1

Maria Nowotny-Ró a ska

Zakład Fizyki, Akademia Rolnicza

do u ytku wewn trznego

WICZENIE 31

MOSTEK WHEATSTONE’A

Kraków, 02.2007

Spis Treci:

I. CZ

TEORETYCZNA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

ŁADUNEK ELEKTRYCZNY ...................................................................................................................................... 2

PRAWO COULOMBA............................................................................................................................................... 2

POLE ELEKTROSTATYCZNE. POTENCJAŁ I NAPI CIE ............................................................................................... 2

PR D ELEKTRYCZNY ............................................................................................................................................. 3

NAT ENIE PR DU ................................................................................................................................................ 3

DEFINICJA OPORU ELEKTRYCZNEGO...................................................................................................................... 4

PRAWO OHMA....................................................................................................................................................... 5

PRAWA KIRCHHOFFA............................................................................................................................................. 6

Ł CZENIE OPORÓW ............................................................................................................................................... 7

MOSTEK WHEATSTONE'A ...................................................................................................................................... 8

II. CEL WICZENIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

III WYKONANIE CWICZENIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

IV. OPRACOWANIE WYNIKÓW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

IV. LITERATURA UZUPEŁNIAJ CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

V. INDEKS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

ZAKRES WYMAGANYCH WIADOMO CI:

Ładunek elektryczny. Ró nica potencjałów elektrycznych. Pr d elektryczny. Nat enie pr du.

Definicja oporu elektrycznego. Opór przewodnika metalicznego. Opór wła ciwy. Zale no oporu wła ciwego od temperatury. Prawo Ohma. Prawa Kirchhoffa. Szeregowe i równoległe ł czenie oporów. Zasada pomiaru oporu elektrycznego metod mostkow .

2

I. CZ

TEORETYCZNA

Ładunek elektryczny

Ładunek elektryczny jest to pewna własno materii, któr posiadaj m.in. elektrony, jony i protony. Powoduje ona, e cz stki obdarzone ładunkiem odpychaj si lub przyci gaj .

Ładunek elektryczny jest wielko ci skalarn i mo e przyjmowa warto ci dodatnie lub ujemne. Warto ci te s całkowit wielokrotno ci pewnej najmniejszej warto ci zwanej ładunkiem elementarnym e:

e =

⋅ −

1602 10 19

,

C

gdzie C oznacza jednostk ładunku zwan kulombem. Jeden kulomb (1C) jest to ładunek, który przepływa w ci gu jednej sekundy przez poprzeczny przekrój przewodnika, w którym płynie pr d o nat eniu jednego ampera:

1 C = 1 A ⋅ 1 s

Prawo Coulomba

Ka de dwa ładunki elektryczne q , q oddziaływuj na siebie sił F zwan sił Coulomba, 1

2

która jest proporcjonalna do ich iloczynu, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległo ci r pomi dzy nimi:

q q

F = k 1 2

(1)

r 2

gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalno ci. Niekiedy współczynnik k zast puje si przez 1/4πε . Współczynnik ε zwany jest stał dielektryczn pró ni.

o

ο

Je eli ładunki umieszczone s w dielektryku o przenikalno ci dielektrycznej ε , to siła oddziaływanie mi dzy nimi wyra a si wzorem:

1

q 1 ⋅ q

F =

⋅

2

(2)

4

2

Πε ε

0

r

Pole elektrostatyczne. Potencjał i napi cie

Polem elektrostatycznym nazywamy obszar, w którym na ka dy ładunek działa siła

Coulomba.

Potencjał V jest wielko ci skalarn charakteryzuj c dany punkt pola elektrostatycznego.

Wyra a on liczbow warto pracy W, któr trzeba wykona przeciwko siłom pola, aby przenie dodatni ładunek jednostkowy q z niesko czono ci do danego punktu pola:

3

W

V =

(3)

q

Jednostk potencjału jest jeden wolt (1V=1J/1C).

Napi ciem elektrycznym U panuj cym mi dzy dwoma punktami pola nazywamy ró nic

potencjałów tych punktów pola:

U = V

(4)

1 − V 2

Jednostka napi cia jest taka sama jak jednostka potencjału.

Pr d elektryczny

Pr d elektryczny jest to uporz dkowany ruch ładunków elektrycznych: elektronów (w metalach). Warunkiem koniecznym przepływu pr du jest istnienie ró nicy potencjałów.

Kierunek pr du okre la si umownie od miejsca o potencjale wy szym do miejsca o potencjale ni szym.

Nat enie pr du

Ograniczaj c si do pr dów stałych (z którymi b dziemy mieli do czynienia w wiczeniu 31), mo na powiedzie , e nat enie pr du jest to ilo ładunku przepływaj cego w jednostce czasu przez poprzeczny przekrój przewodnika (Rys.1).

Rys.1. Przepływ pr du przez przewodnik (e-elektron)

Je li przez Q oznaczymy ładunek przepływaj cy przez poprzeczny przekrój przewodnika w czasie t, to nat enie pr du I wyra a si wzorem:

Q

I =

(5)

t

Jednostk nat enia jest jeden amper (1A). Według definicji, amper jest to takie nat enie pr du elektrycznego, który płyn c w dwóch równoległych, prostoliniowych i niesko czenie długich przewodnikach umieszczonych w pró ni w odległo ci 1m spowoduje, e przewodniki

-7

b d oddziaływały na siebie sił elektrodynamiczn wynosz c 2⋅10 N na ka dy metr bie cy przewodu.

4

Definicja oporu elektrycznego

Pr d elektryczny przepływaj c przez dowolny materiał napotyka na przeszkody. W

przypadku przewodnika metalicznego elektrony swobodne napotykaj na atomy sieci

polikrystalicznej metalu, i w zwi zku z tym nie poruszaj si ruchem jednostajnie przy pieszonym, lecz zderzaj c si co jaki czas z atomami sieci poruszaj ze stał redni pr dko ci .

Wielko ci fizyczn , która okre la stopie utrudnienia na jakie napotykaj elektrony (lub inne no niki ładunku) jest opór elektryczny R, zdefiniowany jako stosunek napi cia U

przyło onego pomi dzy ko cami przewodnika do nat enia pr du I wywołanego przez to napi cie:

U

R =

(6)

I

Jednostk oporu jest jeden om (1Ω), i jest to opór takiego przewodnika, w którym przyło one napi cie 1V powoduje przepływ pr du o nat eniu 1A:

1Ω = ! V

1 A

Opór przewodnika metalicznego zale y od jego geometrycznych wymiarów, rodzaju materiału z którego jest wykonany oraz od temperatury. Zale no od wymiarów geometrycznych i rodzaju materiału mo na zapisa wzorem:

l

R = ρ

(7)

S

gdzie l jest to długo przewodnika, S jest to pole poprzecznego przekroju, a współczynnik ρ

zwany jest oporem wła ciwym materiału, z którego wykonany jest przewodnik. W przypadku przewodników metalicznych, opór ro nie wraz ze wzrostem temperatury. Mo na to wyja ni w ten sposób, e atomy sieci polikrystalicznej metalu drgaj silniej w wy szej temperaturze i płyn ce elektrony cz ciej ulegaj zderzeniom z nimi. Rysunek 2 przedstawia zale no oporu R od temperatury T dla kilku wybranych metali: miedzi (Cu), elaza (Fe) i platyny (Pt).

Dla przejrzysto ci warto ci oporów R(T) poszczególnych przewodników podzielono przez odpowiednie warto ci oporów w temperaturze 273K = 0oC oznaczone przez Ro=R(273K), o

dlatego wszystkie krzywe zbiegaj si w temperaturze 273K(0 C). W ród przedstawionych na

5

rysunku metali, zale no oporu od temperatury dla platyny jest najbardziej zbli ona do zale no ci liniowej (zaznaczonej lini kropkowan ):

R = R 1 α

0 [ + ( t − t 0 )]

gdzie t , t - to temperatura pocz tkowa i ko cowa, α - to termiczny współczynnik oporu, a R

o

o

to opór w temperaturze pocz tkowej.

Poni ej przytoczymy niektóre prawa dotycz ce obwodów pr du stałego.

Rys.2 Zale no oporu R od temperatury T dla kilku wybranych metali.

Prawo Ohma

Nat enie pr du przepływaj cego przez przewodnik jest wprost proporcjonalne do napi cia przyło onego do ko ców tego przewodnika

I ≈ U

Zast pienie znaku proporcjonalno ci w powy szym wzorze wymaga wprowadzenia

współczynnika proporcjonalno ci o wymiarze odwrotno ci oporu elektrycznego:

U

I =

(8)

R

Liniowa zale no nat enia pr du I od napi cia U opisywana równaniem (8) nazywa si prawem Ohma.

Przewodniki metaliczne spełniaj prawo Ohma z du dokładno ci , w przeciwie stwie do wielu innych materiałów takich jak tzw. mocne elektrolity i elementy półprzewodnikowe.

6

Prawa Kirchhoffa

Pierwsze prawo Kirchhoffa dotyczy w zła sieci, tzn. takiego punktu, w którym zbiegaj si co najmniej trzy przewody.

I. Prawo Kirchhoffa: Suma nat e pr dów I wpływaj cych do danego w zła sieci jest równa sumie nat e pr dów I ' wypływaj cych z tego w zła:

I + I + .... +

. I = ' + ' + .... +

. '

1

2

n

I

I

I

1

2

m

U ywaj c znaku sumy Σ to samo prawo mo na zapisa nast puj co:

n

n

I =

(9)

i

I j

i=1

j=1

Dla przykładu dla w zła przedstawionego na rysunku 3 mo na zapisa :

I + I + I = I ' + I '

1

2

3

1

2

I1

I4

I2

I5

I3

Rys. 3. Ilustracja pierwszego prawa Kirchhoffa.

Drugie prawo Kirchhoffa dotyczy tzw. oczek sieci, tzn zamkni tych cz ci obwodu elektrycznego.

II Prawo Kirchhoffa: W zamkni tym oczku sieci suma algebraiczna iloczynów IR (zwanych spadkami napi ) jest równa sumie algebraicznej sił elektromotorycznych:

I R + I R + .... +

. I

=

+

+ .... +

.

(10)

1 1

2

2

n Rn

E

E

E

1

2

n

ródłami sił elektromotorycznych E mog by ogniwa, baterie itp.

Dla ilustracji II-ego prawa Kirchhoffa rozpatrzymy oczko sieci b d ce fragmentem obwodu pomiarowego mostka Wheatstone'a:

7

Rx

C

ICD=0

I1

G

I2

D

A

Rys.4. Ilustracja drugiego prawa Kirchhoffa.

W omawianym oczku nie ma adnych sił elektromotorycznych, wi c prawa strona równania (10) jest równa 0. W celu uzyskania sumy algebraicznej spadków napi po stronie lewej równania (10), zaznaczamy strzałk obrany kierunek obiegu oczka i te nat enia pr dów, które s zgodne z tym kierunkiem podstawiamy do wzoru (10) ze znakiem dodatnim, a ze znakiem ujemnym te, które s z nim niezgodne:

I R −

= 0

(11)

1

x

I R

2

AD

Ł czenie oporów

Przy poł czeniu szeregowym kilku oporników, opór wypadkowy R poł czenia jest równy sumie poszczególnych oporów. Dla oporów na rysunku 5 mo na zapisa :

R = R 1 + R 2 + R 3

(12)

Rys.5. Poł czenie szeregowe oporów

Dla poł czenia równoległego odwrotno oporu wypadkowego jest równa sumie

odwrotno ci poszczególnych oporów. Dla oporów na rysunku 6 mo na zapisa :

1

1

1

1

=

+

+

(13)

R

R

R

R

1

2

3

8

R1

R2

R3

Rys.6. Poł czenie równoległe oporów.

Mostek Wheatstone'a

Rysunek 7 przedstawia schemat układu pomiarowego - mostka Wheatstoneà, który słu y w trakcie wykonanie wiczenia do znalezienia nieznanego oporu R .

x

W E

Rx

R

C

G

l1

l2

A

D

B

Rys.7. Mostek Wheatstone’a.

Obja nienie symboli zamieszczonych na rysunku 7.

E - siła elektromotoryczna ródła pr du stałego

W - wył cznik,

Rx - badany opornik,

R - opornica dekadowa,

G - galwanometr,

D - ruchomy styk,

9

AB - przewód oporowy o polu poprzecznego przekroju S, wykonany z materiału o

oporze wła ciwym ρ,

l , l - długo ci fragmentów drutu oporowego odpowiednio AD i DB,

1 2

I , I

1

2 - nat

enia pr dów.

Je li ruchomy styk D ustawimy w takim miejscu, e galwanometr G nie wykazuje

przepływu pr du, to potencjały elektryczne punktów C i D musz by równe:

V =

C

VD

i nat enie pr du płyn cego mi dzy tymi punktami jest równe 0.

Korzystaj c z pierwszego prawa Kirchhoffa dla w złów C i D widzimy, e nat enie pr du płyn cego mi dzy punktami C i B jest równe I , a nat enie pr du na odcinku DB jest równe 1

I .

2

Korzystaj c z powy szych stwierdze oraz z drugiego prawa Kirchhoffa dla oczek ACD i DCB (patrz wzór 11) mo na zapisa

I R −

= 0

(14)

1

x

I R

2

AD

I R − I R = 0

1

2

DB

Poniewa zgodnie ze wzorem (7):

l

R = ρ 1 oraz

(15)

AD

S

l

R = ρ 2

BD

S

równania (15) mo na zapisa :

l

I R = I

1

ρ

(16)

1

x

2

l 2

l

I

2

= ρ

1 R

I 2 S

Po podzieleniu stronami równa (16) i przekształceniu otrzymujemy:

l

R = R 1

(17)

x

l 2

10

II. CEL WICZENIA

Celem wiczenia jest wyznaczenie warto ci oporu dla wybranych oporników oraz ich poł cze szeregowych i równoległych za pomoc mostka Wheatstone’a i bezpo rednio za pomoc multimetru cyfrowego.

III WYKONANIE CWICZENIA

1. Zestawi obwód pomiarowy wg schematu podanego na rysunku 7.

2. Ustawi styk D w poło eniu rodkowym l l i przy pomocy regulowanej opornicy

1 2

dekadowej sprowadzi mostek do stanu równowagi, przy którym galwanometr G nie

wykazuje przepływu pr du. Precyzyjne ustawienie równowagi mostka ułatwia styk D.

Zapisa warto ci l , l , R w tabeli.

1 2

3. Powtórzy pomiar jeszcze dla dwóch pozostałych oporników oraz ich poł cze

szeregowego i równoległego.

4. Rozmontowa obwód pomiarowy i przy pomocy multimetru cyfrowego ustawionego na zakresie 200 omów zmierzy warto ci oporu tych samych oporników i ich poł cze .

Tabela wyników:

Badany

Mostek Wheatstone’a

Multimetr

opornik

cyfrowy

R(Ω)

l1(m)

l2(m)

Rx ± ∆Rx

Rx + ∆Rx

poł. szer.

poł. równ.

11

IV. OPRACOWANIE WYNIKÓW

1. Obliczy warto ci badanych oporów R korzystaj c ze wzoru (17):

x

l

R = ⋅ 1

x

R l 2

2. Oszacowa maksymalne warto ci bł dów ∆l1, ∆l2 i ∆R. W obliczeniach bł du ∆R

przyj , e bł d wzgl dny ∆R/R wprowadzany przez opornic dekadow wynosi 0.1%.

3. Dla dwóch wybranych oporników obliczy bł d bezwzgl dny ∆Rx korzystaj c z metody ró niczki zupełnej ze wzgl du na zmienne l , l i R lub z metody logarytmicznej.

1 2

4. Dla wybranego opornika zaznaczy na osi liczbowej warto R , a nast pnie przedział

x

oszacowanego bł du, tzn.: (R - ∆R , R

).

x

x

x + ∆Rx

Rx

R -∆R

+∆R

x

x Rx

x

5. Dla tego samego opornika obliczy maksymalne bł dy bezwzgl dne dla pomiarów

przeprowadzanych multimetrem .(patrz instrukcja obsługi multimetru)

6. Na tej samej osi liczbowej co w punkcie 4 nanie innym kolorem wynik Rx tego samego opornika zmierzony multimetrem i przedział oszacowanego bł du.

7. Sprawdzi istnienie zgodno ci wyników uzyskanych w punktach 4 i 6. (patrz rys.1

„Opracowanie i prezentacja wyników pomiarów”).

12

IV. LITERATURA UZUPEŁNIAJ CA

1. Dry ski Tadeusz., wiczenia laboratoryjne z fizyki, PWN, Warszawa 1978

2. Encyklopedia Fizyki., PWN, Warszawa 1974

3. Halliday D., Resnick R., Fizyka Tom 2, PWN, Warszawa 1974

4. Piech T., Fizyka dla II klasy liceum ogólnokształc cego, technikum i liceum zawodowego. Wyd.V. PZWS, Warszawa 1973

5. Szczeniowski S., Fizyka Do wiadczalna, Tom III, PWN, Warszawa 1980

V. INDEKS

Coulomba siła

1

Kirchoffa prawo I

4

Kirchoffa prawo II

5

ładunek elektryczny

1

ładunek elementarny

1

napi cie

2

nat enie

2

oczko sieci

5

Ohma prawo

3

opór elektryczny

3

opór wła ciwy

3

pole elektrostatyczne

2

potencjał

2

pr d elektryczny

2

stała dielektryczna pró ni

2

termiczny współczynnik oporu

4

w zeł sieci

4