7.1. Krzywa parametryczna zbudowana z segmentów Równanie parametryczne krzywej:

=

=

≤ ≤

=



≤ <





= 

− ≤

<





− ≤

≤

!"#



≤ <



≤ <

= 

=



 − ≤ ≤

− − ≤ ≤

=

funkcja =

funkcja =

=

≤ ≤

krzywa

=

$"%&'( ' )'! *#

Krzywa opisana jest równaniem

= [ ]

≤ ≤

Pochodna Q(u) jest parametrycznym wektorem stycznym krzywej

′ = [′ ′ ′ ]

≤

≤

+,-* (.!' !) !)

! *.-) ." ) ' )

..! ) .!"-.-) u = 1 ) ?

$"%& ' !)#

1. + / ' )! *"( 0

krzywa ma .

2. + / !-) ) ) ) "-%

wektorów stycznych segmentów w punkcie

." )!) 0!'

.

$"%&.!' !)#

1. + / !) , ' )

.-) ." )!) !-)"-%

!!) 0!''.-)

.

2. + / !-)"-% !

[ ]

n-tej pochodnej równe, to krzywa ma

.

7.2. Krzywe sklejane

7.2.1. Jednorodne krzywe B-sklejane ( B-spline ) Dany jest zbiór n+1 ≥ punktów kontrolnych

= ( )

=

gdzie ."!()' x, y, z punktu kontrolnego.

Krzywa B-sklejana"(n-2 segmentów wielomianowych trzeciego stopnia

.!'0/ ' ) zdefiniowany jest w

.! ' ))%.!' !- ≤ <

+ dla

≤ ≤ .

Punkty ." ) ' ) i + ,

oraz punkty i )(("'

!1 *)* * )!)* %("

* ),(.,0 =

, oraz

=

+ −

/ ' )! *! %)* .! !

punkty kontrolne .

Segment , przez punkty dla

≤ < .

Segment , przez punkty dla

≤ < .

Segment , przez punkty −− − dla

− ≤ < − .

Macierz geometrii dla i-tego segmentu krzywej 1 *) *'/).&*

=

[− − − ]

+ / 2)& !

= − − −

[ ]

to i ' )! *'/).&! '

⋅

⋅

≤ <

=

+

Pokazano ( Bartels i inni 1987 ), / !) '

./ -"-!)3* ' !

−

−





−



= 



−











4(.-* − przez u!'-* '!/

."!() .-))!), ')

bazowe

−

=

⋅

⋅

=

=

−

−

+

−

+

−

+

− + + +

−

+

dla

≤ <

oraz

i = 3,4,...,n-2

!"#

1. Cztery punkty kontrolne - jeden segment krzywej 5 (&.-))!), ' )! *

6 %&.-))!),! ' )! *

4. Punkt kontrolny podwójny

5. Punkt kontrolny potrójny

7 4')(-".-))!),

7.2.2. Niejednorodne krzywe B-sklejane ( B-spline ) Dany jest zbiór n+1 punktów kontrolnych

= ( )

=

gdzie ."!()' x, y, z punktu kontrolnego.

Niejednorodna krzywa B-spline zbudowana z wielomianów stopnia t dana jest wzorem

=

∑ ! "

=

= ∑

≤ ≤ − +

! "

"

=

= ∑ ! "

=

przy czym wielomiany bazowe ! " ! %)

rekurencyjnie



≤ <

!

=

+





# $ $%#&

!

+"

=

−

−

+

−

"

! "

!+ "−

+ − −

+ −

"

" +

!%.!' !-("! * ) !)

)' "-! -"

0

j < t



u j =  j − t + 1

t ≤ j ≤ n

n −t + 2

j > n

gdzie j = 0,1, ...,n+t.

!"#

(&.-))!),n = 4.

Wielomiany trzeciego stopnia t=3.

$.-)(", ) !)).

./ * /)%).&

'

=

) (

' (

8) ). /)%! -! )*) *

') *)(.-*

!

!

!

!

!

!"#

))))!1 !

1. Wielomiany trzeciego stopnia

n = 3, t = 3

2.

n = 3, t = 4

3.

n = 4, t = 3

4.

n = 4, t = 3

5. Jednokrotne punkty kontrolne

6. Punkt kontrolny podwójny

4')(-".-))!),

7.3. Powierzchnie parametryczne 7.3.1. Powierzchnia Beziera

Definicja:

Dana jest siatka zbiór (m+1)x(n+1) punktów kontrolnych *

=

=

=

*

(* * *)

*

&

gdzie * * * ."!()' x, y, z punktu kontrolnego.

!,)1 !.)* -" '

!)3.!' !),

&

+ = ∑ ∑ *!* !

"+

*= =

&

+ = ∑ ∑ *!* !

"+

*= =

&

+ = ∑ ∑*!*

"+

*= =

≤ ≤ & − +

≤ + ≤ − " +

!"#

Dana jest siatka 5x5 = 25 punktów kontrolnych w postaci tablicy

 

 





 

 





 

* ' )-! %."!() x i z,

)'!%& ' )-."!() y punktu

kontrolnego.

9!-)-.)! .! )*(

siatki.

Powierzchnia 1 !!.()

7.3.2. Niejednorodna powierzchnia B-spline Definicja:

Dana jest siatka zbiór (m+1)x(n+1) punktów kontrolnych *

=

=

=

*

(* * *)

*

&

gdzie * * * ."!()' x, y, z punktu kontrolnego.

Niejednorodna powierzchnia B-spline opisana

* -" '!)3.!' !),

&

+ = ∑ ∑ *!* !

"+

*= =

&

+ = ∑ ∑ *!* !

"+

*= =

&

+ = ∑ ∑*!*

"+

*= =

≤ ≤ & − +

≤ + ≤ − " +

t, s - stopnie wielomianów

:-) .-* . !,)!.( *)

..! ) .!"-