PRZYKŁAD 1

Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową:

− 3 2

s + 4

G( s) =

s( s + 2)( s + )

3

Rozwią zanie

Przy pomocy rozkładu na ułamki proste otrzymujemy: K

K

K

G( s)

1

2

3

=

+

+

s

s + 2

s + 3

Czyli

− 3 2

s + 4

K

K

K

1

2

3

=

+

+

s( s + 2)( s + )

3

s

s + 2

s + 3

Po przemnożeniu przez mianownik lewej części równania otrzymano:

− 3 2

s + 4 = K ( s + 2)( s + ) 3 + K s( s + )

3 + K s( s + )

3

1

2

3

Przekształcając:

2

2

− 3 s + 4 = ( K + K + K ) s + 5

( K + 3 K + 2 K ) s + 6 K

1

2

3

1

2

3

1

Porównując współczynniki równania

 K

K

K

1 +

2 +

3 = −3

5 K

K

K

1 + 3

2 + 2

3 = 0



6 K 1 = 4

Z rozwiązania powstałego układu równań uzyskuje się następujące wyniki



2

 K 1 =



3

 K 2 = 2



23

 K 3 = −



3

Stąd:

− 3 2

s + 4

2 1

1

23

1

G( s) =

=

+ 2

−

s( s + 2)( s + )

3

3 s

s + 2

3 s + 3

_________________________________________________

1 _

_______________________________________________

Powered by xtoff®

[e-mail]

PRZYKŁAD 2

Rozłóż na ułamki proste (stosując metodę Residuum) funkcję operatorową z poprzedniego zadania:

Rozwią zanie

Aby obliczyć K1 korzystamy ze wzoru

− 3 2

s + 4

4

2

K = ( sG( s))

=

= =

1

s=0

( s + 2)( s + )

3

6

3

s =0

Aby obliczyć K2 korzystamy ze wzoru

− 3 2

s + 4

− 8

K = (( s + 2) G( s))

=

=

= 4

2

s=−2

s( s + )

3

− 2

s=−2

Aby obliczyć K1 korzystamy ze wzoru

− 3 2

s + 4

− 23

23

K = (( s + )

3 G( s))

=

=

= −

3

s=−3

s( s + 2)

− (

3 −3 + 2)

3

s=−3

Jak widać metoda Residuum jest znacznie szybsza, a wyniki są takie same PRZYKŁAD 3

Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową: 1

G( s) =

s( s + )

1 3 ( s + 2)

Rozwią zanie

Jak widać funkcja ta ma potrójny biegun w s = −1. Rozkład funkcji operatorowej G( s) na ułamki proste odbywa się według zależności: 1

K

K

K

K

K

1

2

3

4

5

=

+

+

+

+

3

2

3

s( s + )

1 ( s + 2)

s

s + 2

s + 1

( s + )

1

( s + )

1

Po przemnożeniu przez mianownik lewej części równania otrzymano: 1 = K ( s + )

1 3 ( s + 2) + K s( s + ) 1 3 + K s( s + )

1 2 ( s + 2) + K s( s + ) 1 ( s + 2) + K s( s + 2) 1

2

3

4

5

_________________________________________________

2 _

_______________________________________________

Powered by xtoff®

[e-mail]

Przekształcając:

4

3

2

1 = ( K + K + K ) s + 5

( K + 3 K + 4 K + K ) s + 9

( K + 3 K + 5 K + 3 K + K ) s +

1

2

3

1

2

3

4

1

2

3

4

5

+ (7 K + K + 2 K + 2 K + 2 K ) s + 2 K

1

2

3

4

5

1

Porównując współczynniki równania

 K

K

K

1 +

2 +

3 = 0

5 K

K

K

K

1 + 3

2 + 4

3 +

4 = 0

9 K

K

K

K

K

1 + 3

2 + 5

3 + 3

4 +

5 = 0

7 K K

K

K

K

1 +

2 + 2

3 + 2

4 + 2

5 =



0

2 K 1 =1

Z rozwiązania powstałego układu równań uzyskuje się następujące wyniki



1

 K 1 =



2

1

 K 2 =



2

 K 3 = −1

 K 4 = 0

 K 5 = −1

Uzyskany w ten sposób rozkład funkcji operatorowej na ułamki proste 1 1

1

1

1

1

G( s) =

+

−

−

3

2 s

2 s + 2

s + 1

( s + )

1

PRZYKŁAD 4

Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową (obydwiema metodami):

− s + 8

G( s) =

s( 2

s + 2 s + 10)

Rozwią zanie

1. Metoda Residuum:

Transmitancję możemy zapisać:

− s + 8

− s + 8

K

K

K

G( s)

1

2

3

=

=

=

+

+

s( s 2 + 2 s + 10)

s( s + 1 + 3 j)( s + 1 − 3 j) s

s + 1 + 3 j

s + 1 − 3 j

wówczas współczynnik odpowiadający biegunowi rzeczywistemu jednokrotnemu

− s + 8

4

K = ( sG( s))

=

=

1

s=0

( 2

s + 2 s + 10)

5

s=0

_________________________________________________

3 _

_______________________________________________

Powered by xtoff®

[e-mail]

Współczynniki odpowiadające biegunom zespolonym jednokrotnym są następujące

− s + 8

K = (( s + 1 − 3 j) G( s))

=

=

2

s=(−1+3 j )

s( s + 1 + 3 j) s=( 1

− +3 j)

143

j

π

− 4 + 3 j 1

180

=

= e

5

2

− s + 8

K = (( s + 1 + 3 j) G( s))

=

=

3

s=( 1

− −3 j)

s( s + 1 − 3 j) s=(−1−3 j) 143

− j

π

− 4 − 3 j 1

180

=

= e

5

2

W ten sposób otrzymano:

143

143

− j

π

− j

π

4 1

1 e 180

1 e 180

G( s) =

+

+

5 s

2 s +1+ 3 j

2 s +1− 3 j

2. Metoda algebraiczna:

Transmitancję możemy zapisać:

− s + 8

K

K s + K

G( s)

1

2

3

=

=

+

s( 2

s + 2 s + 1 )

0

2

s

s + 2 s + 10

Czyli

− s + 8 = K ( s 2 + 2 s + 10) + ( K s + K ) s 1

2

3

Po przekształceniu:

2

− s + 8 = ( K + K ) s + (2 K s + K ) s + 10 K

1

2

1

3

1

Porównując stronami współczynniki równania otrzymano:



4

 K 1 = 5



4

 K 2 = −



5

 K 3 = −13



5

_________________________________________________

4 _

_______________________________________________

Powered by xtoff®

[e-mail]

W ten sposób otrzymano:

− s + 8

4 1

1

4 s + 13

G( s) =

=

−

s( 2

s + 2 s + 10)

5 s

5 2

s + 2 s + 10

Otrzymane wyniki różnią się od siebie, ale z podstawową znajomością zagadnienia liczb zespolonych można z łatwością wyprowadzić z transmitancji otrzymanej z metody residuum transmitancję otrzymaną z metody algorytmicznej.

PRZYKŁAD 5

Wyznacz transmitancję odwrotną każdej G(s) z poprzednich przykładów:

Rozwią zanie

-przykład 1

− 3 2

s + 4

2 1

1

23

1

G( s) =

=

+ 2

−

s( s + 2)( s + )

3

3 s

s + 2

3 s + 3

Odczytując wprost z tablicy transformat:



−

2 1

2

£ 1 

 =

(

1 t)

3 s 

3

Korzystając z tablicy transformat:

Lp.

Oryginał f(t)

Transformata F(s)

2.

(

1 t) − skok jednostkowy

1

( funkcja Heavysid '

e a)

s

i z własności funkcji ” Przesunię cie w dziedzinie zespolonej”:

{ eat f t( })= F( s− a)

£

Wyznaczamy:









1

−

1

1

−

1

£

2

−



 = £

2



 = 2 2

e t ⋅ (

1 t)

 s + 2

 s + 2

oraz

 23 1 

23





1

−

1

23

1

3 t

£− −

−

 = −

£ 

 = −

e

⋅ (

1 t)



3 s + 3

3

 s + 3

3

_________________________________________________

5 _

_______________________________________________

Powered by xtoff®

[e-mail]

Zatem:

2

−2 t

23 −3 t

2

−2 t

23

f ( t) =

(

1 t) + 2 e

⋅ (

1 t) −

e

⋅ (

1 t) = [ + 2

−3

e

−

e t ] ⋅ (

1 t)

3

3

3

3

-przykład 3

1 1

1

1

1

1

G( s) =

+

−

−

3

2 s

2 s + 2

s + 1

( s + )

1

Pierwsze trzy składniki wynoszą odpowiednio (postępowanie jak w poprzednim podpunkcie):



−

1 1

1

£ 1 

 =

(

1 t)

 2 s 

2









1

−

1

1

1

1

−

1

1

£

−



 =

£

2



 =

e t ⋅ (

1 t)

 2 s + 2

2

 s + 2

2









1

−

1

1

−

1

£ −

−

 = £

−



 = − e t ⋅ (

1 t)

 s + 1

 s + 1

1

Składnik −

należy obliczyć następująco:

3

( s + )

1

Lp.

Oryginał f(t)

Transformata F(s)

4.

1

1

n 1

−

t

; n ≥ 1

( t − )

1 !

s n

Czyli:



−

1 

1

1

2

£   = t

3

 s 

2

Korzystamy z własności funkcji ” Przesunię cie w dziedzinie zespolonej”:

{ eat f t( })= F( s− a)

£

Wyznaczamy:





−

1

1

1

2

− t

£ 

 = t ⋅ e 1

( s

3

+

)

1 

2

_________________________________________________

6 _

_______________________________________________

Powered by xtoff®

[e-mail]

Zatem:

1

− t

1

f ( t) =

⋅ (

1 t) − e ⋅ (

1 t)

2

+ t ⋅ e− t ⋅ (

1 t)

2

2

-przykład 4

4 1

1

4 s + 13

G( s) =

−

5 s

5 2

s + 2 s + 10

Oryginał pierwszego składnika:



−

4 1 

4

£ 1 

 =

(

1 t)

5 s 

5

Drugi składnik należy przekształcić w następujący sposób: 1

4 s + 13

4

s + 1

3

3

−

= −

−

2

2

2

2

2

5 s + 2 s + 10

5 ( s + )

1

+ 3

5 ( s + )

1

+ 3

a. Korzystając z własności „ Liniowość ”

£{ af1(t) + bf 2(t)} = aF1(s) + bF2(s) Otrzymano:



−

1

4 s

13

4

s

1

3

3

1

+











−1

+

1

£ −

−

£

£

2

 = −



 −





 5 s + 2 s + 10

5

( s + 2

)

1

+ 2

3 

5

( s + 2

)

1

+ 2

3 

b. Korzystając z własności funkcji ” Przesunię cie w dziedzinie zespolonej”:

{ eat f t( })= F( s− a)

£

oraz z tabeli transformat:

Lp.

Oryginał f(t)

Transformata F(s)

9.

s

cosω t

2

2

s + ω

8.

ω

sin ω t

2

2

s + ω

_________________________________________________

7 _

_______________________________________________

Powered by xtoff®

[e-mail]

Otrzymano:



−

1

4 s +13



4

3

1

-t

-t

£ −

 = − cos(3t)e − sin(3t)e

2

 5 s + 2 s +10

5

5

Zatem ostatecznie:

4

4

3

-t

-t

f ( t) =

(

1 t) −

cos(3t)e −

sin(3t)e

5

5

5

PRZYKŁAD 6

Wyznacz transformatę Laplace'a F(s) funkcji pokazanej na poniższym rysunku, gdzie f(t) = 0, dla t < 0 oraz dla t > 2a.

Rozwiązanie:

Funkcja f(t) może zostać zapisana następująco:



,

0

dla

t < 0

 A, dla 0 < t ≤

f t

( ) =

a



− A

dla

a < t ≤ 2 a



,

0

dla

t > 2 a

lub w inny sposób

f (t) = A *1(t) − 2A*1(t − a) + A*1(t − 2a) dla 0 ≤ t < 2a

Powyższe równanie jest praktycznie zawsze najprostszym sposobem uzyskania transmitancji odpowiadającej odpowiedniemu wykresowi. Teraz wystarczy zastosować transformatę Laplace'a:

_________________________________________________

8 _

_______________________________________________

Powered by xtoff®

[e-mail]

F(s) = £{f (t)} = £{A *1(t)} + £{- 2A *1(t - a)} + £{A*1(t - 2a)}

Korzystając z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie rzeczywistej otrzymujemy: 1

1 −

−

A

−

−

A

as

1

2 as

as

2 as

− as 2

F ( s) = A − 2 A e

+ A e

=

1

( − 2 e

+ e

) =

1

( − e

)

s

s

s

s

s

_________________________________________________

9 _

_______________________________________________

Powered by xtoff®

[e-mail]