RozłóŜ na ułamki proste następującą funkcję operatorową:
− 3 2
s + 4
G( s) =
s( s + 2)( s + )
3
Rozwią zanie
Przy pomocy rozkładu na ułamki proste otrzymujemy: K
K
K
G( s)
1
2
3
=
+
+
s
s + 2
s + 3
Czyli
− 3 2
s + 4
K
K
K
1
2
3
=
+
+
s( s + 2)( s + )
3
s
s + 2
s + 3
Po przemnoŜeniu przez mianownik lewej części równania otrzymano:
− 3 2
s + 4 = K ( s + 2)( s + ) 3 + K s( s + )
3 + K s( s + )
3
1
2
3
Przekształcając:
2
2
− 3 s + 4 = ( K + K + K ) s + 5
( K + 3 K + 2 K ) s + 6 K
1
2
3
1
2
3
1
Porównując współczynniki równania
K
K
K
1 +
2 +
3 = −3
5 K
K
K
1 + 3
2 + 2
3 = 0
6 K 1 = 4
Z rozwiązania powstałego układu równań uzyskuje się następujące wyniki
2
K 1 =
3
K 2 = 2
23
K 3 = −
3
Stąd:
− 3 2
s + 4
2 1
1
23
1
G( s) =
=
+ 2
−
s( s + 2)( s + )
3
3 s
s + 2
3 s + 3
_________________________________________________
1 _
_______________________________________________
Powered by xtoff®
lalik.krzysztof@wp.pl
RozłóŜ na ułamki proste (stosując metodę Residuum) funkcję operatorową z poprzedniego zadania:
Rozwią zanie
Aby obliczyć K1 korzystamy ze wzoru
− 3 2
s + 4
4
2
K = ( sG( s))
=
= =
1
s=0
( s + 2)( s + )
3
6
3
s =0
Aby obliczyć K2 korzystamy ze wzoru
− 3 2
s + 4
− 8
K = (( s + 2) G( s))
=
=
= 4
2
s=−2
s( s + )
3
− 2
s=−2
Aby obliczyć K1 korzystamy ze wzoru
− 3 2
s + 4
− 23
23
K = (( s + )
3 G( s))
=
=
= −
3
s=−3
s( s + 2)
− (
3 −3 + 2)
3
s=−3
Jak widać metoda Residuum jest znacznie szybsza, a wyniki są takie same PRZYKŁAD 3
RozłóŜ na ułamki proste następującą funkcję operatorową: 1
G( s) =
s( s + )
1 3 ( s + 2)
Rozwią zanie
Jak widać funkcja ta ma potrójny biegun w s = −1. Rozkład funkcji operatorowej G( s) na ułamki proste odbywa się według zaleŜności: 1
K
K
K
K
K
1
2
3
4
5
=
+
+
+
+
3
2
3
s( s + )
1 ( s + 2)
s
s + 2
s + 1
( s + )
1
( s + )
1
Po przemnoŜeniu przez mianownik lewej części równania otrzymano: 1 = K ( s + )
1 3 ( s + 2) + K s( s + ) 1 3 + K s( s + )
1 2 ( s + 2) + K s( s + ) 1 ( s + 2) + K s( s + 2) 1
2
3
4
5
_________________________________________________
2 _
_______________________________________________
Powered by xtoff®
lalik.krzysztof@wp.pl
4
3
2
1 = ( K + K + K ) s + 5
( K + 3 K + 4 K + K ) s + 9
( K + 3 K + 5 K + 3 K + K ) s +
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
+ (7 K + K + 2 K + 2 K + 2 K ) s + 2 K
1
2
3
4
5
1
Porównując współczynniki równania
K
K
K
1 +
2 +
3 = 0
5 K
K
K
K
1 + 3
2 + 4
3 +
4 = 0
9 K
K
K
K
K
1 + 3
2 + 5
3 + 3
4 +
5 = 0
7 K K
K
K
K
1 +
2 + 2
3 + 2
4 + 2
5 =
0
2 K 1 =1
Z rozwiązania powstałego układu równań uzyskuje się następujące wyniki
1
K 1 =
2
1
K 2 =
2
K 3 = −1
K 4 = 0
K 5 = −1
Uzyskany w ten sposób rozkład funkcji operatorowej na ułamki proste 1 1
1
1
1
1
G( s) =
+
−
−
3
2 s
2 s + 2
s + 1
( s + )
1
PRZYKŁAD 4
RozłóŜ na ułamki proste następującą funkcję operatorową (obydwiema metodami):
− s + 8
G( s) =
s( 2
s + 2 s + 10)
Rozwią zanie
1. Metoda Residuum:
Transmitancję moŜemy zapisać:
− s + 8
− s + 8
K
K
K
G( s)
1
2
3
=
=
=
+
+
s( s 2 + 2 s + 10)
s( s + 1 + 3 j)( s + 1 − 3 j) s
s + 1 + 3 j
s + 1 − 3 j
wówczas współczynnik odpowiadający biegunowi rzeczywistemu jednokrotnemu
− s + 8
4
K = ( sG( s))
=
=
1
s=0
( 2
s + 2 s + 10)
5
s=0
_________________________________________________
3 _
_______________________________________________
Powered by xtoff®
lalik.krzysztof@wp.pl
Współczynniki odpowiadające biegunom zespolonym jednokrotnym są następujące
− s + 8
K = (( s + 1 − 3 j) G( s))
=
=
2
s=(−1+3 j )
s( s + 1 + 3 j) s=( 1
− +3 j)
143
j
π
− 4 + 3 j 1
180
=
= e
5
2
− s + 8
K = (( s + 1 + 3 j) G( s))
=
=
3
s=( 1
− −3 j)
s( s + 1 − 3 j) s=(−1−3 j) 143
− j
π
− 4 − 3 j 1
180
=
= e
5
2
W ten sposób otrzymano:
143
143
− j
π
− j
π
4 1
1 e 180
1 e 180
G( s) =
+
+
5 s
2 s +1+ 3 j
2 s +1− 3 j
2. Metoda algebraiczna:
Transmitancję moŜemy zapisać:
− s + 8
K
K s + K
G( s)
1
2
3
=
=
+
s( 2
s + 2 s + 1 )
0
2
s
s + 2 s + 10
Czyli
− s + 8 = K ( s 2 + 2 s + 10) + ( K s + K ) s 1
2
3
Po przekształceniu:
2
− s + 8 = ( K + K ) s + (2 K s + K ) s + 10 K
1
2
1
3
1
Porównując stronami współczynniki równania otrzymano:
4
K 1 = 5
4
K 2 = −
5
K 3 = −13
5
_________________________________________________
4 _
_______________________________________________
Powered by xtoff®
lalik.krzysztof@wp.pl
− s + 8
4 1
1
4 s + 13
G( s) =
=
−
s( 2
s + 2 s + 10)
5 s
5 2
s + 2 s + 10
Otrzymane wyniki róŜnią się od siebie, ale z podstawową znajomością zagadnienia liczb zespolonych moŜna z łatwością wyprowadzić z transmitancji otrzymanej z metody residuum transmitancję otrzymaną z metody algorytmicznej.
PRZYKŁAD 5
Wyznacz transmitancję odwrotną kaŜdej G(s) z poprzednich przykładów:
Rozwią zanie
-przykład 1
− 3 2
s + 4
2 1
1
23
1
G( s) =
=
+ 2
−
s( s + 2)( s + )
3
3 s
s + 2
3 s + 3
Odczytując wprost z tablicy transformat:
−
2 1
2
£ 1
=
(
1 t)
3 s
3
Korzystając z tablicy transformat:
Lp.
Oryginał f(t)
Transformata F(s)
2.
(
1 t) − skok jednostkowy
1
( funkcja Heavysid '
e a)
s
i z własności funkcji ” Przesunię cie w dziedzinie zespolonej”:
{ eat f t( })= F( s− a)
£
Wyznaczamy:
1
−
1
1
−
1
£
2
−
= £
2
= 2 2
e t ⋅ (
1 t)
s + 2
s + 2
oraz
23 1
23
1
−
1
23
1
3 t
£− −
−
= −
£
= −
e
⋅ (
1 t)
3 s + 3
3
s + 3
3
_________________________________________________
5 _
_______________________________________________
Powered by xtoff®
lalik.krzysztof@wp.pl
2
−2 t
23 −3 t
2
−2 t
23
f ( t) =
(
1 t) + 2 e
⋅ (
1 t) −
e
⋅ (
1 t) = [ + 2
−3
e
−
e t ] ⋅ (
1 t)
3
3
3
3
-przykład 3
1 1
1
1
1
1
G( s) =
+
−
−
3
2 s
2 s + 2
s + 1
( s + )
1
Pierwsze trzy składniki wynoszą odpowiednio (postępowanie jak w poprzednim podpunkcie):
−
1 1
1
£ 1
=
(
1 t)
2 s
2
1
−
1
1
1
1
−
1
1
£
−
=
£
2
=
e t ⋅ (
1 t)
2 s + 2
2
s + 2
2
1
−
1
1
−
1
£ −
−
= £
−
= − e t ⋅ (
1 t)
s + 1
s + 1
1
Składnik −
naleŜy obliczyć następująco:
3
( s + )
1
Lp.
Oryginał f(t)
Transformata F(s)
4.
1
1
n 1
−
t
; n ≥ 1
( t − )
1 !
s n
Czyli:
−
1
1
1
2
£ = t
3
s
2
Korzystamy z własności funkcji ” Przesunię cie w dziedzinie zespolonej”:
{ eat f t( })= F( s− a)
£
Wyznaczamy:
−
1
1
1
2
− t
£
= t ⋅ e 1
( s
3
+
)
1
2
_________________________________________________
6 _
_______________________________________________
Powered by xtoff®
lalik.krzysztof@wp.pl
1
− t
1
f ( t) =
⋅ (
1 t) − e ⋅ (
1 t)
2
+ t ⋅ e− t ⋅ (
1 t)
2
2
-przykład 4
4 1
1
4 s + 13
G( s) =
−
5 s
5 2
s + 2 s + 10
Oryginał pierwszego składnika:
−
4 1
4
£ 1
=
(
1 t)
5 s
5
Drugi składnik naleŜy przekształcić w następujący sposób: 1
4 s + 13
4
s + 1
3
3
−
= −
−
2
2
2
2
2
5 s + 2 s + 10
5 ( s + )
1
+ 3
5 ( s + )
1
+ 3
a. Korzystając z własności „ Liniowość ”
£{ af1(t) + bf 2(t)} = aF1(s) + bF2(s) Otrzymano:
−
1
4 s
13
4
s
1
3
3
1
+
−1
+
1
£ −
−
£
£
2
= −
−
5 s + 2 s + 10
5
( s + 2
)
1
+ 2
3
5
( s + 2
)
1
+ 2
3
b. Korzystając z własności funkcji ” Przesunię cie w dziedzinie zespolonej”:
{ eat f t( })= F( s− a)
£
oraz z tabeli transformat:
Lp.
Oryginał f(t)
Transformata F(s)
9.
s
cosω t
2
2
s + ω
8.
ω
sin ω t
2
2
s + ω
_________________________________________________
7 _
_______________________________________________
Powered by xtoff®
lalik.krzysztof@wp.pl
Otrzymano:
−
1
4 s +13
4
3
1
-t
-t
£ −
= − cos(3t)e − sin(3t)e
2
5 s + 2 s +10
5
5
Zatem ostatecznie:
4
4
3
-t
-t
f ( t) =
(
1 t) −
cos(3t)e −
sin(3t)e
5
5
5
PRZYKŁAD 6
Wyznacz transformatę Laplace'a F(s) funkcji pokazanej na poniŜszym rysunku, gdzie f(t) = 0, dla t < 0 oraz dla t > 2a.
Rozwiązanie:
Funkcja f(t) moŜe zostać zapisana następująco:
,
0
dla
t < 0
A, dla 0 < t ≤
f t
( ) =
a
− A
dla
a < t ≤ 2 a
,
0
dla
t > 2 a
lub w inny sposób
f (t) = A *1(t) − 2A*1(t − a) + A*1(t − 2a) dla 0 ≤ t < 2a
PowyŜsze równanie jest praktycznie zawsze najprostszym sposobem uzyskania transmitancji odpowiadającej odpowiedniemu wykresowi. Teraz wystarczy zastosować transformatę Laplace'a:
_________________________________________________
8 _
_______________________________________________
Powered by xtoff®
lalik.krzysztof@wp.pl
F(s) = £{f (t)} = £{A *1(t)} + £{- 2A *1(t - a)} + £{A*1(t - 2a)}
Korzystając z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie rzeczywistej otrzymujemy: 1
1 −
−
A
−
−
A
as
1
2 as
as
2 as
− as 2
F ( s) = A − 2 A e
+ A e
=
1
( − 2 e
+ e
) =
1
( − e
)
s
s
s
s
s
_________________________________________________
9 _
_______________________________________________
Powered by xtoff®
lalik.krzysztof@wp.pl