cw8 grzalka

Mateusz Macięga

Informatyka

Grupa 11

Laboratorium Technik Cyfrowych

nr 3

Funkcja logiczna może być w ogólnym przypadku przedstawiona za pomocą wielu

różnych mniej lub bardziej skomplikowanych funkcji logicznych. Zagadnienie

minimalizacji polega na wyznaczeniu dla danej funkcji tej formuły, która jest

najprostsza. Zagadnienie to formułuje się też inaczej – dla danej funkcji logicznej

należy wyznaczyć możliwą najprostszą funkcję równoważną.

Minimalizacja funkcji logicznej wiąże się z porównaniem stopnia skomplikowania

funkcji.

Metody minimalizacji funkcji logicznych można podzielić na dwie grupy. Do pierwszej

grupy należą metody przekształceń algebraicznych. Metody te nie są zbyt przydatne w

praktyce. Do drugiej grupy należą metody algorytmiczne.

Podstawową rzeczą jest stworzenie tabeli prawdy, z której korzystamy niezależnie od

wybranego przez nas sposobu.

Układy cyfrowe to rodzaj układów elektronicznych, w których sygnały napięciowe

przyjmują tylko określoną liczbę poziomów, którym przypisywane są wartości

liczbowe. Najczęściej (choć nie zawsze) liczba poziomów napięć jest równa dwa, a

poziomom przypisywane są cyfry 0 i 1, wówczas układy cyfrowe realizują operacje

zgodnie z algebrą Boole’a i z tego powodu nazywane są też układami logicznymi.

Obecnie układy cyfrowe budowane są w oparciu o bramki logiczne realizujące

elementarne operacje znane z algebry Boola: iloczyn logiczny (AND, NAND), sumę

logiczną (OR, NOR), negację NOT, różnicę symetryczną (XOR) itp. Ze względu na

stopień skomplikowania współczesnych układów wykonuje się je w postaci układów

scalonych.

Bramka logiczna 9 element konstrukcyjny maszyn i mechanizmów (dziś zazwyczaj:

układ scalony, choć podobne funkcje można zrealizować również za pomocą innych

rozwiązań technicznych, np. hydrauliki czy pneumatyki), realizujący fizycznie pewną

prostą funkcję logiczną, której argumenty (zmienne logiczne) oraz sama funkcja mogą

przybierać jedną z dwóch wartości, np. 0 lub 1 (zob. algebra Boole’a).

Podstawowymi elementami logicznymi, stosowanymi powszechnie w budowie układów

logicznych, są elementy realizujące funkcje logiczne: sumy (alternatywy), iloczynu

(koniunkcji) i negacji. Są to odpowiednio bramki OR, AND i NOT. Za pomocą dwóch

takich bramek (np. OR i NOT lub AND i NOT) można zbudować układ, realizujący

dowolną funkcję logiczną.

Bramki NAND (negacja koniunkcji), oraz NOR (negacja sumy logicznej) nazywa się

funkcjonalnie pełnymi ponieważ przy ich użyciu (tzn. samych NAND lub samych NOR)

można zbudować układ realizujący dowolną funkcję logiczną.

Dowolną bramkę logiczną można też skonstruować za pomocą pary bramek, np. za

pomocą OR i NOT lub AND i NOT. Układy takie nazywamy układami zupełnymi.

Bramkę logiczną XOR często wykorzystujemy w układach arytmetyki takich jak

sumatory czy subtraktory.

1. Zagadnienie

Zadaniem w tym ćwiczeniu jest sporządzenie układu logicznego obsługującego

poniższy schemat:

Założenia:

9 X1, X2, X3 oznaczają czujniki, które informują układ czy dana temperatura została

osiągnięta

9 G1, G2 to są grzałki, które uruchamiają się jeśli zostanie osiągnięta odpowiednia dla

nich temperatura,

9 przyjąłem, że czujnik X1 (dla pozostałych tak samo) emituje „1” jeśli temperatura

osiągnie lub będzie większa od T1,

9 grzałki uruchamiają się gdy otrzymają sygnał „1”, a wyłączają przy sygnale „0”,

9 moc grzewcza G1 jest większa od G2.

2. Analiza schematu

W przypadku zadań 3 i 4 mamy zbudować układ logiczny na podstawie tabeli prawdy.

W zadaniu 4 należy zminimalizować układ kombinacyjny wg. tabeli Karnaugha. W

zadaniu 6 musimy zbudować układ logiczny odporny na awarie. Przyjąć założenie, że

może być uszkodzony jeden czujnik i pokazywać wtedy trwale stan „0” albo „1”.Należy

przeanalizować ponownie tabelę prawdy i w niejasnych sytuacjach wpisać wartość „0”

lub „1”. Awarię jednego z czujników rozpoznamy wtedy, gdy czujnik wyższej

temperatury pokazuje, że temperatura została osiągnięta, a czujnik niższej pokazuje,

że ta nie została osiągnięta. Nie jesteśmy jednak w stanie rozpoznać czy czujnik X3

uległ awarii i zwraca stale wartość „0”. Przyjmuje, że maksymalnie jeden czujnik może

ulec awarii a także że w przypadku niejednoznacznym ważniejsze jest by nie

przekroczyć mocy grzewczej układu.

X1 X2 X3 G1 G2

0 0 0 1 1

0 0 1 1 0

0 1 1 0 1

1 1 1 0 0

Zbudować wariant nieoptymalny (wg tabeli prawdy).

Wariant nieoptymalny wg tabeli prawdy:

G1 = (~X1 AND ~X2 AND ~X3) OR (~X1 AND ~X2 AND ~X3) OR (X1 AND ~X2 AND ~X3)

OR (~X1 AND ~X2 AND ~X3)

G2 = (~X1 AND ~X2 AND ~X3) OR (X1 AND X2 AND ~X3) OR (~X1 AND X2 AND X3)

OR (~X1 AND ~ X2 AND ~X3)

Tabela prawdy dla G1:

X1 X2 X3 ~X1 ~X2 ~X3 ~X1 * ~X2 * ~X3 ~X1 * ~X2 * ~X3 X1 * ~X2 * ~X3 CAŁOŚĆ

0 0 0

0 0 1

0 1 1

1 1 1

Tabela prawdy dla G2:

X1 X2 X3 ~X1 ~X2 ~X3 ~X1 * ~X2 * ~X3 X1 * X2 * ~X3 ~X1 * X2 * X3 CAŁOŚĆ

0 0 0

0 0 1

0 1 1

1 1 1

3. Zbudować wariant minimalny najprostszy układ kombinacyjny (wg tabeli

Karnaugha).

Metoda tabeli Karnaugha – grzałka G1.

1 \ X2 X3

00 01 11 10

Grupuję jedynkami. Nie zmienia się X2, jego wartość to „0”. Otrzymujemy następujący

wynik po zastosowaniu metody tabeli Karnahugha.

G1 = ~X2

Metoda tabeli Karnaugha – grzałka G2.

1 \ X2 X3

00 01 11 10

Grupuję jedynkami. Otrzymuję dwie grupy. W pierwszej grupie (czerwonej) nie

zmienia się X1, jego wartość to „0” oraz X2, jego wartość to „1”. W drugiej grupie

(niebieskiej) nie zmienia się X3, jego wartość to „0”. Otrzymujemy następujący wynik

po zastosowaniu metody tabeli Karnahugha.

G2 = (~X1 AND X2) OR ~X3

Uwzględniając zminimalizowane funkcje dla grzałek otrzymuję następujący schemat

logiczny:

Tabela prawdy dla zminializowanej funkcji grzałki G2.

X1 X2 X3 ~X1 ~X3 ~ X1 AND X2 (~X1 AND X2) OR ~ X3

0 0 0

0 0 1

0 1 1

1 1 1

6. Zbudować układ uwzględniający możliwość awarii czujników.

Zbudujemy teraz układ odporny na awarię termometru. Awaria występuje wtedy kiedy

czujnik wyższej temperatury odnotowuje, że temperatura została osiągnięta a czujnik

niższej temperatury nie odnotowuje. Możliwe kombinacje trzech czujników.

X1 X2 X3 WYNIK

0 0 0 DZIAŁA

0 0 1 DZIAŁA

0 1 0 AWARIA

0 1 1 DZIAŁA

1 0 0 AWARIA

1 0 1 AWARIA

1 1 0 AWARIA

1 1 1 DZIAŁA

Minimalizacja układu metodą tabeli Karnaugha.

X1 \ X2 X3 00 01 11 10

Otrzymujemy dwie grupy. W pierwszej grupie (czerwonej) nie zmienia się X2, ma

wartość „1” oraz X3 i ma wartość „0”. W drugiej grupie (niebieskiej) nie zmienia się X1,

ma wartość „1” oraz X2 i ma wartość „0”.

Wynik po minimalizacji: (X2 AND ~X3) OR (X1 AND ~X2)

Tabela prawdy dla układu czułego na awarię:

X1 X2 X3 ~X2 ~X3 X2 AND ~X3 X1 AND ~X2 (X2 AND ~X3) OR (X1 AND ~X2)

0 0 0

0 0 1

0 1 0

1 AWARIA

0 1 1

1 0 0

1 AWARIA

1 0 1

1 AWARIA

1 1 0

1 AWARIA

1 1 1

Jest jednak pewna wada powyższego układu jeśli zepsuje się czujnik X3 to grzejnik G2

będzie cały czas grzał. Aby zapobiec takiej sytuacji zmodyfikowałem schemat w taki

sposób, że połączyłem wyjście alarmowe z czujnikami i w momencie zaistnienia awarii

automatycznie wyłączane są oba czujniki.

Wnioski:

Przy użyciu bramek logicznych udało nam się zbudować układ kontroli grzejników ze

względu na daną temperaturę. Bezpośrednio z tabeli prawdy uzyskaliśmy

skomplikowany schemat. Po minimalizacji funkcji logicznych metodą tabeli Karnaugha

udało nam się znacznie mniejszych ilość użytych bramek logicznych.

Udało mi się również stworzyć układ odporny na awarię. Niestety nie jestem w stanie

zbudować schematu odpornego na awarię czujnika X3, ponieważ nie da się stworzyć

takiej kontroli na wejściu.