MMF 1 – Egzamin pisemny FT – 4.02.2011

1. (5 pkt) (a) Podaj definicję iloczynu skalarnego w przestrzeni wektorowej V nad ciałem liczb zespolonych C.

(b) Podaj definicję sprzężenia hermitowskiego macierzy oraz udowodnij, że za-chodzi

(AB) † = B †A †.

(c) Podaj definicję odwzorowania liniowego przestrzeni V w W oraz jego jądra.

(d) Podaj definicję macierzy podobnych oraz pokaż, że macierze podobne mają ten sam zbiór wartości własnych.

(e) Sformułuj i udowodnij twierdzenia o wartościach własnych i wektorach własnych macierzy hermitowskich.

2. (5 pkt) Znajdź wszystkie pierwiastki równania

√

3 /4

1

2 − i

12

−

( −1 + i) z3 = 0

4

Każdy z pierwiastków przedstaw zarówno w postaci wykładniczej jak i algebraicznej. Następnie wykorzystując najdogodniejszą postać oblicz Q z

z

k

k oraz P k

k

gdzie zk to znalezione wcześniej pierwiastki. Ostatnie dwa wyniki przedstaw w postaci algebraicznej.

3. (5 pkt) Dana jest macierz



i

1 − i

−1

1



1

0

−i

i

A = 





i

1

−i

−1 





1 + i

1

0

−i

a) Oblicz wyznacznik det A,

b) Znajdź macierz odwrotn ι

a A −1 korzystaj ι

ac z metody Gaussa.

Wszystkie elementy macierzy A −1 proszę przedstawić w postaci algebraicznej.

4. (7 pkt) Podaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od wartości rzeczy-wistego parametru a. W przypadkach kiedy istnieją rozwiązania znajdź je.

(1 − a) x +

+ a2 z = −2

x + (1 + a) y − az =

a

ax +

2 y − 4 z = a2

5. (8 pkt) Prosz ιe znaleźć wartości własne i wektory własne macierzy



0

i

−i

1 

−i

0

1

i

B = 





i

1

0

−i 





1

−i

i

0

Nast ιepnie prosz ιe wybrać cztery ortonormalne wektory własne (jeśli trzeba to za-stosuj do wybranych wektorów metod ιe ortonormalizacji Grama-Schmidta) oraz zbudować z nich unitarn ι

a macierz U diagonalizuj ι

ac ι

a macierz B poprzez trans-

formacj ιe podobieństwa U †BU = Λ i podaj macierz Λ.