 2 2GIs 6EI
l
91 ql4
� = �Z + �S =
216 EI
Zad. 1.9
Dany jest dz
wigar załamany w planie przedstawiony na rysunku 1.9.1. Obliczyć pionowe
przemieszczenie � punktu 2. Przyjąć, że sztywności na zginanie i skręcanie są stałe w całym układzie i
wiąże je zależność GIs = 4EI
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 15
Rys. 1.9.1.
Przemieszczenie � obliczymy korzystając z zasady prac wirtualnych dla układów odkształcalnych z
uwzględnieniem wpływu momentów zginających i skręcających.
1). Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresów momentów zginających i skręcających- M , Ms
Rys. 1.9.2.
2). Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia,
wyznaczenie wykresów momentów zginających i skręcających- M , Ms
Rys. 1.9.3.
Obliczenie przemieszczenia:
�ł1 łł
�ł �ł �ł
M �" M 1 ql2 �ł 3 ql2 1 1 2 17 ql4
�Z = ds = �"�ł - �ł�"l �" �" + �ł - �ł�"l �" �" + �"l �" -ql2 �" �" =
) (-l
) (-l
)śł
�ł (-l
( )
+"
�ł �ł
EI EI 2 4 2 2 2 3 24 EI
�ł3 �ł �ł śł
�ł łł �ł łł
l �ł �ł
Ms �" Ms 1 ql4 ql4
�S = ds = �" -ql2 �"l �" = =
(-l
)
( )
+"
GIs GIs GIs 4EI
l
23 ql4
� = �Z + �S =
24 EI
Zad. 1.10
Dany jest ruszt belkowy przedstawiony na rysunku 1.10.1. Obliczyć pionowe przemieszczenie � punktu
końcowego przewieszenia. Przyjąć sztywność na zginanie EI = const.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 16
Rys. 1.10.1.
T Stosując zasadę prac wirtualnych przy uwzględnieniu momentu zginającego
E szukane przemieszczenie obliczymy ze wzoru
O
MM
R +"
l
� = ds
EI
I
A
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M
Rys. 1.10.2.
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia,
wyznaczenie wykresu momentów zginających M
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 17
Rys. 1.10.3.
Obliczenie przemieszczenia � :
�ł1 ql2 3 1 ql2 2 łł
�ł �ł �ł �ł
M �" M 1 1 3 2 19 ql4
� = ds = �"l �"�ł - �ł�" �" + �"l �"�ł - �ł�" �" + 2�" �" �"ql2 �"l �" �"lśł
) (-l
)
�ł (-l =
+"
EI EI 2 4 3 24 EI
�ł3 �ł 2 �ł 4 2 �ł 2 �ł 3 śł
�ł łł �ł łł
l �ł �ł
Zad. 3.11
Dany jest ruszt belkowy przedstawiony na rysunku 1.11.1. Obliczyć kąt obrotu � punktu . Przyjąć
sztywność na zginanie EI = const.
Rys. 1.11.1.
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 18
Rys. 1.11.2.
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia,
wyznaczenie wykresu momentów zginających M
Rys. 1.11.3.
Obliczenie kąta obrotu:
M �" M 1 1 1 2 1 2 3 Pl2
�ł
� = ds = �"l �" �"1+ �"l �" �" �"1+ �"l �" �" �"1łł = -
(-Pl
) (-Pl
) (-2Pl
)
+" �ł śł
EI EI 2 2 3 2 3 2 EI
�ł �ł
l
Zad. 1.12
Dany jest dz
wigar załamany w planie w przedstawiony na rysunku 1.12.1. Obliczyć kąt � obrotu w
punkcie 1. Przyjąć GIs = 4EI .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 19
Rys. 1.12.1.
1). Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresów momentów zginających i skręcających- M , Ms
Rys. 1.12.2.
2). Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.
Wyznaczenie wykresu momentów zginających i skręcających- M , M
s
Rys. 1.12.3.
Obliczenie kąta obrotu: � = �Z +�S
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 20
M �" M 1 1 Pl 2 1 Pl2
�Z = ds = �" 2 �" �" �"l �" �" =
+"
EI EI 2 2 3 2 6EI
l
Ms �" M 1 Pl2 Pl2
s
�S = ds = �" P �"l �"l �"1 = =
+"
GIs GIs GIs 4EI
l
Pl2 1 1 5 Pl2
�ł �ł
� = + =
�ł �ł
EI 4 6 12 EI
�ł łł
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy