Równania Różniczkowe, studia II stopnia
1. Niech X będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym ( · | ·). Wraz z równaniem
x0 = A( t) x,
(1)
gdzie A : ( a, b) → L( X), rozważmy równanie y0 = −A( t) ∗y
(2)
zwane równaniem sprzężonym do (1). A( t) ∗ oznacza tu operator hermitowsko sprzę-
żony do operatora A( t), tzn.: ( A( t) x | y) = ( x | A( t) ∗y). Wykaż, że jeśli ϕ jest rozwiązaniem równania (1), a ψ jest rozwiązaniem równiania (2), to funkcja t →
( ϕ( t) | ψ( t)) jest stała.
2. Znajdź rezolwentę równania x0 = tx, x ∈ R.
3. Znaleźć wszystkie rozwiązania równania:
x0 = −y + z + 1
y0 = z
z0 = −x + z
4. Znaleźć wszystkie rozwiązania równania:
x0 = 5 x − y − 4 z
y0 = − 12 x + 5 y + 12 z
z0 = 10 x − 3 y − 9 z + 1
5. Znaleźć wszystkie rozwiązania równania:
x0 = 2 x + y + 1
y0 = x + 3 y − z
z0 = −x + 2 y + 3 z
6. Znaleźć wszystkie rozwiązania równania:
x0 = 2 x + y + 3 z
y0 = 2 y − z
z0 = 2 z
7. Znaleźć wszystkie rozwiązania równania:
x0 = x + 1
y0 = y
z0 = z
8. Znaleźć wszystkie rozwiązania równania (1 − t 2) x00 − tx0 + 1 x = 0 wiedząc, że jego 4
√
rozwiązaniem jest funkcja ϕ( t) =
t + 1.
1
9. Rozwiązać równanie ( t − 1) x00 − ( t + 1) x0 + 2 x = 0, (wsk.: jednym z jego rozwiązań jest wielomian).
10. Rozwiąż równanie: ( t + 1)2 x00 − 2( t + 1) x0 + 2 x = 0, (wsk.: zastosować podstawienie t + 1 = es) .
11. Rozważmy zagadnienie początkowe na R postaci x0 = 0, x(0) = x 0. Narysuj kilka przykładowych rozwiązań. Dla podanego równania rozważ odpowiedni układ dynamiczny i narysuj jego portret fazowy.
12. Rozważmy zagadnienie początkowe na R postaci x0 = 1, x(0) = x 0. Narysuj kilka przykładowych rozwiązań. Dla podanego równania rozważ odpowiedni układ dynamiczny i narysuj jego portret fazowy.
13. Rozważmy zagadnienie początkowe na R postaci x0 = x, x(0) = x 0. Narysuj kilka przykładowych rozwiązań. Dla podanego równania rozważ odpowiedni układ dynamiczny i narysuj jego portret fazowy.
14. Rozważmy zagadnienie początkowe na R postaci x0 = 1 − x, x(0) = x 0. Narysuj kilka przykładowych rozwiązań. Dla podanego równania rozważ odpowiedni układ dynamiczny i narysuj jego portret fazowy.
15. Rozwiąż układ równań
(
x0 = x
y0 = y,
x(0) = x 0 ∈ R, y(0) = y 0 ∈ R. Narysuj kilka przykładowych rozwiązań. Dla podanego układu równańk rozważ odpowiedni układ dynamiczny i narysuj jego portret fazowy.
16. Narysuj portret fazowy układu (zamienić na współrzędne biegunowe)
√
(
x0 = x − y − x x 2 + y 2
√
.
y0 = x + y − y x 2 + y 2
17. Narysować portrety fazowe układów:
• x00 = − 3 x 2 − 2 x;
• x00 = − 4 x 3 + 18 x 2 − 22 x + 6;
• x00 = 2 x ;
x 2+1
• x00 + sin x = 0 (równanie wahadła);
• x00 + bx + sin x = 0 (równanie wahadła z tłumieniem);
• x00 + x = α + εx 2 (równanie ruchu planet Einsteina).
18. Dokonać klasyfikacji punktu krytycznego (0 , 0) w podanych poniżej układach. Na-stępnie narysować portret fazowy w zmiennych kanoniczych i wyjściowych (wsk: dla wyznaczonych wartości własnych znaleźć odpowiadające im wektory własne).
•
(
x0 = 3 x + 4 y
y0 = 2 x + y;
2
(
x0 = y
y0 = y − 2 x;
•
(
x0 = − 2 x − 5 y
y0 = 2 x + 2 y;
19. W poniższych układach równań znaleźć punkty krytyczne, dokonać ich klasyfikacji oraz naszkicować lokalne portrety fazowe.
•
(
x0 = (2 x − y)( x − 2)
y0 = xy − 2;
•
(
x0 = x − y
y0 = x 2 + y 2 − 2;
•
(
x0 = ln y 2 −y+1
3
y0 = x 2 − y 2;
20. Dokonać klasyfikacji punktów krytycznych układu:
(
x0 = sin x
y0 = − sin y.
21. Zbadać portrety fazowe układów: po pierwsze dokonując linearyzacji, po drugie przechodząc na współrzędne biegunowe. Omówić otrzymane wyniki.
•
(
x0 = −y + x( x 2 + y 2) y0 = x + y( x 2 + y 2);
•
(
x0 = −y − x( x 2 + y 2)
y0 = x − y( x 2 + y 2);
22. Sklasyfikować punkt krytyczny (0 , 0) linearyzując układ oraz przechodząc do współ-
rzędnych biegunowych. Jakie możemy wyciągnąć wnioski?
x0 = x +
y
√
ln
x 2+ y 2
x0 = y +
x
√
;
ln
x 2+ y 2
23. Zbadać stabilność lub brak stabilności rozwiązania zerowego układów równań (twier-dzenia Lapunowa):
(
x0 = x 3 − x
1
1
2
x0 = x
2
1 + x 3
2
(
x0 = x
1
2 − x 1 + x 1 x 2
x0 = x
− x 3
2
1 − x 2 − x 2
1
2
3
x0 = −x 3 y 2
y0 = −x 4 y
(
x0 = x 5 + x 3
1
1
2
x0 = x 3 − x 5
2
1
2
24. Dla równania x00 + ( x 2 + ( x0)2 + 1) x0 + 4 x = 0 w 2
R znaleźć funkcję Lapunowa i
zbadać stabilność rozwiązania zerowego.
25. Znaleźć całki pierwsze dla układów równań:
(
x0 =
x 1
1
2 x 1 −x 2
x0 =
x 2
2
2 x 1 −x 2
x0 = x( y − z)
y0 = y( z − x)
z0 = z( x − y)
x0 = x
1
3 − x 2
x0 = x
2
1 − x 3
x0 = x
3
2 − x 1
(
y0 =
z
( z−y)2
z0 =
y
( z−y)2
(
x0 = x
1
1 − x 2 + et
x0 = −x
2
1 + x 2
x0 =
x 1
− x
1
x 2+ x 2
1 − tx 2
1
2
x0 =
x 2
− x
2
x 2+ x 2
2 + tx 1
1
2
26. Zapisać następujące zagadnienie brzegowe
(
v00( t) = −g( t, v( t) , t ∈ [0 , 1]
v(0) = v(1) = 0
w równoważnej postaci całkowej.
27. Rozwiązać równanie
• xux + 2 yuy + 3 zuz = 0;
• ( z − y) ux + ( x − z) uy + ( y − x) uz = 0;
• ( x + u) ux + ( y + u) uy = 0; 28. Rozwiązać zagadnienie początkowe
• xux + y 2 uy = u, u( x, 0) = 1;
• yux + xuy − zuz = 0 , u( t, t 2 , −t) = 2 t;
• ux − ( y + 2 z) uy + (3 y + 4 z) uz = 0, u( t, 2 t, 3 t) = t 2; 4
• x( y − u) ux + y( u − x) uy = u( x − y), u( x, 1) = 2;
• yzzx + xzy = 0 , z( x, 1) = x 2;
• cos yux + cos xuy = cos x cos y, u( π, y) = sin2 y;
• ux + 1 u
2
y = u 2, u( x, x) = 1 /x;
• xux + yuy = y, u(1 , y) = −y; 29. Jakiego typu jest równanie
• ( x − y) uxx + 2 uxy − ( x 2 + y 2) uyy = 2 ux − 3 xuy + u + x;
• uxx + yuyy + zuzz + xuyz = 0; w różnych punktach płaszczyzny?
30. Następujące równania sprowadzić do postaci kanonicznej:
• y 4 uxx + 2 xy 2 uxy + x 2 uyy − y 2 uy = 0;
• 9 y 4 uxx − 6 y 2 uxy + 2 uyy − 6 uy = 0;
• uxx + 4 cos 2 xuxy − 4 sin2 2 xuyy − 4 sin 2 xuy = 0; 5