Dane s¡ dwa zbiory, A i B. Ka»demu elementowi ze zbioru
A przypisujemy jednoznacznie pewien element ze zbioru B.
Kolekcj¦ takich przypisa« nazywamy funkcj¡ ze zbioru A do
zbioru B. Zbiór A nazywamy dziedzin¡ funkcji, natomiast
zbiór B nazywamy przeciwdziedzin¡ funkcji.
Funkcje zwykle oznaczamy symbolami. Np.: funkcj¦ f ze
zbioru A do zbioru B oznaczamy jako:
f : A → B
Dla a ∈ A, f(a) jest elementem zbioru B, który
jednoznacznie przypisali±my elementowi a za pomoc¡
funkcji f. Element f(a) nazywamy warto±ci¡ (obrazem)
funkcji f dla elementu a.
Zbiór warto±ci f(a) dla
wszystkich elementów a ∈ A nazywamy obrazem funkcji f
i oznaczamy jako Im(f).
Matematyka Dyskretna, Mariusz Dom»alski, Katedra Systemów Decyzyjnych 1
Ka»da funkcja f : A → B wyznacza relacj¦ nazywan¡
wykresem funkcji, któr¡ deniujemy jako:
wykres funkcji f = {(a, b)|a ∈ A, b = f(a)}
Ka»da relacja R ze zbioru A do zbioru B, która ma
wªasno±¢, »e ka»dy element a ∈ A nale»y dokªadnie
do jednej pary uporz¡dkowanej (a, b), wyznacza funkcj¦:
f (a) = b wtedy i tylko wtedy, gdy aRb.
Z dwóch powy»szych faktów wynika nast¦puj¡ca denicja:
Def.: Funkcja f : A → B jest relacj¡ ze zbioru A do zbioru
B (czyli jest podzbiorem A × B), tak¡ »e ka»dy element
a ∈ A nale»y do dokªadnie jednej pary uporz¡dkowanej
(a, b) w f .
Matematyka Dyskretna, Mariusz Dom»alski, Katedra Systemów Decyzyjnych 2
Funkcja f : A → B jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡
(iniekcj¡) je»eli ró»ne elementy dziedziny maj¡ ró»ne obrazy.
Czyli funkcja jest ró»nowarto±ciowa je»eli f(a) = f(a0)
implikuje a = a0.
Funkcja f : A → B jest funkcj¡ na (surjekcj¡) je»eli
ka»dy element b ∈ B jest obrazem pewnego elementu
a ∈ A. Czyli funkcja jest na je»eli obraz f jest równy
przeciwdziedzinie f, czyli f(A) = B.
Funkcja f : A → B jest funkcj¡ wzajemnie jednoznaczn¡
(bijekcj¡, funkcj¡ odwracaln¡) je»eli relacja odwrotna f−1
jest funkcj¡ z B do A.
Oczywi±cie w ogólno±ci, dla dowolnej funkcji f, relacja
odwrotna f−1 nie musi by¢ funkcj¡. Poni»sze twierdzenie
podaje proste kryterium, kiedy funkcja jest funkcj¡
wzajemnie jednoznaczn¡.
Tw.: Funkcja f jest wzajemnie jednoznaczna wtedy i tylko
wtedy, gdy f jest jednocze±nie ró»nowarto±ciowa i na.
Matematyka Dyskretna, Mariusz Dom»alski, Katedra Systemów Decyzyjnych 3
Dla poni»szych funkcji z R do R poda¢ obraz oraz
odpowiedzie¢ czy funkcja jest iniekcj¡, surjekcja, bijekcj¡.
2
x
f (x) = x
f (x) = e
1
2
3
3
f (x) = x − x
f (x) = x
3
4
Odp.: Im(f1) = R+ ∪ {0}, Im(f2) = R+\ {0},
Im(f3) = Im(f4) = R
f2 jest iniekcj¡, f3 jest surjekcj¡, f4 jest bijekcj¡
Matematyka Dyskretna, Mariusz Dom»alski, Katedra Systemów Decyzyjnych 4
Która z poni»szych funkcji jest iniekcj¡, surjekcja, bijekcj¡.
(R+ = {x ∈ R|x ≥ 0})
f : R
R
:
f
R
R
1
2
+
2
2
f (x) = x
f (x) = x
1
2
f : R
f : R+ R
+
R
3
4
+
2
2
f (x) = x
f (x) = x
3
4
Odp.: f2 jest surjekcj¡, f3 jest iniekcj¡, f4 jest bijekcj¡
Matematyka Dyskretna, Mariusz Dom»alski, Katedra Systemów Decyzyjnych 5