Kolokwium nr 1 z matematyki Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2009/2010
Zad.1. [6p+3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
a) Zbadać, czy pole wektorowe ~
F = [−2z2e 2x
2x
−
+ 2 cos y, −2x sin y − 3z2, 2ze−
− 6yz] spe lnia warunek wystar-
czaj¸acy istnienia potencja lu i wyznaczyć ten potencja l.
b) Sformu lować twierdzenie o niezależności ca lki krzywoliniowej od drogi oraz obliczyć R (−2z2e 2x
2x
−
+ 2 cos y)dx + (−2x sin y − 3z2)dy + (2ze−
− 6yz)dz.
⌢
AB
jeżeli A(0, 4, 0) i B(0, 0, 2).
Zad.2. [5p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Obliczyć mas¸e luku, b¸ed¸acego cz¸eści¸a okr¸egu x2 + y2 = 4 leż¸acego w pierwszej ćwiartce uk ladu wsó lrz¸ednych, jeżeli g¸estość masy ρ(x, y, z) = x2y2.
Zad.3. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
R
Obliczyć (x3−y)dx+xydy, jeżeli L jest lukiem L : {y2 = 4x} skierowanym od punktu A(1, 2) do punktu B(0, 0).
L
Zad.4. [5p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 4 ]
Dla krzywej o równaniu:
L : ~r(t) = [t + 3 sin t, 2 cos t, 3t − sin t]
wyznaczyć równanie prostej binormalnej i p laszczyzny normalnej w punkcie P (0, 2, 0).
Zad.5. [4p+3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 5 ]
a) Obliczyć krzywizn¸e i skr¸ecenie krzywej L : {2y = x2, 3z = x3} w punkcie P (0, 0, 0).
b) Co znaczy, że punkt M0( ~
OM = ~r(t0)) jest punktem sp laszczenia krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma punkty sp laszczenia?