Ćwiczenia 3

1. Obliczyć na podstawie def. Heinego granicę funkcji

x

→3

lim

x

2

−9

x

−3

.

2. Obliczyć na podstawie def. Cauchyego granicę funkcji

x

→1

lim

x

3

−1

x

−1

.

3. Obliczyć granicę funkcji:
a)

x

→5

lim

x

2

−25

x

−5

;

b)

x

→2

lim

x

3

−8

x

−2

;

c)

x

→−3

lim

x

2

2x−3

x

3

;

d)

x

→−1

lim

x

3

−2x−1

x

1

;

e)

x

→1

lim

x

2

1

x

2

−1

;

f)

x

→

lim

x

2

2x3

3x

2

3x−1

;

g)

x

→−

lim

x

2

− x − x

2

 x ;

h)

x

→−1

lim

1



3

x

1



5

x

;

i)

x

→0

lim

1  x

1

5x

;

j)

x

→


2

lim

cos x

2x

−


2

;

k)

x

→0

lim

sin 3x

4x

;

l)

x

→0

lim

1

−cos 2x

x sin x

.

4. Obliczyć granice jednostronne funkcji:
a)

x

→0



lim

1

x

;

b)

x

→0

−

lim

1

x

;

c)

x

→1



lim

1

x

−1

;

d)

x

→2

−

lim

2x

x

−2

;

e)

x

→0

−

lim

x

|x|

;

f)

x

→0



lim

x

|x|

;

g)

x

→1

−

lim

x

x

2

−1

;

h)

x

→0

−

lim

x

2

sin x

i)

x

→2

−

lim

cos x

x

2

−2x

;

j)

x

→

lim

1 − x

2

;

k)

x

→1



lim

x

2

x−3

x

2

−2x−1

;

l)

x

→−

lim

1 

1

x



x

;

m)

x

→

lim

5

x

2

−3

4

x

1

3

x

2

;

n)

x

→−

lim

5

x

2

−3

4

x

1

3

x

2

.

5. Zbadać ciągłość funkcji:

a) fx 

x2

−1

x

−1

dla x

≠1

3 dla x

1

;

b) fx 

x2

1

x

−1

dla x

≠1

1 dla x

1

.

6. Dla jakiej wartości parametru a funkcja f jest ciągła w x

o

:

a) fx 

sin 3x

2x

dla x

≠0

a dla x

0

, x

o

 0;

b) fx 

x2

−4

x

−3

dla x

≠3

a dla x

3

, x

o

 3.

7. Wskazać przedziały ciągłości funkcji fx 

x3

x2−2x

x

−1

dla x

≠1

2 dla x

1

.

8. Udowodnić, że wielomian fx  2x

5

− 3x

3

 x

2

 4 ma w przedziale −2, −1 co najmniej jeden

pierwiastek.

9. Wykazać, że we wskazanym przedziale równanie ma co najmniej jeden pierwiastek:
a) e

−x

 sin x, x ∈ 0, 1;

b) x

5

− 4x  1  0, x ∈ 0, 1;

c)

2



 x − sin x, x ∈ 〈



4

,

3



4

.

10. Obliczyć za pomocą metody bisekcji pierwiastek funkcji fx  x

3

− x

2

 2x − 1 w

przedziale 〈0, 1 z dokładnością do 0, 01.

Odpowiedzi do niektórych zadań:
1) 6;

2) 3;

3a) 10;

3b) 12;

3c) -4;

3d) 1;

3e)

;

3f)

1
3

;

3g) 1;

3h)

5
3

;

3i)

5

e ;

3j)

−

1
2

;

3k)

3
4

;

3l) 2;

4a)

;

4b)

−;

4c)

;

4d)

−;

4e) -1;

4f) 1;

4g)

−;

4h)

−;

4i)

;

4j)

−;

4k)

−;

4l) e;

4m)

;

4n)

−

3
2

;

5a) nieciągła w x

o

 1;

5b) ciągła w

;

6a) a



3
2

;

6b) a

 6;

7) x

∈ −, 1  1, ;

10) x

o

≈ 0, 57.