Rozwiązywanie obwodów elektrycznych w stanie nieustalonym, wyznaczanie funkcji układu, badanie stabilności 1
1. Wyznaczyć prąd i(t). Warunki początkowe zerowe. Dane: R =
, R = 1, L = 1, C = 1,α = 1, e( t) = sin t ⋅1( t).
1
2
2
α u(t)
R1
L
i(t)
e(t)
u(t)
C
R2
1
( ) =
,
( )
− t
I s
i t = e sin t ⋅1( t).
2
s + 2 s +
2
2. Wyznaczyć napięcie u(t). Warunki początkowe zerowe. Dane R = 1, L = L = 1, C = 1, e( t) = 1( t), i ( t) = 1( t).
1
2
z
C
L1
L2
e(t)
u(t)
R
iz(t)
3
2
+ 3 + 2 +1
1
1
t
s
s
s
t
2
U ( s) =
,
u( t) = δ
−
( t) + (1− e sin ) ⋅1( t).
2
s(2 s + 2 s +
1)
2
2
2
3. Wyznaczyć prąd i
=
=
=
=
=
=
o(t). Warunki początkowe zerowe. Dane: R
1, L
L
1, C
C
1, e( t) 1( t).
0
1
2
1
2
C1
L2
e(t)
io(t)
Ro
L1
C2
s −1
I ( s) =
,
i ( t) = (2 − t
e −1) ⋅1( t).
o
s( s +
1)
o
4. Wyznaczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rysunku, jeżeli pobudzeniem jest napięcie u1(t), a reakcją – napięcie u2(t). Wyznaczyć charakterystykę impulsową h(t).
1
Dane: R = 2, R = 2, L = 1, C =
.
1
2
4
R 1
R 2
L
C
u 2( t)
u 1( t)
sL
s
Od .
p : H ( s) =
=
, h( t)
− t
= e (cos t − sin t)⋅1( t).
2
2
s LC( R + R ) + s( CR R + L) + R
s + 2 s + 2
1
2
1
2
1
5. Wyznaczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rysunku, jeżeli pobudzeniem jest prąd i1(t), a reakcją – napięcie u2(t). Wyznaczyć charakterystykę impulsową h(t).
Dane:
3
R = 2, R = 1, C =
, L = 2, L = 1.
g
o
1
2
2
L2
L1
i1(t)
u2(t)
C
Rg
R0
2
R R
o
g
3
Od .
p : H ( s) =
=
,
3
2
3
2
s L L C + s C( L R + L R ) + s( CR R + L + L ) + R + R
s + 2 s + 2 s +1
1
2
1
o
2
g
o
g
1
2
g
o
2
t
− t
−
3
1
3
2
h( t) =
e − e (cos
t −
sin
t) ⋅1( t).
3
2
3
2
6. Wyznaczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rysunku, jeżeli pobudzeniem jest napięcie u1(t), a reakcją – prąd i2(t). Wyznaczyć charakterystykę impulsową h(t).
Dane:
1
R = 1, R = 2, C = , 1 L = ,
3 C =
.
g
o
1
2
2
L
R
i2(t)
g
u1(t)
C2
C1
R0
1
1
3
Od .
p : H ( s) =
=
,
3
2
s C C LR R + s L C R + C R + s L + R R C + C
+ R + R
s + 2 s + 2 s +1
1
2
g
o
( 1 g 2 o) (
o
g (
1
2 ) )
3
2
g
o
1
t
− t
−
3
1
3
2
h( t) = e − e (cos t −
sin
t) ⋅1( t).
3
2
3
2
7. Wyznaczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rysunku, jeżeli pobudzeniem jest prąd i(t), a reakcją – napięcie u(t). Wyznaczyć charakterystykę impulsową h(t).
Dane: R = 1, R = 3, L = 1, C = 1.
1
2
i(t)
R2
L
R1
C
u(t)
sLR
s
−
1
2
Od .
p : H ( s) =
=
, h( t)
t
= e
1− 2 t ⋅1( t).
2
2
(
)
s LCR + s( CR R + L) + R + R
s + 4 s +
4
1
1
2
1
2
U ( s)
8. Wyznaczyć transmitancję
2
H ( s) =
. Określić dla jakich wartości γ układ jest stabilny w sensie BIBO.
U ( s)
1
Dane: R = 1, C = 1, L = 1.
C
R
U2(s)
U(s)
U1(s)
L
γ U(s)
sL( sC − γ )
s( s − γ )
Od .
p : H ( s) =
=
,
γ <1.
2
2
1
s LC + sC(
−γ ) +1 s + s(1−γ ) +1
R
9. Wyznaczyć transmitancję H(s)=I2/U1. Dla jakich wartości γ >0 układ jest stabilny w sensie BIBO?
Dane:
R = 1, R = 1, C = C = 1, L = 1.
1
2
1
2
L
R
I
1
2(s)
U(s)
U1(s)
γ U(s)
C2
C1
R2
Dane:
R = 1, R = 1, C = C = 1, L = 1.
1
2
1
2
1
Od .
p : H ( s) =
,γ < 1.
3
2
s + (2 − γ ) s + (3 − γ ) s + 2
U ( s)
10. Wyznaczyć transmitancję
2
H ( s) =
. Określić dla jakich wartości k układ jest stabilny w sensie BIBO.
U ( s)
1
Dane: R = R = R = 1, C = C = C = 1.
1
2
1
2
C 1
R 2
C 2
k
k
U
R
U
U
o
1
U
2
U
U
k U
⋅
1
o
2
1
(
+ )2
k s +
k sRC 1
RC
k ( s + )2
1
Od .
p : H ( s) =
=
=
, k < 3.
2
2
2
s R C + sRC (3 − k ) +1
s (3 − k )
2
1
s + s 3 − k +1
2
(
)
s +
+ 2 2
RC
R C
11. Wyznaczyć transmitancję
2
H ( s) =
. Określić dla jakich wartości k układ jest stabilny w sensie BIBO.
U ( s)
1
Dane: R = R = 1, C = C = 1.
1
2
1
2
C 1
k
R
R
1
2
U
U
2
C
1
2
k
R R C C
k
1
2
1
2
Od .
p : H ( s) =
=
, k < 3.
2
1 k
1
1
−
1
s + s 3 − k +1
2
(
)
s + s
+
+
+
R C
R C
R C R R C C
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
12. Wyznaczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rysunku, jeżeli pobudzeniem jest napięcie u1(t), a reakcją – napięcie u2(t). Wyznaczyć charakterystykę impulsową h(t).
Dane: R = 2, R = 1, L = 1, C = 1.
1
2
+
k→∞
-
u1(t)
u2(t)
R
R2
1
C
L
2
2
s LC + s( R + R ) C +1
s + 3 s +1
1
2
H ( s) =
=
, h( t) = δ ( t)
− t
+ e t −1 ⋅1( t)
2
2
( )
s LC + sR C +1
s + 2 s +
1
1
U ( s)
13. Wyznaczyć transmitancję
2
H ( s) =
. Określić dla jakich wartości α układ jest stabilny w sensie BIBO.
U ( s)
1
Dane: R = R = 1, L = L = 1.
1
2
1
2
L1
L2
+
R2
R1
k→∞
-
u1(t)
α
u2(t)
R
Ro
o
(α + )1( s + )2
1
Od .
p : H ( s) =
,
α < 2.
2
s + (2 −α ) s +
1