Przeksztaªcenia elementarne wierszy macierzy
Niech A b¦dzie dowoln¡ macierz¡ o wymiarze m × n o wspóªczynnikach z pewnego ciaªa K i niech A = [aij]m×n. Przeksztaªceniem elementarnym wierszy macierzy A nazywamy jedno z poni»szych przeksztaªce«: (1) zamiana dwóch wybranych wierszy macierzy,
(2) dodanie do wiersza Ai wiersza kAj (dla i 6= j).
Mo»na równie» mówi¢ o przeksztaªceniach elementarnych kolumn macierzy.
Wniosek 1 Je±li macierz A jest kwadratowa to pierwsze z przeksztaªce« elementarnych zmienia tylko znak wyznacznika, a drugie nie zmienia wyznacznika macierzy A.
Macierz A = [aij]m×n nazywamy macierz¡ trapezow¡ je±li:
a
11
a12 a13 . . . . . . a1n
0
a22 a23 . . . . . . a2n
0
0
a33 . . . . . . a3n
A = 0
. . .
0
akk . . . akn
0
. . .
. . .
0
. . .
0
.
.
.
.
..
..
..
.. ... ...
0
. . .
. . .
0
. . .
0
przy czym wiersze od pierwszego do k-tego s¡ niezerowe
Twierdzenie 1 Niech A b¦dzie macierz¡ wymiaru m × n, wtedy przy po-mocy przeksztaªce« elementarnych mo»na macierz A sprowadzi¢ do pewnej macierzy trapezowej.
Dowód W dowodzie wykorzystujemy tzw Algorytm Gaussa
Niech A = [aij]m×n b¦dzie dowoln¡ macierz¡. Je±li a11 6= 0 to mo»na przy po-mocy tego elementu wyzerowa¢ wszystkie elementy le»¡ce pod nim w pierwszej kolumnie w nast¦puj¡cy sposób:
od wiersza i-tego [ai1, ai2, . . . , ain] odejmujemy wiersz pierwszy pomno»ony przez wspóªczynnik (jest to przeksztaªcenie (2)) ai1 czyli ai1 [a a
11, a12, . . . , a1n]
11
a11
otrzymuj¡c: [0, ai2 − ai1 a
a
a
12, . . . , ain − ai1
1n]. W ten sposób pod elementem
11
a11
pierwszym w pierwszej kolumnie pojawi¡ si¦ zera. Je±li element a11 = 0
to mo»emy zastosowa¢ przeksztaªcenie (1), sprawdzamy który z elementów 1
ai1 jest niezerowy i przestawiamy wiersze. Po dokonaniu tych przeksztaªce«
otrzymujemy macierz:
a0
a0
a0
. . . . . .
a0
11
12
13
1n
0
a0
a0
. . . . . .
a0
22
23
2n
0
a0
a0
. . . . . .
a0
23
33
3n
. . .
. . .
. . .
. . . . . .
. . .
0
a0
a0
. . . . . . a0
m2
m3
mn
Dalej post¦pujemy tak samo dla macierzy (m − 1) × (n − 1):
a0
a0
. . . . . .
a0
22
23
2n
a0
a0
. . . . . .
a0
23
33
3n
. . .
. . .
. . . . . .
. . .
a0
a0
. . . . . . a0
m2
m3
mn
Zadanie Sprowadzi¢ do postaci trapezowej macierz:
1 2 3
4
5
3
2 1 −2
3
2 1 2
1
−1
1 1 1
1
1
oraz macierz:
1 2 3
4
3
2 1 −2
2
1 2
1
1 1 1
1
2 3 4
5
Rz¦dem macierzy A wymiaru m×n nazywamy ilo±¢ niezerowych wierszy postaci trapezowej macierzy A i oznaczamy go przez r(A).
Uwaga 1 Je±li macierz A ma wymiar m × n to r(A) ≤ min(m, n).
Uwaga 2 r(A) = r(AT ).
Uwaga 3 Rz¡d macierzy kwadratowej A stopnia n wynosi dokªadnie n wtedy i tylko wtedy gdy det A 6= 0.
Zadanie Wyznaczy¢ rz¡d macierzy w zale»no±ci od parametru a:
a 1 1 1
1 a 1 1
1 1 a 1
1 1 1 a
2
Niech A b¦dzie macierz¡ m × n wtedy minorem stopnia k ≤ min(m, n) tej macierzy nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej powstaªej z A przez skre±lenie m − k wierszy i n − k kolumn.
Przykªad Minorami stopnia 2 macierzy:
1 3 1 2
3 4 5 1
−1 4 2 1
s¡ na przykªad
1 3
det
(wykre±lono ostatni wiersz oraz trzeci¡ i czwart¡
3 4
kolumn¦), lub
1 1
det
(wykre±lono drugi wiersz oraz drug¡ i czwart¡
−1 2
kolumn¦).
Twierdzenie 2 Rz¡d macierzy A jest równy stopniowi maksymalnego nie-zerowego minora zawartego w macierzy A.
3