2. Równania

Maxwella

Począwszy od czasów Michaela Faradaya1, prawa elektryczności i magnetyzmu wyrażano za pomocą pól elektrycznych i magnetycznych, E i B. James Clark Maxwell2 sprowadził całą teorię do czterech równań określających odpowiednio dywergencję i rotację pól wektorowych E i B.

2.1. Równania Maxwella w postaci różniczkowej Makroskopowe pole elektromagnetyczne w ciągłych, nieruchomych ośrodkach można opisać za pomocą równań Maxwella w postaci różniczkowej (w układzie SI).

Tabela 2.1.

Postać makroskopowa

Postać mikroskopowa

(materia)

(próżnia)

∇ × H = j 0 + ∂D

∇ × B =

prawo Ampére’a z poprawką 0 j +

∂E

µ

µ0ε

∂ t

0 ∂ t

Maxwella

∇ × E = − ∂B

∇ × E = − ∂B

prawo Faradaya

∂t

∂t

∇ ⋅ D = ρ0

∇ ⋅ E = 1 ρ

prawo Gaussa

ε 0

∇ ⋅B = 0

∇ ⋅B = 0

bez nazwy

Równania Maxwella mówią nam jak ładunki wyznaczają pola. Wraz z wyrażeniem na siłę Lorentza które określa jak pola wpływają na ruch ładunków F = q(E + v × B) (2.1)

zawierają one całą klasyczną elektrodynamikę. Nawet równanie ciągłości,

∇ ⋅ j = − ∂ ρ , (2.2)

∂ t

które wyraża zasadę zachowania ładunku, można wyprowadzić z równań Maxwella działając na pierwsze z nich operacją dywergencji.

Podobnie jak każde równanie różniczkowe równania Maxwella muszą być uzupełnione odpowied-nimi warunkami brzegowymi.

1 Michael Faraday [majkel faradaj] (1791–1867), fizyk i chemik brytyjski, samouk. Najważniejsze jego odkrycia doty-czyły elektryczności. Odkrył prawa elektrolizy, zjawisko indukcji elektromagnetycznej, zasadę zachowania ładunku.

2 James Clark Maxwell [dżems klerk maksuel] (1831–79), brytyjski fizyk. Stworzył podstawy nowoczesnej elektrody-namiki i kinetycznej teorii gazów. W 1861 r. wprowadził pojęcie prądu przesunięcia i sformułował równania nazwane od jego nazwiska równaniami Maxwella podające zależności między polami elektrycznymi i magnetycznymi. W 1865

roku przewidział teoretycznie istnienie fal elektromagnetycznych (odkrytych w 1887 roku przez fizyka niemieckiego Heinricha Rudolfa Hertza).

2-1

2.2. Równania Maxwella w postaci całkowej W odniesieniu do skończonych obszarów wygodniej jest niekiedy korzystać z całkowej postaci równań Maxwella. Wypiszemy je w kolejności odpowiadającej równaniom różniczkowym: d

F

H ⋅ l =

j 0

D

+ ∂

s

HG

I

(2.3a)

∂ t KJ ⋅

z z

d

C

S

E⋅ l

B

d = − ∂ ⋅ s

z z

(2.3b)

∂ d

t

C

S

D⋅ s =

z d Q

(2.3c)

S

B ⋅ s =

z d 0

(2.3d)

S

Równania (2.3) wynikają z odpowiednich równań Maxwella stosując dla dwóch pierwszych twier-dzenia Stokesa (tw. dla rotacji), a dla pozostałych twierdzenie Gaussa (tw. dla dywergencji).

2-2