Egzamin z Podstaw Matematyki 4 lipca 2009
seria 1
................................................................................................
Imi¦
Nazwisko
Grupa
Nr. indeksu
Zad 1. (12 p.)
Napisz zaprzeczenie zdania: [(p ∨ q) ⇒ r] ∧ (r ⇒ p) w taki sposób by znak negacji nie staª przed »adnym nawiasem. Dla jakich warto±ci zda« p, q i r zaprzeczenie to jest faªszywe?
Zad 2. (18 p.)
Niech A
n b¦dzie odcinkiem 1 + 1 , 3 −
1
. Opisz zbiory:
2n
n+1
a) ∩5 A
A
n=2
n,
b) ∪7n=2 n
c) ∩∞ A
A
n=1
n,
d) ∪∞
n=4
n.
Zad 3. (18 p.)
Udowodnij lub znajd¹ kontrprzykªad na nast¦puj¡ce twierdzenia: a) ∀n∈N 5n − 6 6= n2
b) ∃t∈R t + 2 = t2 + 1
c) ∀n∈N ∃t∈R n + t = n2
d) ∃t∈R ∀n∈N t + n = n2
gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, za± R zbiór liczb rzeczywistych.
Zad 4. (18 p.)
Niech ϕ : R → R b¦dzie okre±lona wzorem:
x2 − 2x, x ≤ 0
ϕ(x) =
− 1 x,
x > 0
2
a) Napisz wzór na ϕ−1
b) Napisz wzór na ϕ ◦ ϕ.
Zad 5. (18 p.)
Na zbiorze liczb naturalnych N wprowadzamy relacj¦ τ: (a, b) ∈ τ ≡ a4 = b4.
Sprawd¹ czy τ jest relacj¡: a) antysymetryczn¡
b) relacj¡ równowa»no±ci,
c) porz¡dkiem.
Zad 6. (16 p.)
Niech
1 2 3
4
5 6 7 8 9 10
g =
6 8 2 10 5 9 1 3 7
4
1 2 3 4 5 6
7
8 9 10
h =
3 7 4 5 1 9 10 6 8
2
b¦d¡ elementami grupy S10
a) Przedstaw g i h−1 w postaci iloczynów cykli rozª¡cznych, b) Oblicz rz¦dy elementów: g, h−1 i gh, c) Które z elementów: g, h i gh s¡ permutacjami parzystymi, d) Sprawd¹ czy gh = hg.
Egzamin z Podstaw Matematyki 4 lipca 2009
seria 2
................................................................................................
Imi¦
Nazwisko
Grupa
Nr. indeksu
Zad 1. (12 p.)
Napisz zaprzeczenie zdania: [(p ∨ q) ⇒ r] ∨ (r ⇒ p) w taki sposób by znak negacji nie staª przed »adnym nawiasem. Dla jakich warto±ci zda« p, q i r zaprzeczenie to jest faªszywe?
Zad 2. (18 p.)
Niech A
n b¦dzie odcinkiem
1 + 1 , 3 − 1
. Opisz zbiory:
2n
n+1
a) ∩6 A
A
n=2
n,
b) ∪7n=1 n
c) ∩∞ A
A
n=2
n,
d) ∪∞
n=3
n.
Zad 3. (18 p.)
Udowodnij lub znajd¹ kontrprzykªad na nast¦puj¡ce twierdzenia: a) ∀n∈N 6 − 5n 6= n2
b) ∃t∈R t + 2 = t2 + 4
c) ∀t∈R ∃n∈N t + n = n2
d) ∃n∈N ∀t∈R t + n = n2
gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, za± R zbiór liczb rzeczywistych.
Zad 4. (18 p.)
Niech ϕ : R → R b¦dzie okre±lona wzorem:
1 x,
x ≤ 0
ϕ(x) =
2
x2 + 2x, x > 0
a) Napisz wzór na ϕ−1
b) Napisz wzór na ϕ ◦ ϕ.
Zad 5. (18 p.)
Niech τ ∈ R × R b¦dzie relacj¡ okre±lon¡ wzorem: τ = {(x, y) ∈ R × R | y = |x|}
a) Narysuj wykres τ.
b) Zbadaj czy τ jest: i) relacj¡ symetryczn¡, ii) porz¡dkiem, iii) funkcj¡.
c) Opisz τ−1.
Zad 6. (16 p.)
Niech
1 2 3
4
5 6 7 8 9 10
g =
6 8 5 10 2 9 7 3 1
4
1 2 3 4 5 6 7
8
9 10
h =
3 7 4 5 1 9 2 10 8
6
b¦d¡ elementami grupy S10
a) Przedstaw g i h−1 w postaci iloczynów cykli rozª¡cznych, b) Oblicz rz¦dy elementów: g, h−1 i gh, c) Które z elementów: g, h i gh s¡ permutacjami parzystymi, d) Sprawd¹ czy gh = hg.