Egzamin maturalny z matematyki 1
Arkusz egzaminacyjny II
Schematy punktowania zadań do Arkusza II
Zadanie 12.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
x(x -1)(x - 2)
Zapisanie wyrażenia w prostszej
x2 - 3x + 2
1. 1
postaci.
Odp. x .
Obliczenie granicy funkcji f w punkcie x = 1.
2. 1
Odp. 1.
Obliczenie granicy funkcji f w punkcie x = 2 .
3. 1
Odp. 2
Sformułowanie odpowiedzi.
Odp. Funkcja f jest ciągła w punkcie x = 1; funkcja f
4. 2
nie jest ciągła w punkcie x = 2 .
Za każdą część odpowiedzi  1 punkt.
Zadanie 13.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Obliczenie P(B) .
1. 1 1
Odp. P(B) = .
4
Obliczenie P(A)" B) .
P(A*" B) = P( A) + P(B) - P(A)" B)
2. 1
1
Odp. P(A)" B) = .
8
Porównanie liczb P(A)" B) oraz P(A)Å" P(B) i
3. 1
zapisanie odpowiedzi, że zdarzenia A i B są
niezależne.
Zadanie 14.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Ustalenie, że punkt D jest obrazem punktu A oraz
punkt C jest obrazem punktu B.
1. 1
Fakt ten może być opisany słownie, przedstawiony
rysunkiem lub wykorzystany podczas rozwiÄ…zania.
Wyznaczenie równania prostej AD.
2. 1
Odp. y = 0 .
Wyznaczenie równania prostej BC.
3. 1
Odp. y = 2x - 2 .
Wyznaczenie współrzędnych środka jednokładności.
4. 1
Odp. (1,0) .
Egzamin maturalny z matematyki 2
Arkusz egzaminacyjny II
Zadanie 15.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Naszkicowanie wykresu funkcji f.
1. 1
Odp.
Wyznaczenie wzoru funkcji f g .
2. 1
Odp. ( f g) (x) = 2- x .
Naszkicowanie wykresu funkcji f g .
3. 1
Odp.
Wyznaczenie wzoru funkcji h f g .
4. 1
Odp. (h f g)(x) = 2- x - 2 .
Naszkicowanie wykresu funkcji h f g .
5. 1
Odp.
Zadanie 16.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Zapisanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych
za pomocÄ… symbolu Newtona.
1. 1
42
ëÅ‚ öÅ‚
Odp. ìÅ‚ ÷Å‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
5
íÅ‚ Å‚Å‚
Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
2. 1
Odp. 850668.
Zapisanie liczby zdarzeń sprzyjających trafieniu co
najmniej 4 spośród 5 liczb z wykorzystaniem symbolu
Newtona.
3. 1
5 37
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
Odp. ìÅ‚ ÷Å‚ +1.
ìÅ‚4÷Å‚ìÅ‚ 1 ÷Å‚
÷Å‚ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Egzamin maturalny z matematyki 3
Arkusz egzaminacyjny II
Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
4. 1
Odp. 186.
Obliczenie prawdopodobieństwa trafienia co najmniej
4 spośród 5 liczb.
186
5. 1
H" 0,0002186
850668
Odp. 0,00022.
Zadanie 17.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
1. 1
Zapisanie równania w postaci 2sin2 x - 5sin x + 2 = 0 .
Zapisanie równania z niewiadomą t = sin x .
2. 1
Odp. 2t2 - 5t + 2 = 0.
Wyznaczenie rozwiązań równania 2t2 - 5t + 2 = 0.
3. 1 1
Odp. t = 2 , t = .
2
4. Zapisanie, że równanie sin x = 2 nie ma rozwiązań. 1
Zapisanie rozwiązań równania
2cos2 x + 5sin x - 4 = 0.
Ä„ 5
Odp. x = + 2kĄ ,k "C lub x = Ą + 2kĄ , k "C .
5. 1
6 6
(Uznajemy też wynik zapisany w postaci.
x = 300 + k Å"3600 , gdzie k "C lub x = 1500 + k Å"3600 ,
gdzie k "C ).
Zadanie 18.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Wykonanie polecenia a).
5
Odp. y = .
8
1. 2
Za podanie współczynnika kierunkowego stycznej lub
wartości pochodnej funkcji f dla x=0 przyznajemy 1
punkt.
Podanie argumentu, dla którego funkcja f osiąga
2. minimum. 1
Odp. x = 3.
Podanie minimum funkcji f.
3. 1
Odp. fmin(3) = -1 .
Wykonanie polecenia c).
4. 1
Odp. Najmniejsza wartość funkcji f jest równa  1.
Zadanie 19.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Wykonanie polecenia zadania.
Odp. Równanie nie ma rozwiązań dla m "(- ",0 ;
1. 2
równanie ma 1 rozwiązanie dla m "(0,+ ").
Po 1 punkcie za każdy z rozważonych przypadków.
Uzasadnienie odpowiedzi.
Odp. Funkcja g określona wzorem g(x) = f (x -1)
2. 2
jest funkcją różnowartościową. Zbiorem wartości
Egzamin maturalny z matematyki 4
Arkusz egzaminacyjny II
funkcji g jest przedział (0,+ ") .
Po 1 punkcie za każdy element uzasadnienia.
Zadanie 20.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Sprawdzenie, czy dla n = 1 zachodzi dana równość.
Odp. Lewa strona równości jest równa 2. Prawa
1. 1
3 1
strona jest równa + = 2 .
2 2
Zapisanie założenia indukcyjnego.
3 1
Odp. 2 + 5 + 8 + ... + (3k -1) = k2 + k , gdzie k
2. 1
2 2
jest dowolną ustaloną liczbą naturalną większą lub
równą 1.
Zapisanie tezy indukcyjnej.
Odp.
3. 1
3 1
2 + 5 + 8 + ... + (3k -1) + (3k + 2) = (k +1)2 + (k +1)
2 2
Przeprowadzenie dowodu tezy indukcyjnej.
Odp.
3 1
2 + 5 + 8 + ... + (3k -1) + (3k + 2) = k2 + k + (3k + 2) =
4. 2
2 2
3 3 1 1 3 1
= k2 + 3k + + k + = (k +1)2 + (k +1)
2 2 2 2 2 2
Sformułowanie odpowiedzi.
Odp. Na mocy zasady indukcji matematycznej dana
5. 1
równość jest prawdziwa dla każdej liczby całkowitej,
dodatniej n.
Zadanie 21.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Wykonanie rysunku i wprowadzenie oznaczeń.
Odp.
1. 1
Zapisanie jaką bryłą jest bryła po obrocie danego
trójkąta.
Odp. Powstała bryła jest stożkiem z wyciętym
2. 1
stożkiem o tej samej podstawie.
Punkt przyznajemy także jeśli zaznaczony jest stożek
na rysunku.
Wyznaczenie długości odcinka AB .
3. 1
Z twierdzenia kosinusów
Egzamin maturalny z matematyki 5
Arkusz egzaminacyjny II
2
AB = AC + BC - 2 AC Å" BC cos "ACB .
Odp. AB = 7 .
Wyznaczenie długości odcinka AD .
AD = AC Å"sin "ACB
4. 1
Odp. AD = 4 3 .
Wyznaczenie długości odcinka CD .
CD = AC Å"cos "ACB
5. 1
Odp. CD = 4 .
Obliczenie objętości powstałej bryły.
2 2
1 1
V = Ä„ AD Å" CD - Ä„ AD Å" BD
6. 1
3 3
Odp. 48Ä„ .
Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
P = Ä„ AD Å" AC +Ä„ AD Å" AB
7. 2
Odp. 60 3Ä„ .
Jeśli wyznaczone zostało pole powierzchni bocznej
tylko jednego stożka przyznajemy 1 punkt.
Zadanie 22.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Zapisanie warunku jaki musi spełniać niewiadoma x.
x > 0
Å„Å‚
ôÅ‚log
1. 1
Odp. x > 0
òÅ‚
3
ôÅ‚log9 x > 0
ół
Wyznaczenie dziedziny równania.
2. 1
Odp. x "(1,+ ") .
Zapisanie równania w postaci
2
log9(log9 x) = log9(log3 x).
3. 2
Za zastosowanie twierdzenia o zamianie podstaw 
1 punkt.
2
4. Zapisanie równania w postaci (log9 x) - log3 x = 0 . 1
2
5. Zapisanie równania w postaci (log9 x) - 2log9 x = 0 . 1
Wyznaczenie rozwiązań równania
2
(log9 x) - 2log9 x = 0 .
Odp. x = 1 lub x = 81.
6. 3
Zapisanie w postaci (log9 x - 2)log9 x = 0 - 1 punkt.
Zapisanie alternatywy: log9 x = 0 lub log9 x = 2 -
1 punkt.
Wyznaczenie rozwiązań równania - 1 punkt.
Wyznaczenie rozwiązań równania
log3(log9 x)= log9(log3 x).
7. 1
Odp. x = 81.
Egzamin maturalny z matematyki 6
Arkusz egzaminacyjny II
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną od przedstawionej w schemacie
punktowania metodą zgodną z poleceniem przyznajemy maksymalną liczbę punktów.