1. Podać wyraz dziesiąty, setny i n 1 ciągu an gdy: a) a
;
b)
;
c)
n
n1
a
a
n.
n2
n
sin n
2 n
n 1 2
n
2. Zbadać monotoniczność ciągu an gdy: a) a
;
b)
;
c)
.
n
n1
a
a
n;
d) a
n2
n
sin n
2 n
n 1 2
n
n
2 n
n!
3. Wykazać, że:
a) lim 2 n1 2 ;
b) a
2 .
3 n−1
3
n
2 n 21
5
n→
5 n 2 n
4. Wykazać, że lim | an| 0 lim an 0.
n→
n→
5. Obliczyć granicę ciągu an gdy: a) a
;
b)
;
c)
;
d)
;
n
n2
a
a
a
3 n7
n
3 n 26 n−1
n
123... n
n
124...2 n
4 n 23 n6
2 n−1 n3
n 27 n−1
e) a
;
f)
;
g)
;
h)
;
n
1−23−4...−2 n
an 123... n − n1
an 3 n14 n2
an 45 n256 n2
n 2 n2
n2
2
5 n−14 n−2
23 n246 n−1
i) an n 2 1 − n; j) an 2 n 2 1 − 2 n 2 2 ; k) an 3 n 1 − 9 n 2 2 ; l) a
;
m)
n
n 4 n 2 − n 4 − n 2 ; ł) an n 27 − n an n 2 n 3 n 7 n ; n− n 28
n) a
;
p)
;
n n 3 4 n1 6 72 n1 ; o) an 1 1 . . . 1
a
1 . . .
1
12
23
n n1
n
1
27
712
5 n−35 n2
q)
n 2
3 n1
a
;
r)
;
t)
;
n
n 2
a
n;
s) a
a
2 n
n 1 − 1
n
n
1 1
n
3 n−1
n 2
3 n1
u)
n3
n
a
;
v)
(wskazówka:
n
3 n−1
a
n 1 n 2 3 n 1 n 3 4 n 2 4 n 1); 3 n1
n
n 34 n 24 n1
n 33 n 2 n 1
w)
n
n
n 2
n
1
a
(wskazówka:
n
1 1
1 1
1 1
e n ).
n 2
n 2
n 2
6. Wykazać, że jeżeli an 0 i lim an a, to lim an a n→
n→
(wskazówka: 0 ≤
an − a
an− a
≤ 1 | an − a|).
an a
2 a
7. Obliczyć granicę ciągu a
.
n , gdy a 1
2 , an1
an2
Rozwiązanie: a 2 a 1 2
2 2 , a 3
a 2 2
2 2 2 ,
a 4
a 3 2
2 2 2 2
1 o Ciąg a
, to
:
n jest rosnący: 1) jeśli an an−1
an1 an
an1 − an
an 2 − an
an 2 − an−1 2
an−1 2 − an−1 2 0.
2 o Ciąg an jest ograniczony: an ≤ 2, a 1 2 2.
Jeśli an ≤ 2, to an1 ≤ 2: an1 an2 ≤ 2 2 2.
Zatem a
jest zbieżny do liczby
n jest zbieżny do liczby g. Wtedy an
g .
Stąd g g 2 , czyli lim an 2
n→