v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 21
Wyznaczanie przemieszczeń
w układach statycznie wyznaczalnych (ciąg dalszy)
Zad. 2.1
Dana jest belka z jednej strony podparta z jednej strony na podporze sprężystej przedstawiona na rysunku
2.1.1. Obliczyć przemieszczenie ´ na Å›rodku przÄ™sÅ‚a. Znana jest sztywność na zginanie EI=1 000[kNm2]
Rys. 2.1.1.
Przemieszczenie ´ obliczymy ze wzoru wynikajÄ…cego z zasady prac wirtualnych:
M Å" M
´ = ds + ´B Å" RB ;
+"
EI
l
T
gdzie:
E
´B - przemieszczenie podpory sprężystej wywoÅ‚ane obciążeniem
O
zewnÄ™trznym ´B = ´S Å" RB ,
R
1
´S = - podatność sprężyny (odwrotność sztywnoÅ›ci, kS - siÅ‚a, jaka powstaje w
I
ks
A
sprężynie po wydÅ‚użeniu/ skróceniu jej o wielkość ´ = 1 m ),
[ ]
RB - reakcja w podporze sprężystej wywołana jednostkowym obciążeniem na miejscu
i kierunku szukanego przemieszczenia.
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 2.1.2.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 22
Przemieszczenie podpory sprężystej od obciążenia zewnętrznego:
1 1
´B = ´s Å" RB = Å" RB = Å"10 = 0,1 [m]
ks 100
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia;
wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 2.1.3.
Reakcja podpory sprężystej od jednostkowego obciążenia wirtualnego:
1
RB = [-]
2
Obliczenie przemieszczenia w układzie z podporą sprężystą:
- wpływ zginania belki:
M Å" M 1 1 2 8
´1 = ds = Å" 2Å" Å" 2Å" 20Å" Å"1 = = 2,667[cm]
+"
EI 1000 2 3 300
l
- wpływ przemieszczenia podpory sprężystej:
1
´2 = ´B Å" RB = 0,1Å" = 0,05m
2
Przemieszczenie sumaryczne:
´ = ´1 + ´2 = 7,667[cm]
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 23
Zad. 2.2
Dany jest układ ramowy podparty na podporach sprężystych przedstawiony na rysunku 2.2.1. Obliczyć
przemieszczenie ´ . Znana jest sztywność na zginanie EI=2 000[kNm2]
Rys. 2.2.1.
Przemieszczenie ´ obliczymy ze wzoru wynikajÄ…cego z zasady prac wirtualnych
T
dla układów z podporami sprężystymi (patrz zadanie poprzednie). Człon opisujący
E
przemieszczenie podpory sprężystej ma charakter uogólniony.
O
M Å" M
R
´ = ds + ´B Å" RB
+"
EI
I
l
A
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 2.2.2.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 24
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia;
wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 2.2.3.
Obliczenie przemieszczenia:
- wpływ zginania
M Å" M 1
´1 = ds = Å" Å" 2Å" = 0,02[m] ;
(-20
) (-1
)
+"
EI 2000
l
- wpływ przemieszczenia podpór sprężystych
1 1 1
´2 = RA Å" RA + M Å" M = Å" 20Å" 2 = 0,05m .
k1 k2 A A 800
Przemieszczenie sumaryczne
´ = ´1 + ´2 = 0,07 m .
Zad. 2.3
Dany jest układ ramowy trójprzegubowy przedstawiony na rysunku 2.3.1. Obliczyć kąt obrotu zastrzału
ramy w punkcie B. Przemieszczenie wywołane jest przyrostem temperatury "t = 30o C
(nierównomiernym ogrzaniem) w zaznaczonych elementach. Dodatkowe dane:
"t = td - tg = 30 C Ä…t = 10-5[deg-1] h = 0, 2m = const
Rys. 2.3.1.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 25
Szukany kÄ…t obrotu oblicza siÄ™ ze wzoru
Ä…t Å" "t
ÕB = M ds
T
+"
h
l
E
gdzie:
O
"t - przyrost temperatury
R
ąt - współczynnik
I
A h - wysokość przekroju
M - moment zginający od jednostkowego obciążenia wirtualnego na odcinkach
poddanych obciążeniu termicznemu
Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia;
wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 2.3.2.
Obliczenie kÄ…ta obrotu
Ä…t Å" "t 10-5 Å"30 1 1 1+ 0,3
îÅ‚
ÕB = Å" 4 Å" 4 + Å"3Å" 0,3 + Å"5Å‚Å‚ = 4,35Å"10-3 [rad] = 14'57".
(-0,
)
+"M h ds = 0, 2 ïÅ‚ śł
2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
l
Zad. 2.4
Dany jest układ ramowy trójprzegubowy przedstawiony na rysunku 2.4.1. Obliczyć pionowe
przemieszczenie punktu C. Przemieszczenie wywołane jest równomiernym ogrzaniem wszystkich
elementów układu o wielkość t0 względem temperatury montażu. Dane są wielkości a, ąt , t0 .
Rys. 2.4.1.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 26
Przemieszczenie obliczymy ze wzoru wynikajÄ…cego zasady prac wirtualnych przy
obciążeniu w postaci równomiernego ogrzania
T
´ = N Å"Ä…t Å" "tds
E
+"
l
O
gdzie:
R
"t - przyrost temperatury
I
ąt - współczynnik
A
N - siły normalne od jednostkowego obciążenia wirtualnego na odcinkach poddanych
obciążeniu termicznemu
Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia;
wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 2.4.2.
Obliczenie przemieszczenia:
ëÅ‚ öÅ‚
2 2 2
´ = -Ä…t Å"t0 ìÅ‚ Å" a 2 + Å" 2a + Å" a = -3a Å"Ä…t Å"t0
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
Zad. 4.5
Dana jest kratownica przedstawiony na rysunku 2.5.1. Obliczyć przemieszczenie ´ wywoÅ‚ane
równomiernym ogrzaniem zewnętrznych prętów kratownicy o wielkość t0 = 20oC względem
temperatury montażu.
Rys. 4.5.1.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 27
Przemieszczenie wywołane równomiernym ogrzaniem obliczamy ze wzoru
´ = N Å"Ä…t Å"t0ds
+"
l
T
W przypadku kratownic wzór przedstawimy w postaci
E
n
O
´ = Si Å"Ä…t Å"t0 Å"li
"
i
i
R
i = 1
I
gdzie:
A
n - liczb prętów
ąti , t0i , li - wielkości związane z danym prętem
Si - siła w danym pręcie od obciążenia wirtualnego
Siły w prętach wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:
Rys. 2.5.2
Obliczenie przemieszczenia
n
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2
öÅ‚
´ = Si Å"Ä…t Å"t0 Å"li = 1, 2Å"10-5 Å" 20 + 2Å" 2 Å"ëÅ‚ - + 2Å" 2Å" + Å" 2 2śł = 1,6 Å"10-4[m] .
" (-1
)
ïÅ‚2Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
i
i
3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
i = 1 ðÅ‚ ûÅ‚
Zad. 4.6
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 2.6.1. Obliczyć zmianę kąta obrotu przekroju
poprzecznego (pręta) w przegubie (C) wywołaną zadanymi wymuszeniami kinematycznymi 
przemieszczeniami podpór.
Rys. 2.6.1
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 28
ZmianÄ™ kata obrotu "Õ obliczymy ze wzoru wynikajÄ…cego z zasady prac
T wirtualnych w przypadku działania wymuszonych przemieszczeń podpór
n
E
"Õ = - Å" Ri
O ""i
i=1
R
gdzie:
I
"i - zadane przemieszczenie podpory
A
Ri - jednostkowym obciążeniem wirtualnym
Zadane przemieszczenia podpór:
"1 = ÕA = 0,05 [rad]
"2 = uB = -0,04 [m]
"3 = vB = -0,03 [m]
Reakcje podporowe wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:
R1 = M = 1,5[-]
A
1
R2 = HB = 0,25îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
m
ðÅ‚ ûÅ‚
R3 = VB = 0
Rys. 2.6.2.
Obliczenie zmiany kÄ…ta obrotu "Õ
3
"Õ = - Å" Ri = - îÅ‚1,5Å" 0,05 + 0, 25Å" Å‚Å‚ = -0,065 [rad] = -3o43' .
(-0,04
)ûÅ‚
""i
ðÅ‚
i=1
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 29
Zad. 4.7
Dany jest układ ramowy trójprzegubowy
przedstawiony na rysunku 2.7.1.
Obliczyć przemieszczenie ´ powstaÅ‚e
w wyniku zaznaczonych błędów montażowych
Imperfekcje geometryczne:
"l = 0,03 [m] ,
1 - 2
"Õ = 0,01[rad]
2
Rys. 2.7.1.
Przemieszczenie ´ obliczymy ze wzoru (zasada prac wirtualnych; przypadek
T imperfekcji geometrycznych)
E
´ = "li Å" Ni + "Õi Å" Mi
( )
"
O
gdzie:
R
"li,"Õi - imperfekcje geometryczne (tu rozumiane jako bÅ‚Ä™dy montażowe),
I
Ni, Mi - siły wewnętrzne w miejscu i na kierunku danej imperfekcji
A
geometrycznej
Stan jednostkowego obciążenia wirtualnego
i odpowiadające mu wielkości statyczne
(sprzężone z zadanymi imperfekcjami).
Obliczenie przemieszczenia
´ = "l1-2 Å" N1-2 + "Õ2 Å" M2 =
= 0,03Å" 0,5 + 0,01Å"(-2) = -0,005 [m]
Rys. 2.7.2.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy