��v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 70
METODA PRZEMIESZCZEC cz[ druga
Zad. 6.1
Wyznaczy siBy wewntrzne powstaBe na skutek wmontowania prta A-1 dBu|szego o "l = 3 [cm] .
Przyj EI = 1400 [kNm2 ]
Rys. 6.1.1.
StopieD geometrycznej niewyznaczalno[ci ukBadu ng = 1(�)
Schemat geometrycznie wyznaczalny:
Rys. 6.1.2.
Momenty wyj[ciowe:
3�" EI 3�"1400
0
M1B = - �" "l = - �"0,03 = -14 [kNm]
32 32
Momenty przywzBowe w ukBadzie geometrycznie wyznaczalnym powstaBe na skutek wymuszonego kta
obrotu � = 1:
Je[li zauwa|ysz bBdy, masz uwagi, uwa|asz, |e w rozwizaniach warto co[ doda czy uzupeBni, podziel
si swoimi spostrze|eniami piszc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z g�ry dzikujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 71
Rys. 6.1.3.
Sumaryczne momenty przywzBowe:
4 2
M1A = EI�, M1B = -14 + EI�, M = EI�
A1
3 3
R�wnanie r�wnowagi : �M1 = M1A + M1B = 0
7 6
Std: -14 + EI� = 0 �! � =
3 EI
Warto[ci moment�w przywzBowych:
4 2
M1A = �" 6 = 8 [kNm], M1B = -14 + 6 = -8 [kNm], M = �"6 = 4 [kNm]
A1
3 3
Wykresy:
Rys. 6.1.4.
Rys. 6.1.5.
Je[li zauwa|ysz bBdy, masz uwagi, uwa|asz, |e w rozwizaniach warto co[ doda czy uzupeBni, podziel
si swoimi spostrze|eniami piszc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z g�ry dzikujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 72
Zad. 6.2
Dany jest ukBad ramowy przedstawiony na rysunku 6.2.1. Wyznaczy siBy wewntrzne powstaBe na skutek
r�wnomiernego ogrzania jednego z element�w o wielko[ t0 wzgldem temperatury monta|u.
1
EI = 10000 [kNm2 ], �t = 10-5 �� o ��
�� ��
�� C ��
Rys. 6.2.1.
StopieD geometrycznej niewyznaczalno[ci ukBadu :
ng = 1(�)
Swobodne wydBu|enie termiczne elementu 1-B:
"lt = �t �"t0 �"l = 10-5 �" 20�"3 = 6�"10-4 [m]
Schemat geometrycznie wyznaczalny:
Rys. 6.2.2.
Momenty wyj[ciowe:
3�" EI 3�"10000
0
M1A = - �" "lt = - �"6 �"10-4 = -2 [kNm]
32 32
6E �" 2I 6 �" 20000
0 0
M1C = MC1 = �" "lt = �"6 �"10-4 = 4,5 [kNm]
16
42
Momenty przywzBowe:
Je[li zauwa|ysz bBdy, masz uwagi, uwa|asz, |e w rozwizaniach warto co[ doda czy uzupeBni, podziel
si swoimi spostrze|eniami piszc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z g�ry dzikujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 73
3EI
M1A = -2 + � = -2 + EI�
3
3E �" 2I
M1B = � = 2EI�
3
4E �" 2I
M1C = 4,5 + � = 4,5 + 2EI�
4
2E �" 2I
MC1 = 4,5 + � = 4,5 + EI�
4
R�wnanie r�wnowagi : �M1 = M1A + M1B + M1C = 0
1
Std: 2,5 + 5EI� = 0 �! � = -
2EI
Warto[ci moment�w przywzBowych:
M1A = -2 - 0,5 = -2,5 [kNm]
M1B = -1[kNm]
M1C = 4,5 -1 = 3,5 [kNm]
MC1 = 4,5 - 0,5 = 4 [kNm]
Rozwizanie:
Rys. 6.2.3.
Je[li zauwa|ysz bBdy, masz uwagi, uwa|asz, |e w rozwizaniach warto co[ doda czy uzupeBni, podziel
si swoimi spostrze|eniami piszc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z g�ry dzikujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 74
Zad.4.3
Dany jest ukBad ramowy przedstawiony na rysunku 6.3.1.Sporzdzi wykresy siB wewntrznych N, T, M.
Rys.6.3.1.
UkBad jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny.
ng = 1(�)
Poniewa| jedynym obci|eniem jest moment skupiony przyBo|ony w wzle, wyj[ciowe momenty
przywzBowe s zerowe.
WpByw wymuszonego kta obrotu � = 1:
Rys. 6.3.2.
Momenty przywzBowe pochodzce od kata obrotu � = 1:
1
M1A = EI� M1B = 3EI� M1C = EI� MC1 = EI�
2
R�wnanie r�wnowagi wycitego wzBa 1 suma moment�w przywzBowych oraz skupionego momentu
wzBowego jest r�wna zeru:
Rys. 6.3.3.
Je[li zauwa|ysz bBdy, masz uwagi, uwa|asz, |e w rozwizaniach warto co[ doda czy uzupeBni, podziel
si swoimi spostrze|eniami piszc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z g�ry dzikujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 75
�M1 = -M1A - M1B - M1C + M = 0
lub M1A + M1B + M1C = M
Std:
7
5EI� - 35 = 0 � =
EI
Inna interpretacja:
dodatkowy element 1-3 obci|ony momentem skupionym M ,w elemencie tym powstaje moment
wyj[ciowy M13 = -M
Rys. 6.3.4
Warto[ci moment�w przywzBowych:
M1A = 7 [kNm]
M1B = 21[kNm]
M1C = 7[kNm]
MC1 = 3,5 [kNm]
Rozwizanie:
Rys. 6.3.5
Obliczenie siB normalnych w elementach A - 1 i 1 - C:
Przyjmujemy |e siBa N1A jest rozcigajca, za[ siBa N1C [ciskajca.
Je[li zauwa|ysz bBdy, masz uwagi, uwa|asz, |e w rozwizaniach warto co[ doda czy uzupeBni, podziel
si swoimi spostrze|eniami piszc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z g�ry dzikujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 76
Rys. 6.3.7
R�wnanie r�wnowagi: " Py = 0 �! N1A + N1C = 7 (1)
N1A �"3 N1C �" 4
Warunek zgodno[ci przemieszczeD: "l1A = "l1C �! = 3N1A = 4N1C (2)
EA EA
Z r�wnaD (1) i (2) mamy:
N1A = 4 kN
[ ]
N1C = 3 [kN]
Dodatkowo N1B = 2,625 - 2,333 = 0, 2917 [kN]
Rys. 6.3.8.
Zad. 6.4
Dany jest ukBad ramowy przedstawiony na rysunku 6.4.1. Sporzdzi wykresy siB wewntrznych. Przyj
EI=const.
Je[li zauwa|ysz bBdy, masz uwagi, uwa|asz, |e w rozwizaniach warto co[ doda czy uzupeBni, podziel
si swoimi spostrze|eniami piszc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z g�ry dzikujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 77
Rys. 6.4.1.
UkBad jest dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalny, przesuwny.
ng = 2(�,")
Schemat geometrycznie wyznaczalny z obci|eniem zewntrznym:
Rys. 6.4.2.
Momenty wyj[ciowe:
3�" 42
0
M = - = -4 [kNm]
A1
12
0
M1A = 4 [kNm]
W obliczeniach poni|ej przyjmujemy EI=1. Momenty zginajce w ukBadzie geometrycznie wyznaczalnym
wywoBane jednostkowymi wymuszeniami � = 1 i " = 1
Je[li zauwa|ysz bBdy, masz uwagi, uwa|asz, |e w rozwizaniach warto co[ doda czy uzupeBni, podziel
si swoimi spostrze|eniami piszc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z g�ry dzikujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 78
Rys. 6.4.3.
W obliczeniach przyjmujemy EI = 1.
Sumaryczne momenty przywzBowe:
3
M = -4 + 0,5� - "
A1
8
3
M1A = 4 +� - "
8
M1B = �
R�wnania r�wnowagi :
(1) suma moment�w w wzle 1
3
�M1 = M1A + M1B = 0 �! 2� - " + 4 = 0 �! 16� - 3" = -32 (1)
8
(2) R�wnowaga siB w wycitym elemencie 1 - B
Rys. 6.4.4.
PrzywzBowe siBy tnce:
M + M1A 3 3
A1
T1A = + T10 , T10 = 6; T1A = � - " + 6
A A
4 8 16
R�wnanie r�wnowagi
3 3
�Px = 0 �! T1A + 2 = 0 �! � - " + 8 = 0 �! 6� - 3" = -128 (2)
8 16
R�wnanie (2) mo|na otrzyma inna drog - tworzc ukBad przegubowy (mechanizm) i zadajc w nim
przemieszczenie wirtualne "=1
Je[li zauwa|ysz bBdy, masz uwagi, uwa|asz, |e w rozwizaniach warto co[ doda czy uzupeBni, podziel
si swoimi spostrze|eniami piszc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z g�ry dzikujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 79
Rys. 8.4.5.
R�wnanie r�wnowagi wycitego elementu 1 B:
= 0 �! T1A �"1+ 2�"1 = 0 (T1A - od strony wzBa)
"Px
M1A + M
A1
Po podstawieniu T1A = + 6 otrzymujemy r�wnanie (2)
4
1
Do tego samego rezultatu mo|na doj[ wprowadzajc wielko[ kta obrotu prta A-1: � = i
A-1
4
zapisujc r�wnanie pracy wirtualnej:
1
� �"(M1A + M ) + 2�"1+ 3�" �"1�" 4 = 0 �! (2)
A-1 A1
2
Z ukBadu r�wnaD (1) i (2) dostajemy �! � = 9,6 " = 61,8667
Warto[ci moment�w przywzBowych:
M = -4 + 4,8 - 23, 2 = -22, 4 [kNm]
A1
M1A = 4 + 9,6 - 23, 2 = -9,6 [kNm]
M1B = -9,6 [kNm]
Rozwizanie:
Rys. 6.4.6.
Wykresy siB wewntrznych:
Je[li zauwa|ysz bBdy, masz uwagi, uwa|asz, |e w rozwizaniach warto co[ doda czy uzupeBni, podziel
si swoimi spostrze|eniami piszc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z g�ry dzikujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 80
Rys. 6.4.7
Zad. 6.5
Dany jest ukBad ramowy przedstawiony na rysunku 6.5.1. Sporzdzi wykresy siB wewntrznych.
Rys. 6.5.1.
UkBad jest trzykrotnie geometrycznie niewyznaczalny, przesuwny.
n = 3(� ,� , ")
g 1 2
Rys. 6.5.2.
Momenty wyj[ciowe:
12 �" 4
0
M = - = -6 [kNm]
A1
8
0
M1A = 6 [kNm]
Momenty przywzBowe w ukBadzie geometrycznie wyznaczalnym wywoBane wymuszeniami:
�1 = 1, �2 = 1, " = 1 :
Je[li zauwa|ysz bBdy, masz uwagi, uwa|asz, |e w rozwizaniach warto co[ doda czy uzupeBni, podziel
si swoimi spostrze|eniami piszc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z g�ry dzikujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 81
Rys. 6.5.4.
Sumaryczne momenty przywzBowe:
M = -6 + 0, 4�1 - 0,3"
A1
M1A = 6 + 0,8�1 - 0,3"
M12 = 2�1 +�2 + 0,75"
M21 = �1 + 2�2 + 0,75"
3
M2B = 0,75�2 - "
16
R�wnania r�wnowagi :
(1) �M1 = M1A + M12 = 0 �! 2,8�1 + �2 + 0, 45" = -6 (1)
9
(2) �M2 = M21 + M2B = M = 24 �! �1 + 2,75�2 + " = 24 (2)
16
(3) R�wnanie sumy rzut�w w wycitym elemencie 1 2 na kierunku przesuwu by je otrzyma,
tworzymy ukBad przegubowy i zadajemy przemieszczenie wirtualne " = 1
Je[li zauwa|ysz bBdy, masz uwagi, uwa|asz, |e w rozwizaniach warto co[ doda czy uzupeBni, podziel
si swoimi spostrze|eniami piszc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z g�ry dzikujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 82
Rys. 6.5.5.
PrzywzBowe siBy tnce:
M1A + M
A1
T1A = + 4,8 = 0, 24�1 - 0,12" + 4,8
5
M12 + M21
T12 = = �1 +�2 + 0,5"
3
M2B 3 3
T2B = = �2 - "
4 16 64
5 3
R�wnanie pracy wirtualnej: T1A �" -T12 �" + T2B �"1 = 0
4 4
W r�wnaniu tym zwrot siB przyjmujemy od strony wzB�w, w przypadku braku obci|enia wzBowego
mo|na podstawi siBy T od strony element�w)
Po podstawieniu otrzymujemy:
9 183
0, 45�1 + �2 + " = 6 (3)
16 320
Inny wariant: obliczamy kty obrotu poszczeg�lnych prt�w ukBadu przegubowego (mechanizmu)
.
Rys. 6.5.6
R�wnanie pracy wirtualnej:
Je[li zauwa|ysz bBdy, masz uwagi, uwa|asz, |e w rozwizaniach warto co[ doda czy uzupeBni, podziel
si swoimi spostrze|eniami piszc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z g�ry dzikujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 83
1 1 1
(M + M1A) - (M21 + M12 ) + M2B +12 �"0,5 = 0
A1
4 4 4
1
(M + M1A - M21 - M12 + M2B ) + 6 = 0
A1
4
9 183
0, 45�1 + �2 + " = 6 (3)
16 320
Po rozwizaniu ukBadu r�wnaD (1), (2), (3) otrzymujemy:
�1 = -6,64506, �2 = 9,92489, " = 5,95861
Momenty przywzBowe:
M = -10, 4456 [kNm]
A1
M1A = -1,1036 [kNm]
M12 = 1,1036 [kNm]
M21 = 17,6736 [kNm]
M2B = 6,3264 [kNm]
Rozwizanie:
Rys. 6.5.7
SiBy normalne w elementach 2 B i 1 2 uzyskujemy z r�wnowagi wzBa 2:
= 0 �! N2B = -6, 25907kN
"Py
= 0 �! N12 = 1,58161kN
"Px
SiB normaln N1A uzyskujemy z r�wnowagi wzBa 1
= 0 �! -0,6N1A + 0,8�" 2, 49016 +1,58161 = 0
"Px
N1A = 5,9562kN
Rys.6.5.8.
Je[li zauwa|ysz bBdy, masz uwagi, uwa|asz, |e w rozwizaniach warto co[ doda czy uzupeBni, podziel
si swoimi spostrze|eniami piszc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z g�ry dzikujemy. Autorzy
v.2009 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek 84
sprawdzenie: = 0
"Py
NA1
Z r�wnowagi wzBa 3 otrzymujemy siB normaln :
NA1 = N1A + 7, 2 = 13,1562kN
Rys. 6.5.9.
Wykresy siB wewntrznych:
Rys. 6.5.10.
Rys. 6.5.11.
Je[li zauwa|ysz bBdy, masz uwagi, uwa|asz, |e w rozwizaniach warto co[ doda czy uzupeBni, podziel
si swoimi spostrze|eniami piszc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z g�ry dzikujemy. Autorzy
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
MB Cwiczenia Met przemieszczen cz 1MB Cwiczenia Przemieszczenia w ukladach statycznie wyznaczalnych cz 1MB Cwiczenia Przemieszczenia w ukladach stytycznie wyznaczalnych cz 2Trening siłowy ćwiczenia na plecy cz 3Plyometria w ćwiczeniach z wykorzystaniem skrzyni cz 1Trening siłowy ćwiczenia na uda cz 4więcej podobnych podstron