MMF 1 – Egzamin pisemny FT – 4.02.2011
1. (5 pkt) (a) Podaj definicję iloczynu skalarnego w przestrzeni wektorowej V nad ciałem liczb zespolonych C.
(b) Podaj definicję sprzężenia hermitowskiego macierzy oraz udowodnij, że za-chodzi
(AB) † = B †A †.
(c) Podaj definicję odwzorowania liniowego przestrzeni V w W oraz jego jądra.
(d) Podaj definicję macierzy podobnych oraz pokaż, że macierze podobne mają ten sam zbiór wartości własnych.
(e) Sformułuj i udowodnij twierdzenia o wartościach własnych i wektorach własnych macierzy hermitowskich.
2. (5 pkt) Znajdź wszystkie pierwiastki równania
√
3 /4
1
2 − i
12
−
( −1 + i) z3 = 0
4
Każdy z pierwiastków przedstaw zarówno w postaci wykładniczej jak i algebraicznej. Następnie wykorzystując najdogodniejszą postać oblicz Q z
z
k
k oraz P k
k
gdzie zk to znalezione wcześniej pierwiastki. Ostatnie dwa wyniki przedstaw w postaci algebraicznej.
3. (5 pkt) Dana jest macierz
i
1 − i
−1
1
1
0
−i
i
A =
i
1
−i
−1
1 + i
1
0
−i
a) Oblicz wyznacznik det A,
b) Znajdź macierz odwrotn ι
a A −1 korzystaj ι
ac z metody Gaussa.
Wszystkie elementy macierzy A −1 proszę przedstawić w postaci algebraicznej.
4. (7 pkt) Podaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od wartości rzeczy-wistego parametru a. W przypadkach kiedy istnieją rozwiązania znajdź je.
(1 − a) x +
+ a2 z = −2
x + (1 + a) y − az =
a
ax +
2 y − 4 z = a2
5. (8 pkt) Prosz ιe znaleźć wartości własne i wektory własne macierzy
0
i
−i
1
−i
0
1
i
B =
i
1
0
−i
1
−i
i
0
Nast ιepnie prosz ιe wybrać cztery ortonormalne wektory własne (jeśli trzeba to za-stosuj do wybranych wektorów metod ιe ortonormalizacji Grama-Schmidta) oraz zbudować z nich unitarn ι
a macierz U diagonalizuj ι
ac ι
a macierz B poprzez trans-
formacj ιe podobieństwa U †BU = Λ i podaj macierz Λ.