Modele liniowe: podsumowanie

Model jest liniowy względem parametrów, jeśli każda z pochodnych cząstkowych zmiennej objaśnianej względem parametrów jest

niezależna od wszystkich parametrów modelu.

Zalety modelu liniowego:

prosta interpretacja

łatwość estymacji i weryfikacji

często dobre przybliżenie nieliniowych zależności zachodzących w gospodarce

Ekonometria 110010-0609

1

Modele nieliniowe: klasyfikacja

modele nieliniowe względem

zmiennych:

przedefiniowanie zmiennych

modele nieliniowe względem

parametrów:

linearyzowane

ściśle nieliniowe (np. funkcja logistyczna, funkcje Törnquista)

Ekonometria 110010-0609

2

Modele nieliniowe względem

zmiennych

t

wykładniczy:

y = α0 ⋅α1 ⋅ ε

półlogarytmiczny:

y = α0 + α1 ⋅ln t + ε

logarytmiczny:

ln y = α0 + α1 ⋅ln t + ε

hiperboliczny:

1

y = α0 + α1 + ε

t

Modele te (w wersji ze zmienną czasową t) są szczególnie użyteczne w prognozowaniu: nie występuje problem nieznanych wartości

zmiennych objaśniających.

Ekonometria 110010-0609

3

Modele nieliniowe względem

zmiennych, c.d.

estymacja modeli nieliniowych względem zmiennych jest prosta: można stosować

MNK

uw

u ag

a a

g

a n

a

n

a int

n er

e pr

p et

e ac

a j

c e

e e

f

e e

f k

e t

k ów

krańcowych! (tabela na s. 137 podręcznika)

wyboru modelu można dokonać na

podstawie przesłanek teoretycznych lub

praktycznych (wyników wcześniejszych

prac)

Ekonometria 110010-0609

4

Funkcje ściśle nieliniowe

trend logistyczny:

α

y =

+ ε

1+ β

γ

⋅ − ⋅ t

e

funkcje Törnqvista dla

dó

d br

b i

u

s

u ł

s ug

u

g ni

n żs

ż z

s e

z g

e o

g r

zę

z d

ę u

d

dóbr podstawowych

dóbr wyższego rzędu

dóbr i usług luksusowych

i wiele innych…

Ekonometria 110010-0609

5

Estymacja: nieliniowa MNK

bardzo często stosowana w praktyce

ekonometrycznej

oszacowania minimalizują sumę kwadratów

[y – f (θ , θ , …, θ )]2

i

i

1

2

m

na

n j

a ba

b r

a dz

d i

z ej

e p

o

p pu

p l

u ar

a na

n

a w

er

e sj

s a:

a m

e

m t

e oda

d

a

Newtona–Raphsona oraz jej warianty

estymatory są zgodne i mają graniczny rozkład normalny (przy założeniu

normalności rozkładu składników losowych) Ekonometria 110010-0609

6

Estymacja: MNW

oszacowania parametrów wyznaczane są

poprzez maksymalizację funkcji

wiarygodności

jeś

e l

ś i o

bs

b e

s r

e wac

a j

c e

e d

o

d ko

k ny

n w

y an

a e

n

e s

ą

s

ą n

i

n ez

e a

z l

a eż

e n

ż i

n e

e

i spełnione są cztery założenia twierdzenia o zgodności i asymptotycznej normalności estymatorów, to estymator wektora

parametrów θ spełniający równanie

∂logL/∂θ = 0 jest zgodny i asymptotycznie efektywny

Ekonometria 110010-0609

7

Abonenci telefoniczni

Liczba abonentów telefonicznych w Polsce w latach 1980 – 2004:

14000

12

1 0

2 0

0 0

0

10000

8000

6000

4000

2000

0

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

0

2

4

8

8

8

8

8

9

9

9

9

9

0

0

0

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

Ekonometria 110010-0609

8

Trend logistyczny: własności

dla t > 0 wartość funkcji rośnie, najpierw szybko, potem wolniej i stabilizuje się przy asymptocie poziomej

pa

p r

a am

a

e

m t

e r a

> 0

i

nt

n er

e pr

p et

e owan

a y

n

y j

es

e t

s j

ak

a o

k

poziom nasycenia zmiennej y

jeśli jednostką miary jest procent poziomu nasycenia (maksymalnego poziomu)

zmiennej y, przyjmuje się a = 100; do

oszacowania pozostają parametry b i c

Ekonometria 110010-0609

9

Przykład: abonenci telefoniczni

TLG = c(1) / [1 + c(2) * EXP(c(3) * t)]

Oszacowanie

Odchylenie

Statystyka

parametru

standardowe

t-Studenta

c(

c 1)

31875,130 13083,920

2,436

c(2)

28,524

8,819

3,235

c(3)

-0,122

0,016

-7,600

R2 = 0,976

Ekonometria 110010-0609

10

Trend logistyczny: zastosowania

zjawiska demograficzne: liczba ludności, nabór na studia

sprzedaż rynkowa nowych produktów,

zwłaszcza wysokiej technologii

licz

c b

z a

b

a k

l

k ien

e t

n ów, n

p

n .

p ab

a o

b ne

n n

e t

n ów

telefonicznych

tempo rozwoju ośrodków przemysłowych

wydajność pracy w zależności od stażu pracy

medycyna, farmakologia i inne nauki

empiryczne

Ekonometria 110010-0609

11

Funkcje produkcji

funkcja produkcji wyraża zależność między nakładami czynników produkcyjnych

(najczęściej dwóch: pracy L i kapitału K) a wielkością (lub wartością) wytworzonego pro

r d

o ukt

k u Y

najczęściej opisywana jest funkcją nieliniową:

funkcja Cobba – Douglasa (linearyzowana)

funkcja CES (ang. constant elasticity of substitution; ściśle nieliniowa)

funkcja Zellnera – Revankara (ściśle nieliniowa) Ekonometria 110010-0609

12

Cechy funkcji produkcji

dodatnia produkcyjność krańcowa

czynników produkcji

malejąca względem nakładów danego

czynnika produkcyjność krańcowa

cz

c y

z n

y n

n i

n kó

k w p

r

p odu

d k

u c

k j

c i

rosnąca – w miarę zwiększania nakładów jednego z czynników – produkcyjność

krańcowa pozostałych czynników produkcji

wzajemna zastępowalność czynników

produkcji

jednorodność stopnia r

Ekonometria 110010-0609

13

Funkcja Cobba – Douglasa

Y = a ⋅

b

K ⋅ c

L ⋅ ε

gdzie a, b, c >0

wykładniki b i c są interpretowane jako elastyczności produkcji względem nakładów, od

o pow

o ied

e nio,

o ka

k p

a itał

a u

ł i pra

r c

a y

c

funkcja jest jednorodna stopnia b + c

przychody skali są stałe i równe b + c

krańcowa stopa substytucji jest funkcją technicznego uzbrojenia pracy (K/L)

elastyczność substytucji jest stała i równa 1

Ekonometria 110010-0609

14

Funkcja Cobba – Douglasa

Linearyzacja:

Y = a ⋅

b

K ⋅ c

L ⋅ ε

↓

ln

l Y

=

= l

n

l a

a +

+ b

⋅

ln

l K

+

+ c

c ⋅

ln

l L

+

+ l

n

l ε

↓

LY = g + b ⋅ LK + c ⋅ LL + ξ, gdzie LY = ln Y, LK = ln K, LL = ln L, ξ = ln ε, g = ln a Ekonometria 110010-0609

15

Funkcja Cobba – Douglasa

dynamiczna postać funkcji Cobba – Douglasa: Y = a ⋅

b

K ⋅ c

L ⋅ d⋅ t

e

⋅ε

gdzie a, b, c >0

parametr d > 0 interpretowany jest jako efekt postępu technicznego i organizacyjnego; przy niezmienionych poziomach K i L, względny przyrost poziomu produkcji Y z okresu na okres wynosi

(Y – Y

)/Y

= ed – 1

t

t-1

t-1

Ekonometria 110010-0609

16

Dygresja 1:

dodatkowe zmienne objaśniające

Na podstawie danych z lat 1971 – 1993

oszacowano następujący model:

ln(Y ) = 2,02 + 0,33 ln(L ) + 0,80 ln(K ) +

t

t

t

0,

0 22

2

2 Z

1 + 0,

0 09

0

9 Z2

t

t

Y – produkcja (tys. sztuk) zakładu w Poddębicach

L – zatrudnienie (os.)

K – majątek produkcyjny (mln zł)

Z1 – 1 dla nowej technologii (od 1996)

Z2 – 1 dla lat, w których nieczynna była fabryka w Aleksandrowie Łódzkim (1991–1993)

Źródło: Ekonometria. Zbiór zadań, red. A. Welfe Ekonometria 110010-0609

17

Dygresja 2:

test efektów skali

pytanie: czy efekty skali są stałe? (biorąc pod uwagę przybliżony charakter

oszacowań)

odp

d o

p wied

e ź

d :

ź t

es

e t

s l

ini

n owyc

y h

c

h r

es

e t

s ryk

y c

k j

c i

przykładowy wynik:

b[2]+b[3]=1

Restrykcje: b[lnK] + b[lnL] = 1

Statystyka testu: F(1, 13) = 4,64853,

z wartością p = 0,0503968

Ekonometria 110010-0609

18