1

Wielomiany

Definicja

Wielomianem stopnia

n zmiennej rzeczywistej x

nazywamy funkcję

W( x) = an xn + an− 1 xn− 1 + . . . + a 1 x + a 0 , gdzie n ∈ N ∪ { 0 } , a 0 , a 1 , . . . , an ∈ R oraz an 6= 0.

Liczby

a 0 , a 1 , . . . , an nazywamy współczynnikami wielomianu, przy czym

a 0

nazywamy także wyrazem wolnym. Liczbę n

nazywamy stopniem wielomianu i oznaczamy n = st.W ( x).

Przykłady wielomianów:

W( x) = 7 ,

W( x) = x − 5 ,

W( x) = 2 x 3 + 4 x 2 − 5

2

W szczególności:

• funkcję stałą W ( x) ≡ 0 nazywamy wielomianem zerowym,

• funkcję stałą

W( x) = a 0 , a 0 6= 0 nazywamy wielomianem

stopnia zero,

• funkcję W ( x) = a xn, a 6= 0 nazywamy jednomianem,

• dwumianem nazywamy sumę dwóch jednomianów różnych stopni, na przykład: W ( x) = 3 x 3 − x, W ( x) = x 7 + 7 x 5,

• trójmianem nazywamy sumę trzech jednomianów różnych stopni, na przykład: W ( x) = x 2 − x + 1 , W ( x) = 5 x 6 + 2 x 4 + 3 x 2.

3

Definicja

Liczbę rzeczywistą

x 0

nazywamy pierwiastkiem

wielomianu W ( x), jeżeli W ( x 0) = 0.

Przykład

Dla jakiej wartości parametru m wielomian W( x) = 4 mx 4 + 3 m 2 x 2 − x + 2

ma pierwiastek równy 1 .

Przykład

Dla jakiej wartości parametru m wielomian W( x) = m 2 x 4 + x 3 − (5 m − 1) x 2 + x + 7

ma pierwiastek równy − 1 .

4

Działania na wielomianach

• Równość wielomianów

Dwa niezerowe wielomiany są równe, gdy są tego samego stopnia i ich współczynniki, stojące przy tych samych potęgach zmiennej x, są sobie równe.

• Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

(Dodawanie, odejmowanie, mnożenie wielomianów wykonujemy jak działania na wyrażeniach algebraicznych)

Przykład

Niech dane będą wielomiany:

W( x) = x 2 + 2 i

Q( x) = 2 x − 1. Obliczyć: a)

( W( x) − 3 Q( x)) · Q( x) b)

( W( x) + 3 Q( x)) · W( x) 5

• Dzielenie wielomianów

Niech

W( x)

i

Q( x)

będą wielomianami, przy czym

st.W( x) > st.Q( x) i Q( x) nie jest wielomianem zerowym.

Jeżeli istnieje dokładnie jeden wielomian

P( x)

taki, że dla

każdego x ∈ R spełniona jest równość W( x) = Q( x) · P( x) , to wielomian

P( x) nazywamy ilorazem wielomianu W( x) przez Q( x) , tj.

W( x) = P( x) .

Q( x)

O wielomianie W ( x) mówimy wówczas, że jest podzielny przez Q( x).

6

Przykład

Wykonać dzielenie wielomianów:

!

!

a)

3 x 5 − x 4 + x 3 + 7 x 2 − 6 x + 8 : x 3 − x + 2

!

!

b)

x 4 + 3 x 3 − 12 x 2 − 13 x − 15 : x 2 + x + 1

Twierdzenie

(O rozkładzie wielomianu)

Jeżeli

W( x)

i

Q( x)

są

wielomianami

takimi,

że

st.W( x) > st.Q( x) i Q( x) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie dwa wielomiany P ( x) i R( x), że W( x) = Q( x) · P( x) + R( x) , gdzie st.R( x) < st.Q( x).

Wielomian R( x) nazywamy resztą z dzielenia W ( x) przez Q( x) .

7

Piszemy również:

W( x)

R( x)

= P( x) +

.

Q( x)

Q( x)

Przykład

Wykonać dzielenie wielomianów:

!

a)

x 3 − 5 x 2 + 8 x − 2 : ( x − 5)

!

b)

3 x 3 − 2 x 2 − 3 x + 2 : (3 x − 1) Uwaga

Reszta z dzielenia wieloianu W ( x) , st.W ( x) > 1 przez dwumian x − x 0 jest równa W( x 0) .

Przykład

Nie wykonując dzielenia obliczyć resztę z dzielenia:

!2007

!

a)

x 2 − x − 1

: x 2 − 1

!2007

!

b)

x 2 − x − 1

: x 2 − x

8

Twierdzenie

(B´

ezouta)

Liczba

x 0 jest pierwiastkiem wielomianu W( x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W ( x) jest podzielny przez dwumian x − x 0.

Istnieje wówczas wielomian P ( x) taki, że st.P ( x) = st.W ( x) − 1

oraz

W( x) = ( x − x 0) · P( x) .

Przykład

Wiedząc, że liczba

1 jest perwiastkiem wielomianu

W( x) , rozłożyć ten wielomian na czynniki.

a)

W( x) = 9 x 3 − 3 x 2 − 14 x + 8

b)

W( x) = 4 x 3 − 7 x + 3

9

Definicja

Liczbę x 0 nazywamy pierwiastkiem k-krotnym wielo-

mianu

W( x)

wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian

W( x)

jest

podzielny przez ( x − x 0) k, ale nie jest podzielny przez ( x − x 0) k+1.

Fakt

Liczba x 0 jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu W( x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P ( x) taki, że W( x) = ( x − x 0) k · P( x) i

P( x 0) 6= 0 .

Wnioski z twierdzenia B´

ezouta:

• Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków.

• Wielomian stopnia n, gdzie n jest liczbą nieparzystą, ma co najmniej 1 pierwiastek.

10

• Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników stopnia co najwyżej drugiego.

• Jeżeli wielomian

W( x)

stopnia n ma n pierwiastków: x 1 , x 2 , . . . , xn , to W( x) = an ( x − x 1) ( x − x 2) · . . . · ( x − xn) .

Twierdzenie

Jeżeli a 0 , a 1 , . . . , an, an 6= 0 są liczbami całkowitymi, to pierwiastki całkowite wielomianu

W( x) = an xn + an− 1 xn− 1 + . . . + a 1 x + a 0

są dzielnikami wyrazu wolnego a 0.

11

p

Twierdzenie

Jeżeli ułamek nieskracalny

, p, q ∈ Z r { 0 }, jest

q

pierwiastkiem wielomianu

W( x) = an xn + an− 1 xn− 1 + . . . + a 1 x + a 0

o współczynnikach całkowitych, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a 0 a q jest dzielnikiem współczynnika an.

Przykład

Rozłożyć wielomian na czynniki:

a)

W( x) = x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 6 x 2 + 4 x b)

W( x) = x 5 + x 4 − 5 x 3 + 3 x 2

Przykład

Rozwiązać nierówności:

a)

x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 6 x 2 + 4 x < 0

b)

x 5 + x 4 − 5 x 3 + 3 x 2 > 0