Ryzyko cen opcji
Najpopularniejszy model wyceny opcji to model Blacka-Scholesa-Mertona:
=
−
,
=
−
−
− ,
gdzie
ln +
+ 1
=
2
∙ ,
√
ln +
− 1
=
2
∙ = − √ ,
√
– cena opcji call,
– cena opcji put,
– stopa cost of carry,
– wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego,
– zmienność instrumentu bazowego.
w szczególnych przypadkach mamy:
− opcja na akcję niedającą dywidendy ( = , gdzie to stopa wolna od ryzyka) – klasyczny model Blacka-Scholesa (1973 r.)
− opcja na akcję dającą dywidendę lub indeks giełdowy ( = − !, gdzie ! oznacza stopę dywidendy) - model Mertona (1973 r.)
− opcja walutowa ( = − ", gdzie " – stopa wolna od ryzyka w kraju obcej waluty) –
model Garmana-Kohlhagena (1983 r.)
Model Blacka-Scholesa-Mertona jest stosowany do wyceny opcji europejskich.
Dysponując modelem wyceny można badać wrażliwość ceny opcji na poszczególne czynniki. Miary wrażliwości w przypadku cen opcji nazwą współczynników greckich. Formalnie współczynniki greckie formalnie są określone jako pochodna wartości opcji względem konkretnego czynnika. Współczynniki greckie wskazują jak zmieni się wartość opcji, gdy wartość rozpatrywanego czynnika zmieni się o jednostkę, a wartości pozostałych czynników nie zmienią się. Przy stosowaniu współczynników greckich należy pamiętać, że:
− rozważać można jedynie wpływ niewielkich zmian czynnika,
− przy rozpatrywaniu wpływu danego czynnika abstrahuje się od wpływu innych czynników, które w praktyce też mogą się zmienić.
Definicje greckich współczynników przedstawione zostaną dla opcji call (kupna) – jednak takie same definicje można sformułować dla opcji put (sprzedaży).
Najważniejszym współczynnikiem greckim jest współczynnik delta:
− określa wrażliwość opcji na zmiany ceny instrumentu bazowego,
− dany jest wzorem: # = $%
$&,
− określa, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość opcji, gdy cena instrumentu bazowego wzrośnie o jednostkę,
− dla opcji call zawiera się w przedziale [0,1],
− dla opcji put zawiera się w przedziale [-1,0],
− im bardziej opcja jest OTM, tym współczynnik jest bliższy 0,
− im bardziej opcja jest ITM, tym współczynnik jest bliższy 1 (opcja call) lub -1 (opcja put),
− współczynnik można wyznaczyć dla dowolnego instrumentu finansowego (dla instrumentu bazowego jest równy oczywiście 1).
Wrażliwość współczynnika delta na zmiany cen instrumentu bazowego opisuje współczynnik gamma:
− jest pochodną współczynnika delta, czyli drugą pochodną wartości opcji względem ceny instrumentu bazowego:
(# (
' = ( = # ,
− określa o ile w przybliżeniu zmieni się wartość współczynnika delta opcji, gdy cena instrumentu podstawowego wzrośnie o jednostkę,
− przyjmuje wartości nieujemne,
− najwyższe wartości przyjmuje dla opcji ATM, będącej blisko terminu wygaśnięcia,
− współczynnik można wyznaczyć dla dowolnego instrumentu finansowego (dla instrumentu bazowego jest równy 0).
Współczynnik kappa, często nazywany jest współczynnikiem vega, określa wrażliwość na zmiany zmienności instrumentu bazowego:
(
) = ( ,
− określa o ile w przybliżeniu zmieni się wartość opcji, gdy zmienność instrumentu bazowego wzrośnie o jednostkę,
− przyjmuje wartości nieujemne,
− wartość maleje w miarę zbliżania się do terminu wygaśnięcia opcji,
− współczynnik można wyznaczyć dla dowolnego instrumentu finansowego (dla instrumentu bazowego jest równy 0).
Oprócz wymienionych powyżej istnieje szereg innych współczynników greckich, wśród których można wymienić współczynnik theta (określa wrażliwość na zmianę długości okresu do terminu wygaśnięcia), czy współczynnik rho (określa wrażliwość na zmianę stopy procentowej wolnej od ryzyka). Czasem w praktyce stosowany jest współczynnik lambda, który określa, o ile procent zmieni się wartość opcji, gdy cena instrumentu bazowego zmieni się o 1% (czyli jest to miernik elastyczności).
Na podstawie modelu Blacka-Scholesa-Mertona można wyznaczyć wzory na współczynniki greckie dla opcji call i put:
− współczynnik delta:
#%*++ =
,
#,-. =
/
− 10,
− współczynnik gamma:
1
'%*++ = ',-. =
,
√
− współczynnik kappa:
)%*++ = ),-. =
1
,
Przykład
Dana jest akcja, której cena wynosi 100 PLN oraz europejska opcja call na tę akcję, której cena wykonania wynosi 108 PLN, z terminem wygaśnięcia pół roku. Stopa wolna od ryzyka wynosi 6%.
Zakładamy, że współczynnik zmienności wynosi 20%. W oparciu o model BSM wyceń opcję.
Przykład
Dana jest akcja, której cena wynosi 100 PLN oraz europejska opcja put na tę akcję, której cena wynosi wykonania wynosi 108 PLN, z terminem wygaśnięcia pół roku. Stopa wolna od ryzyka wynosi 6%.
Zakładamy, że współczynnik zmienności wynosi 20%. W oparciu o model BSM wyceń opcję.
Przykład
Dla opcji z powyższych przykładów 1 i 2 wyznacz greckie współczynniki (delta, gamma i kappa) oraz podaj ich interpretacje.
Odpowiedź:
call
put
delta
gamma
kappa
Interpretacja:
Zadania.
1. Dana jest akcja, której cena wynosi 50 PLN oraz europejska opcja call na tę akcję, której cena wykonania wynosi 45 PLN, z terminem wygaśnięcia pół roku. Stopa wolna od ryzyka wynosi 5%.
Zakładamy, że współczynnik zmienności wynosi 30%. W oparciu o model BSM wyceń opcję.
2. Dana jest akcja, której cena wynosi 50 PLN oraz europejska opcja put na tę akcję, której cena wynosi wykonania wynosi 45 PLN, z terminem wygaśnięcia pół roku. Stopa wolna od ryzyka wynosi 5%. Zakładamy, że współczynnik zmienności wynosi 30%. W oparciu o model BSM wyceń opcję.
3. Dana jest akcja, której cena wynosi 10 PLN oraz europejska opcja call na tę akcję, której cena wykonania wynosi 45 PLN, z terminem wygaśnięcia pół roku. Stopa wolna od ryzyka wynosi 5%.
Zakładamy, że współczynnik zmienności wynosi 30%. W oparciu o model BSM wyceń opcję.
4. Dana jest akcja, której cena wynosi 10 PLN oraz europejska opcja put na tę akcję, której cena wynosi wykonania wynosi 45 PLN, z terminem wygaśnięcia pół roku. Stopa wolna od ryzyka wynosi 5%. Zakładamy, że współczynnik zmienności wynosi 30%. W oparciu o model BSM wyceń opcję.
5. Dana jest akcja, której cena wynosi 50 PLN oraz europejska opcja call na tę akcję, której cena wykonania wynosi 45 PLN, z terminem wygaśnięcia pół roku. Stopa wolna od ryzyka wynosi 5%.
Zakładamy, że współczynnik zmienności wynosi 50%. W oparciu o model BSM wyceń opcję.
6. Dana jest akcja, której cena wynosi 50 PLN oraz europejska opcja put na tę akcję, której cena wynosi wykonania wynosi 45 PLN, z terminem wygaśnięcia pół roku. Stopa wolna od ryzyka wynosi 5%. Zakładamy, że współczynnik zmienności wynosi 30%. W oparciu o model BSM wyceń opcję.
7. Dana jest akcja, której cena wynosi 50 PLN oraz europejska opcja call na tę akcję, której cena wykonania wynosi 45 PLN, z terminem wygaśnięcia jeden rok. Stopa wolna od ryzyka wynosi 5%.
Zakładamy, że współczynnik zmienności wynosi 30%. W oparciu o model BSM wyceń opcję.
8. Dana jest akcja, której cena wynosi 50 PLN oraz europejska opcja put na tę akcję, której cena wynosi wykonania wynosi 45 PLN, z terminem wygaśnięcia jeden rok. Stopa wolna od ryzyka wynosi 5%. Zakładamy, że współczynnik zmienności wynosi 30%. W oparciu o model BSM wyceń opcję.
9. Dana jest akcja, której cena wynosi 50 PLN oraz europejska opcja call na tę akcję, której cena wykonania wynosi 45 PLN, z terminem wygaśnięcia pół roku. Stopa wolna od ryzyka wynosi 5%.
Zakładamy, że współczynnik zmienności wynosi 30%. Oszacuj jak zmieni się cena opcji jeśli cena akcji wzrośnie do 52 PLN. Porównaj uzyskany wynik z rzeczywistą ceną opcji gdy cena akcji wynosi 52 PLN.
10. Dla opcji z zadań 1-8 wyznacz współczynniki greckie (deltę, gammę i kappę).
1
2
3
4
5
6
7
8
delta
0,76442
-0,23558
0,00000
-1,0000
0,70729
-0,29271
0,74789
-0,25211
gamma
0,02901
0,02901
0,00000
0,0000
0,01945
0,01945
0,02128
0,02128
kappa
10,87955
10,87955
0,00000
0,0000 12,15487 12,15487 15,95960 15,95960