Materiały do zajęć: Więzy, współrzędne uogólnione, d'Alambert mgr inż. Sebastian Pakuła

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Mechaniki i Wibroakustyki

mail: [e-mail]

mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH

Strona 1

Ogólne równanie więzów:

f ( r ,..., r , r& ,..., r& , t) = 0

dla k = 1,..., w

k

1

n

1

n

gdzie: r = r i + r j + r k i

x

y

z

Podział więzów:

• geometryczne (holonomiczne) i kinematyczne (nieholonomiczne)

• skleronomiczne i reonomiczne

W więzach geometrycznych przemieszczenia wirtualne (przygotowane) są takie same jak przemieszczenia rzeczywiste. W przypadku więzów reonomicznych tak już nie jest.

Przemieszczenia wirtualne są to przemieszczenia związane z więzami zamrożonymi (dla konkretnej chwili czasowej).

k

f

∂ n

∑ δ x = 0

i

=

x

∂

i 1

i

Przemieszczenia:

RZECZYWISTE

WIRTUALNE

x2+y2-r(t)2=0

x2+y2-r(t)2=0

2 xx& + 2 yy& = 2 rr& 2 x x

∂ + 2 y∂ y = 0

xdx + ydy = rdr

x∂ x + y∂ y = 0

( x , y , z ) Równania więzów:

2

2

2

 f = x − x + y − y + z − z − l = 0

1

( 2

1 )2

( 2

1 )2

( 2

1 )2

2

( x , y , z ) 1



1

1

1

 f = ( x − x )2 +( y − y )2 +( z − z )2 2

− l = 0

2

2

3

2

3

2

3

2

 f = ( x − x )2 +( y − y )2 +( z − z )2 2

− l = 0

3

1

3

1

3

1

3

3



Liczba stopni swobody:

( x , y , z ) 3

3

3

s =3 n - w s=9-3=6

Zasada prac wirtualnych (przygotowanych) stosuje się w statyce czyli układach w położeniu równowagi.

Zasada d'Alemberta stosowana jest do układów holonomiczno-skleronomicznych w przypadku więzów idealnych dwustronnych. Mówi ona:

Zasada d'Alemberta

n

δ L = ∑( P − m r&&)δ r = 0

i

i i

i

i 1

=

n

δ L =



∑ ( P − m x&& )δ x + ( P − m y&& )δ y + ( P − m z&& )δ z  = 0

 ix

i

i

i

iy

i

i

i

iz

i i

i 

i 1

=

mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH

Strona 2

Przykład 1. Znaleźć przyśpiesznie każdej z brył.

I ϕ&&

2

Qr

0

I =

0

2 g

Q x&&

δ x 2

2

g

P x&&1

δϕ

Q

g

δ x 1

P

x = x +ϕ r

1

2

x − x −ϕ r = 0

δ x −δ x − δϕ r = 0

1

2

1

2

x

&& = x&& −ϕ& r

&

δ x = δ x −δϕ r

2

1

2

1



P



 Q



 F −

x

&& δ x − 

x

&& δ x − I ϕ&& δϕ = 0

1

1

2

2

( 0 )



g



 g





P



Q

Q

 F −

x

&& δ x −

x

&& −ϕ& r

& δ x −

x

&& − ϕ& r

& Rδϕ − I ϕ&& δϕ = 0

1

1

( 1

) 1

( 1

)

( 0 )



g



g

g



P

Q

Q



 Q

Q



 F −

x

&& −

x

&& +

ϕ& r

& δ x −  x&& − ϕ& r

& + I ϕ& 

& δϕ = 0

1

1

1

1

0



g

g

g



 g

g





P

Q

Q

F −

x

&& −

x

&& +

ϕ& r

& = 0



1

1



g

g

g



Q

Q



x

&& −

ϕ& r

& + I ϕ&& = 0

1

0

 g

g

Ostatecznie rozwiązując układ równań i uwzględniając równania więzów:



2 Fg

ϕ&& =



(3 P + Q) R



3 Fg

 x&& =

1

3 P + Q



Fg

 x&& =

2



3 P + Q

mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH

Strona 3

Przykład 2. Znaleźć przyśpiesznie każdej z brył.

2

I ϕ&&

T = µ Q cos (α )

0

Pr

I =

0

2 g

 x = x

 x&& = x&& 1

2

1

2





P

 x = ϕ r ,  x&& = ϕ& r

&

2

2

x

&&2





g

x ,δ x  x = ϕ r

 x&& = ϕ& r

&

r

2

2

3

3

δϕ

δ x = δ x = δ x = δ x 1

2

3

δ x = δϕ r

P

x 1

Q

G

x

&&

x

&&3

1

g

g

G

µ

x

&&2

g

T

δ x

Q

2

G

x ,δ x

3

3

 Q



P

P

x

&& δ x  G

G 

− 

x

&&+ µ Q cos (α ) + Q sin (α ) 1

2

δ x −

δ x −

r

− 

x

&&− G +

x

&&δ x = 0

 g



g

2 g

r r

 g

g



 G 2 P 2 G 

x

&&

+

+

 = G − Q (µ cosα + sinα )

 g

3 g

P 

G − Q (µ cosα + sinα ) x

&& =

G

2 P

2 G

+

+

g

3 g

P

Przykład 3. Znaleźć przyśpiesznie każdej z brył.

M

Mx

&&

Mϕ& R

&

δϕ

ϕ

Q x&&

g

Q

I ϕ&&

0

P

δ x

F

x

&&

g

P

mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH

Strona 4

 P

Q



− 

x

&&+

x

&&+ Mx&&− Mϕ& R

& − F δ x − (

2

I ϕ&& + Mϕ& R

&

− Mx& R

& δϕ = 0

0

)

 g

g



  P Q



 x&&

+

+ M  = Mϕ&& + F

  g

g



 Q 2

2

R ϕ&& + Mϕ& R

&

= Mx& R



&

 2 g

2

2 M gx

&&

ϕ& R

& =

Q + 2 Mg

Fg

x

&& =

2

2

2 M g

P + Q + Mg − Q + 2 Mg mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH

Strona 5

mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH

Strona 6