Metoda podziału i ogranicze ń Literatura

[1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985.

[2] R.S. Garfinkel, G.L. Nemhauser Programowanie całkowitoliczbowe PWN, 1978.

[3] M.M. Sysło, M. Deo, J.S. Kowalik Algorytmy optymalizacji dyskretnej z programami w j ęzyku PASCAL PWN, 1993.

Metoda oszacowa ń i podziału dla zagadnienia plecakowego – p. 1/7

Metoda podziału i ogranicze ń Zagadnienie plecakowe ZP

Sformułomanie zagadnienie w postaci PLC

c1x1 + · · · + cnxn → max

przy ograniczeniach:

a1x1 + · · · + anxn ≤ b,

xi ∈ {0, 1} dla i = 1, . . . , n.

Rozwiązanie nast ępującego problemu LP dostarcza nam górnego ograniczenia wartości funkcji celu w ZP.

c1x1 + · · · + cnxn → max

przy ograniczeniach:

a1x1 + · · · + anxn ≤ b,

0 ≤ xi ≤ 1 dla i = 1, . . . , n.

Metoda oszacowa ń i podziału dla zagadnienia plecakowego – p. 2/7

Metoda podziału i ogranicze ń

Jak efektywnie rozwi ˛

aza ´

n problem LP?

Uporządkuj przedmioty w nierosnącym porządku wzgl ędem stosunków ci , c1 ≥ · · · ≥ cn .

a

a

a

i

1

n

Włóż do plecaka przedmiot o najwi ększym stosunku.

(najbardziej atrakcyjny).

Powtarzaj proces dopóki plecak nie jest pełny.

Otrzymujemy rozwiązanie

x1 = · · · = xr = 1, xr+1 = · · · = xn = 0, dla którego

a1x1 + · · · + arxr ≤ b i a1x1 + · · · + ar+1xr+1 > b.

Metoda oszacowa ń i podziału dla zagadnienia plecakowego – p. 3/7

Metoda podziału i ogranicze ń 1

x∗1 = · · · = x∗r = 1, x∗r+1 =

(b−a1−· · ·−ar), x∗r

a

+2 = · · · = x∗

n = 0,

r+1

jest rozwiązanie optymalnym problem LP

c1x1 + · · · + cnxn → max

a1x1 + · · · + anxn ≤ b,

0 ≤ xi ≤ 1 dla i = 1, . . . , n.

Jest oczywiste, że x∗ jest rozwiązaniem dopuszczalnym.

Aby pokazać x∗ jest rozwiązaniem optymalnym, wystarczy wyznaczyć rozwiązanie dualne y∗, dla którego c1x∗1 + · · · + cnx∗n = b1y∗1 + y∗2 + · · · + y∗n+1.

Metoda oszacowa ń i podziału dla zagadnienia plecakowego – p. 4/7

Metoda podziału i ogranicze ń Model dualny jest postaci

b1y1 + y2 + · · · + yn+1 → min

a1y1 + y2 ≥ c1

...

any1 + yn+1 ≥ cn

y1, . . . , yn+1 ≥ 0.

Rozwiązanie

c

y∗ = cr+1 , y∗ = c

r+1

k = 2, . . . , r + 1,

1

a

k

k

a

r+1

−1 − ak−1 r+1

y∗ = 0 k = r + 2, . . . , n + 1

k

jest dopuszczalne przy założeniu c1 ≥ · · · ≥ cn i spełnia a

a

1

n

c1x∗1 + · · · + cnx∗n = b1y∗1 + y∗2 + · · · + y∗n+1.

Metoda oszacowa ń i podziału dla zagadnienia plecakowego – p. 5/7

Metoda podziału i ogranicze ń Przykład 2

5x1 + 3x2 + 6x3 + 6x4 + 2x5 → max

przy ograniczeniach:

5x1 + 2x2 + 7x3 + 6x4 + 2x5 ≤ 15,

xi ∈ {0, 1} dla i = 1, . . . , 5.

ranking

przedmiot

ci/ai

(1=najlepszy, 5=najgorszy)

1

1

1

2

0.75

5

3

0.86

4

4

1

1

5

1

1

Wkładamy do plecaka przedmioty 1, 4, 5. Jeżeli dołożymy 3, to nastąpi przepełnienie. Zatem

2

5

x1 = 1, x2 = 0, x3 =

, x4 = 1, x5 = 1, z = 14 .

7

7

Metoda oszacowa ń i podziału dla zagadnienia plecakowego – p. 6/7

/77.p–

o

1

gewok

4

4

=

ac

1

1

4

lep

=

=

x

ian

´

ie

n

n

z

z

sprzeczne

da

1

g

2

5

1

2

az

=

la

=

=

d

1

łu

1

4

ia

x

zd

x

x

o

icze

1

pi

3

4

ń

1

1

=

3

a

n

5

7

w

1

o

4

c

=

=

3

a

x

1

z

=

s

3

4

oa

x

=

d

ra

x

z

=

toe

z

=

1

1

4

M

g

x

0

3

0

2

7

=

=

o

x

=

2

=

4

1

4

x

i

4

x

3

x

1

2

1

1

1

x

41

=

=

=

1

m

z

z

5

=

łu

=

1

u

x

z

1

5

0

m

1

1

2

u

=

=

tim

x

=

=

p

5

3

=

=

=

2

o

tim

x

x

zia

3

x

2

p

4

x

2

o

x

=

=

x

x

=

d

4

1

=

4

x

x

o

1

x

1

=

x

=

=

p

3

5

1

x

x

x

a

=

3

4

d

1

x

=

=

z

1

0

x

1

eto

=

=

2

x

5

M

x

=

4

x

=

1

x