1
Wielomiany
Definicja
Wielomianem stopnia
n zmiennej rzeczywistej x
nazywamy funkcję
W( x) = an xn + an− 1 xn− 1 + . . . + a 1 x + a 0 , gdzie n ∈ N ∪ { 0 } , a 0 , a 1 , . . . , an ∈ R oraz an 6= 0.
Liczby
a 0 , a 1 , . . . , an nazywamy współczynnikami wielomianu, przy czym
a 0
nazywamy także wyrazem wolnym. Liczbę n
nazywamy stopniem wielomianu i oznaczamy n = st.W ( x).
Przykłady wielomianów:
W( x) = 7 ,
W( x) = x − 5 ,
W( x) = 2 x 3 + 4 x 2 − 5
2
W szczególności:
• funkcję stałą W ( x) ≡ 0 nazywamy wielomianem zerowym,
• funkcję stałą
W( x) = a 0 , a 0 6= 0 nazywamy wielomianem
stopnia zero,
• funkcję W ( x) = a xn, a 6= 0 nazywamy jednomianem,
• dwumianem nazywamy sumę dwóch jednomianów różnych stopni, na przykład: W ( x) = 3 x 3 − x, W ( x) = x 7 + 7 x 5,
• trójmianem nazywamy sumę trzech jednomianów różnych stopni, na przykład: W ( x) = x 2 − x + 1 , W ( x) = 5 x 6 + 2 x 4 + 3 x 2.
3
Definicja
Liczbę rzeczywistą
x 0
nazywamy pierwiastkiem
wielomianu W ( x), jeżeli W ( x 0) = 0.
Przykład
Dla jakiej wartości parametru m wielomian W( x) = 4 mx 4 + 3 m 2 x 2 − x + 2
ma pierwiastek równy 1 .
Przykład
Dla jakiej wartości parametru m wielomian W( x) = m 2 x 4 + x 3 − (5 m − 1) x 2 + x + 7
ma pierwiastek równy − 1 .
4
Działania na wielomianach
• Równość wielomianów
Dwa niezerowe wielomiany są równe, gdy są tego samego stopnia i ich współczynniki, stojące przy tych samych potęgach zmiennej x, są sobie równe.
• Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów
(Dodawanie, odejmowanie, mnożenie wielomianów wykonujemy jak działania na wyrażeniach algebraicznych)
Przykład
Niech dane będą wielomiany:
W( x) = x 2 + 2 i
Q( x) = 2 x − 1. Obliczyć: a)
( W( x) − 3 Q( x)) · Q( x) b)
( W( x) + 3 Q( x)) · W( x) 5
• Dzielenie wielomianów
Niech
W( x)
i
Q( x)
będą wielomianami, przy czym
st.W( x) > st.Q( x) i Q( x) nie jest wielomianem zerowym.
Jeżeli istnieje dokładnie jeden wielomian
P( x)
taki, że dla
każdego x ∈ R spełniona jest równość W( x) = Q( x) · P( x) , to wielomian
P( x) nazywamy ilorazem wielomianu W( x) przez Q( x) , tj.
W( x) = P( x) .
Q( x)
O wielomianie W ( x) mówimy wówczas, że jest podzielny przez Q( x).
6
Przykład
Wykonać dzielenie wielomianów:
!
!
a)
3 x 5 − x 4 + x 3 + 7 x 2 − 6 x + 8 : x 3 − x + 2
!
!
b)
x 4 + 3 x 3 − 12 x 2 − 13 x − 15 : x 2 + x + 1
Twierdzenie
(O rozkładzie wielomianu)
Jeżeli
W( x)
i
Q( x)
są
wielomianami
takimi,
że
st.W( x) > st.Q( x) i Q( x) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie dwa wielomiany P ( x) i R( x), że W( x) = Q( x) · P( x) + R( x) , gdzie st.R( x) < st.Q( x).
Wielomian R( x) nazywamy resztą z dzielenia W ( x) przez Q( x) .
7
Piszemy również:
W( x)
R( x)
= P( x) +
.
Q( x)
Q( x)
Przykład
Wykonać dzielenie wielomianów:
!
a)
x 3 − 5 x 2 + 8 x − 2 : ( x − 5)
!
b)
3 x 3 − 2 x 2 − 3 x + 2 : (3 x − 1) Uwaga
Reszta z dzielenia wieloianu W ( x) , st.W ( x) > 1 przez dwumian x − x 0 jest równa W( x 0) .
Przykład
Nie wykonując dzielenia obliczyć resztę z dzielenia:
!2007
!
a)
x 2 − x − 1
: x 2 − 1
!2007
!
b)
x 2 − x − 1
: x 2 − x
8
Twierdzenie
(B´
ezouta)
Liczba
x 0 jest pierwiastkiem wielomianu W( x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W ( x) jest podzielny przez dwumian x − x 0.
Istnieje wówczas wielomian P ( x) taki, że st.P ( x) = st.W ( x) − 1
oraz
W( x) = ( x − x 0) · P( x) .
Przykład
Wiedząc, że liczba
1 jest perwiastkiem wielomianu
W( x) , rozłożyć ten wielomian na czynniki.
a)
W( x) = 9 x 3 − 3 x 2 − 14 x + 8
b)
W( x) = 4 x 3 − 7 x + 3
9
Definicja
Liczbę x 0 nazywamy pierwiastkiem k-krotnym wielo-
mianu
W( x)
wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian
W( x)
jest
podzielny przez ( x − x 0) k, ale nie jest podzielny przez ( x − x 0) k+1.
Fakt
Liczba x 0 jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu W( x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P ( x) taki, że W( x) = ( x − x 0) k · P( x) i
P( x 0) 6= 0 .
Wnioski z twierdzenia B´
ezouta:
• Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków.
• Wielomian stopnia n, gdzie n jest liczbą nieparzystą, ma co najmniej 1 pierwiastek.
10
• Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników stopnia co najwyżej drugiego.
• Jeżeli wielomian
W( x)
stopnia n ma n pierwiastków: x 1 , x 2 , . . . , xn , to W( x) = an ( x − x 1) ( x − x 2) · . . . · ( x − xn) .
Twierdzenie
Jeżeli a 0 , a 1 , . . . , an, an 6= 0 są liczbami całkowitymi, to pierwiastki całkowite wielomianu
W( x) = an xn + an− 1 xn− 1 + . . . + a 1 x + a 0
są dzielnikami wyrazu wolnego a 0.
11
p
Twierdzenie
Jeżeli ułamek nieskracalny
, p, q ∈ Z r { 0 }, jest
q
pierwiastkiem wielomianu
W( x) = an xn + an− 1 xn− 1 + . . . + a 1 x + a 0
o współczynnikach całkowitych, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a 0 a q jest dzielnikiem współczynnika an.
Przykład
Rozłożyć wielomian na czynniki:
a)
W( x) = x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 6 x 2 + 4 x b)
W( x) = x 5 + x 4 − 5 x 3 + 3 x 2
Przykład
Rozwiązać nierówności:
a)
x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 6 x 2 + 4 x < 0
b)
x 5 + x 4 − 5 x 3 + 3 x 2 > 0