Dodatek 1- Uzupełnienie wiadomości o obwodach

magnetycznych

D.1. Wprowadzenie

Obwodem magnetycznym nazywamy przestrzeń, w której zamyka się strumień magnetyczny.

Przykładem takiego obwodu może być stalowy rdzeń, na którym nawinięto cewkę o liczbie zwojów

w (Rys. D.1.). Pod wpływem wymuszonego prądu płynącego w cewce powstaje w rdzeniu pole

magnetyczne. Linie sił pola magnetycznego przebiegające w rdzeniu tworzą strumienie główne

Φ (zamykające się przez rdzeń) oraz rozproszenia Φσ (zamykający się przez powietrze). Zazwyczaj

strumień rozproszenia stanowi kilka procent strumienia głównego i często w rozważaniach bywa

pomijany.

Φ

i

w

Φσ

Φσ

Rys. D.1. Przykład obwodu magnetycznego

W dalszej kolejności rozważać będziemy jedynie strumienie główne, więc założymy, że strumień

całkowity wytworzony przez prąd w cewce równa się strumieniowi głównemu, który przenika przez

przekroje elementów rdzenia. Dla obwodów magnetycznych występują pewne analogie z obwodami

elektrycznymi, a wielkość Θ = w ⋅ i nazywa się siłą magnetomotoryczną lub przepływem.

D.2. Prawo Ohma dla obwodów magnetycznych

Rozważania dotyczące analiz obwodów magnetycznych rozpoczniemy od postawienia zadania

polegającego na określeniu strumienia głównego cewki nawiniętej na stalowym rdzeniu (Rys. D.2.) o

przekroju S zawierającą szczelinę powietrzną δ .

Φ

l

i

Fe

w

lδ

S

Rys. D.2. Obwód magnetyczny ze szczeliną powietrzną

→ →

Zapisując prawo przepływu (Ampera)

∫ H⋅ dl = Θ = w i dla rozpatrywanego obwodu

magnetycznego z Rys. D.2. otrzymamy

H

(D.1)

Fe ⋅ l Fe + H δ ⋅ lδ = Θ

gdzie

H

- natężenie pola magnetycznego w żelazie [A/m]

Fe

l - długość linii sił pola magnetycznego w żelazie [m]

Fe

Hδ - natężenie pola magnetycznego w szczelinie powietrznej [A/m]

lδ - długość linii sił pola magnetycznego w szczelinie powietrznej [m]

Ponieważ obwód magnetyczny jest nierozgałęziony, dlatego ogólna formuła określająca strumień

→ →

magnetyczny Φ = ∫∫ ⋅

B s

d może zostać zastąpiona wyrażeniem

S

Φ

(D.2)

Fe = Φ δ = Φ

gdzie

Φ

B

[Wb]

Fe =

Fe ⋅ S

Φδ = δ

B ⋅ S [Wb]

a zależność określającą indukcję B należy określić zgodnie z charakterystykami magnesowania stali

Fe

(Rys. D.3.), gdzie µ nosi nazwę przenikalności magnetycznej. Jednostką indukcji magnetycznej jest

Fe

tesla [T]

B

= µ H (3)

Fe

Fe

Fe

BFe

HFe

Rys. D.3. Przykładowa charakterystyka magnesowania żelaza

Jeżeli założyć, że uwzględniamy liniową aproksymację magnesowania to wówczas będziemy

rozważać cewkę o charakterystyce liniowej, czyli Φ ~ i .

Dokonując przekształceń po zdefiniowaniu zależności na indukcję w szczelinie powietrznej

−

Bδ = µ H (

7

µ = 4π⋅10 [V][s]/[A][m]) otrzymamy

0

δ

0

B

Φ

Fe

H

=

=

(D.4)

Fe

µ

µ S

Fe

Fe

B

Φ

H =

δ

δ

=

(D.5)

µ

µ S

0

0

Podstawiając wyrażenia (D.4), (D.5) do zależności opisującej prawo przepływu (D.1) dostaje się

następujące wyrażenie

Φ l Fe + Φ lδ = Θ

µ

(D.6)

S

Fe

µ S

0

Definiując reluktancję R µ (opór magnetyczny) dla elementów obwodu magnetycznego

l

R

Fe

µ

=

(D.7)

Fe

µ S

Fe

l

R

= δ

µδ

µ

(D.8)

S

0

dostaje się dla wyrażenia (D.6) postać prawa Ohma dla obwodów magnetycznych w następującej

formie

Φ (Rµ

(D.9)

Fe + R µδ ) = Θ

Można, więc obwód magnetyczny z Rys. D.2. Zastąpić równoważnym obwodem elektrycznym

(Rys. D.4.)

R F

µ e

=

Θ i

w

R µδ

Φ

Rys. D.4. Schemat zastępczy obwodu magnetycznego z Rys. D.2.

Podobnie jak dla obwodów elektrycznych w obwodach magnetycznych istnieje pojęcie

przewodności tylko magnetycznej, będącej odwrotnością reluktancji i nazywa się ją permeancją.

Jednostką permeancji jest Henr [H].

Λ = 1 (D.10)

Rµ

Prawo Ohma dla obwodów magnetycznych może mieć również postać

Φ = Λ Uµ (D.11)

gdzie Uµ jest tzw. napięciem magnetycznym.

D.3. Rozgałęzione obwody magnetyczne

Poprzez analogię obwodów magnetycznych do obwodów elektrycznych można tworzyć zastępcze

równoważne obwody i dla nich zastosować prawa Kirchhoffa w celach analiz rozpływu strumieni w

obwodach magnetycznych. Ilustruje to następujący przykład rozgałęzionego obwodu magnetycznego

(Rys. D.5.) i odpowiadający temu obwodowi równoważny schemat elektryczny (Rys. D.6), dla

l

l

którego

i

R

µδ =

δ

µ =

oraz R

.

i

µ S

µ S

Fe

i

0

l

l

1

2

Φ

Φ

1

2

l

i

3

1

s

w

w

l

1

2

δ

i 2

s l4

s

s

µ Fe

Rys. D.5. Przykładowy rozgałęziony obwód magnetyczny

Φ

Φ

1

2

R

Θ =

µ3

w i

Θ =w i

1

1 1

2

2 2

R µδ

R

R

1

µ

µ2

Rµ4

Rys. D.6. Schemat zastępczy obwodu magnetycznego z Rys. D.5.

D.4. Indukcyjności własne i wzajemne cewek

Dla ilustracji analiz głównych strumieni sprzężonych cewek zostanie rozpatrzony układ dwóch

cewek nawiniętych na wspólnym rdzeniu ze szczeliną powietrzną (Rys. D.7. – Dla uproszczenia

przyjęto µ

).

rFe → ∞

lδ

l

S

S

Fe

R µδ

Φ

Φ

1

2

Φ1

i

Φ2

1

i 2

Θ =w i

2

2 2

w

Θ =w i

⇔

1

1 1

w

2

1

µ rFe → ∞

Rys. D.7. Układ dwóch cewek sprzężonych i odpowiadający im schemat zastępczy

Strumieniem skojarzonym cewki nazywać będziemy iloczyn strumienia i liczby zwojów

Ψ = w Φ , Ψ = w Φ (D.12)

1

1

1

2

2

2

Ponieważ strumienie Φ i Φ mogą być wzbudzane zarówno przez prądy cewek 1 i 2, dlatego

1

2

można dokonać superpozycji strumieni pochodzących od tych prądów

Φ = Φ + Φ (D.13)

1

11

12

Φ = Φ + Φ (D.14)

2

21

22

gdzie

Φ - strumień zamykający się przez cewkę 1, wzbudzony przez cewkę 1

11

Φ - strumień zamykający się przez cewkę 1, wzbudzony przez cewkę 2

12

Φ - strumień zamykający się przez cewkę 2, wzbudzony przez cewkę 1

21

Φ - strumień zamykający się przez cewkę 2, wzbudzony przez cewkę 2

22

Zależność określająca strumienie skojarzone przybiera, zatem formę

Ψ = w Φ + w Φ , (D.15)

1

1

11

1

12

Ψ = w Φ + w Φ (D.16)

2

2

21

2

22

Zgodnie ze schematem zastępczym z Rys. D.7.

Θ

Φ

(D.17)

11 = Φ1

= 1 = Θ Λ

i 2 =

1

0

µ

R δ

Θ

Φ

(D.18)

12 = Φ1

= 2 = Θ Λ

1

i =

2

0

µ

R δ

Θ

Φ

(D.19)

21 = Φ 2

= 1 = Θ Λ

i 2 =

1

0

µ

R δ

Θ

Φ

(D.20)

22 = Φ 2

= 2 = Θ Λ

1

i =

2

0

µ

R δ

więc

2

Ψ = (w ) Λ i + (w w )Λ i = L i + L i , (D.21)

1

1

1

1

2

2

11 1

12 2

2

Ψ = (w w )Λ i + (w ) Λ i = L i + L i (D.22)

2

1

2

1

2

2

21 1

22 2

Z powyższej zależności widać, że dla liniowego obwodu magnetycznego strumienie sprzężone są

liniową kombinacją prądów, a współczynniki L

i L

noszą nazwę indukcyjności własnych,

11

22

natomiast L

= L nazywa się indukcyjnościami wzajemnymi cewek.

12

21

D.5. Obwody magnetyczne z magnesem trwałym

Magnesy trwałe charakteryzuje się za pomocą krzywej odmagnesowania, czyli części pętli

histerezy z II ćwiartki wykresu B = f ( H ) . Dla magnesów z ziem rzadkich typu NdFeB oraz SmCo można przyjmować liniową aproksymację ch-ki odmagnesowania (Rys. D.8.), gdzie B jest indukcją

r

remanentu (rzędu 1.0÷1,3[T]), natomiast H jest natężeniem koercji (rzędu 800÷1000[kA/m]).

c

Bm

B r

Hm

H c

Rys. D.8. Charakterystyka demagnesowania magnesów z ziem rzadkich

Do analizy przypadku obwodu magnetycznego z magnesem trwałym rozważymy przykład rdzenia

stalowego, na którym nawinięto cewkę (dla rdzenia zaniedbamy spadki napięć magnetycznych) w

obwodzie, którego znajduje się magnes trwały o przekroju S oraz szczelina powietrzna δ .

Φ

l Fe

i

l m

w

lδ

S

µ rFe → ∞

Rys. D.9. Obwód magnetyczny z magnesem trwałym

Zapisując prawo przepływu dla analizowanego obwodu magnetycznego z Rys. D.9. otrzymujemy

H

(D.23)

Fe ⋅ l Fe + H m ⋅ l m + H δ ⋅ lδ = Θ

gdzie

H - natężenie pola magnetycznego w magnesie [A/m]

m

l - długość linii sił pola magnetycznego w magnesie [m]

m

Ponieważ zakładaliśmy, że µ

więc zależność (D.23) upraszcza się do postaci

Fe → ∞

H

(D.23)

m ⋅ l m + H δ ⋅ lδ = Θ

Charakterystykę odmagnesowania z Rys. D.8. można aproksymować następującą zależnością

B = B + µ

lub B = B + µ 1

( + χ) H (D.24)

0 µ

H

m

r

rm

m

m

r

0

m

gdzie

µ - przenikalność magnetyczna względna magnesu (dla magnesów z ziem rzadkich wynosi ona

rm

1.02 ÷ 1.1 przez co objętość magnesu może być z pewnym przybliżeniem traktowana jak

powietrze)

χ - podatność magnetyczna

Po przekształceniach zależności B = f ( H ) dla szczeliny i magnesu otrzymuje się wyrażenia opisujące natężenia pola magnetycznego

= δ

B

Hδ

(D.25)

µ0

B − B

m

r

H =

(D.26)

m

µ0 µ rm

Ponieważ obwód magnetyczny (Rys. D.9) jest nierozgałęziony, więc Φ

. Ze względu

m = Φδ = Φ

na jednakowy przekrój dla szczeliny i magnesu również indukcje w szczelinie i magnesie są sobie równe ( B = Bδ = B ). Można, zatem prawo przepływu (D.23) dla tego obwodu magnetycznego, m

zapisać w następującej formie

B − B

B

r l

(D.27)

m +

lδ = Θ

µ0 µ rm

µ0

Wprowadzając oznaczenie

m

= l

l'

można zapisać zależność na indukcję w szczelinie i magnesie

m

µ rm

następująco

µ

'

B = Θ

0

+

l

B

m

(D.28)

l' m + l

r l' m +

δ

lδ

Po wprowadzeniu zależności na strumień Φ = B ⋅ S do (D.28) i wykonaniu formalnych

przekształceń matematycznych otrzymamy prawo Ohma dla obwodu magnetycznego, w którym

umieszczony jest magnes trwały

'

'

l m + l

l

Φ

δ = Θ+ B m

µ

(D.29)

S

r µ

0

0

co można również przedstawić następująco

Φ Rµ = Θ+ F (D.30)

m

gdzie

l

l'

R = R +

m

µ

R - zastępcza reluktancja obwodu magnetycznego (

µ

)

m =

µδ =

δ

µ

µδ

R

; R

; R

m

µ

µ S

µ S

0

0

'

l

F - siła magnetomotoryczna magnesu ( F

)

m = B

m

m

r µ0

Zastępczy schemat obwodu magnetycznego z magnesem trwałym z Rys. D.9. wygląda, więc

następująco

Φ

F m

=

Θ i

w

R m

µ

R µδ

Rys. D.10. Schemat zastępczy obwodu magnetyczny z magnesem trwałym

W stanie bezprądowym indukcja B = B i przedstawia się następująco

0

'

B

m

(D.31)

0 =

l

B r l' m +lδ

Z zależności (D.31) wynika tzw. punkt pracy magnesu trwałego

Bm

B r

B0

H m

H c

Rys. D.11. Położenie punktu pracy magnesu trwałego

Dla zmieniającej się szczeliny punkt pracy B przesuwa się w zależności od wielkości szczeliny

0

lδ zgodnie z poniższym rysunkiem

Bm

lδ δ

< 0

B

lδ =δ

r

0

lδ δ

> 0

H m

H c

Rys. D.12. Przesunięcie punktu pracy magnesu trwałego wskutek zmian szczeliny powietrznej

Poddając magnes trwały zewnętrznemu oddziaływaniu pola magnetycznego wytworzonego przez

cewkę z prądem możemy, również doprowadzić do zmiany położenia punktu pracy wskutek

domagnesowania ( i > 0 ) lub odmagnesowania ( i < 0 ) magnesu.

Zgodnie z wcześniej wyprowadzoną zależnością (D.28)

w µ0

B =

i + B = k i + B (D.32)

'

0

0

l m + lδ

widać, że punkt pracy będzie się również przesuwał pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego

wzbudzanego przez prąd cewki.

Bm

i 0

>

B r

i = 0

i <0

B0

Hm

H c

Rys. D.13. Przesunięcie punktu pracy magnesu trwałego wskutek oddziaływania cewki z prądem

Z Rys. D.13. można zauważyć, że pod wpływem oddziaływania demagnesujacego zewnętrznego

pola magnetycznego wytworzonego przez cewkę z prądem może dojść nawet do całkowitego

odmagnesowania magnesu, co będzie skutkować jego zniszczeniem.

D.6. Energia pola magnetycznego

Poprzednie rozważania, w których określono wartości indukcji oraz natężenia pola magnetycznego

dla elementów obwodu magnetycznego były zależnościami uwzględniającymi jednowymiarowy (1-D)

rozkład pola magnetycznego, co dla prostych obwodów magnetycznych jest wystarczającym

przybliżeniem z technicznego punktu widzenia. Na podstawie znajomości rozkładu indukcji oraz

natężenia pola magnetycznego, można wyznaczyć gęstość energii pola magnetycznego ( w ) zawartej

g

w jednostce objętości dowolnej przestrzeni g

B

w

H B

d (D.33)

g = ∫

0

Energia pola magnetycznego będzie, więc zależna od objętości V dla przestrzeni g i w ogólnym g

przypadku wyrażać się będzie zależnością

B

E = ∫ w V

d

= ∫(∫ H d B)d V (D.34)

g

g

V

Vg 0

Na podobnej zasadzie można zdefiniować gęstość objętościową ko-energii, jako

H

w

B d H (D.35)

0 g = ∫

0

oraz ko-energię

H

E = ∫ w d V = ∫ (∫ B d H )d V (D.36) 0

0 g

g

V

g

V

0

O ile definicja gęstości energii jest zawsze poprawna o tyle definicja gęstości objętościowej ko-energii jest słuszna jedynie dla elementów obwodu magnetycznego posiadających swe charakterystyki

w I ćwiartce zależności B = f ( H ) . Charakterystyki magnesów trwałych są opisywane funkcjami z II ćwiartki zależności B = f ( H ) , dlatego wiec należy dla magnesów trwałych zmodyfikować m

m

definicję gęstości objętościowej ko-energii do postaci

Hm

w

B d H (D.37)

0 m = ∫

m

m

H c

Ko-energia pola magnetycznego zawarta w magnesie o objętości V wyrażać się będzie

m

następującą zależnością

H m

E = w

V

d

( B d H ) V

d

∫

= ∫ ∫

(D.38)

0

0 m

m

m

m

V

m

V

H c

W celu przeprowadzenia dalszych analiz zależności energetycznych dla pola magnetycznego

podeprzemy się obwodem magnetycznym z Rys. D.9. Zgodnie z założeniami do tego przykładu w

przestrzeni rdzenia stalowego nie ma spadków napięć magnetycznych, więc cała energia pola

magnetycznego koncentrować się będzie w przestrzeni magnesu trwałego oraz szczeliny powietrznej.

Φ Fe

l m

S

N

lδ

S

Fe

Rys. D.14. Przestrzenie szczeliny powietrznej oraz magnesu trwałego

Ko-energię dla tego przypadku można, zatem przedstawić, jako sumę ko-energii szczeliny i

magnesu

E = E δ + E (D.39)

0

0

0 m

gdzie

E

(D.40)

0δ = ∫ w 0 δ dV

δ

V

E

w

dV (D.41)

0 m = ∫

0 m

m

V

Ponieważ indukcje w szczelinie i magnesie można zapisać zgodnie z wcześniejszymi założeniami

następująco

= B + µ

δ

B = µ H ; B

, więc gęstości ko-energii dla rozważanego przypadku

0 µ

H

0

δ

m

r

rm

m

przybierają formę

Hδ

2

1

w

= ∫ B d H = µ H (D.42)

0 δ

δ

δ

2

0

δ

0

Hm

w

= B d H

∫

= B ( H − H ) 1

+ µ µ ( 2

H − H2 ) (D.43)

0 m

m

m

r

m

c

2

0

rm

m

c

H c

Zależności (D.42) oraz (D.43) opisujące gęstości ko-energii w szczelinie i magnesie można

również wyrazić, jako funkcje indukcji. Po formalnych przekształceniach matematycznych otrzymuje

się następujące ogólne formuły przedstawiające gęstości objętościowe ko-energii oraz funkcje ko-

energii dla szczeliny i magnesu

2

B

1

w δ =

δ (D.44)

0

2 µ0

B 2

1

m

w

(D.45)

0

=

m

2 µ0µ rm

1

E

(D.46)

0

=

2

δ

∫ δ

µ B d V

2 0 δ V

1

E

B 2 d V (D.47)

0 m =

∫

µ

2 0µ

m

rm

m

V

Dla rozważanego przykładu z Rys. D.9., gdzie indukcje w szczelinie i magnesie są sobie równe

( B = Bδ = B ) zależność (D.39) opisująca ko-energie upraszcza się do następującej formuły m

2

2

2

B

B

B S

E =

Vδ +

V =

(lδ + l' ) (D.48)

0

2µ

2

m

µ µ

2

m

µ

0

0

rm

0

Wyznaczając strumień zgodnie z formułą (D.30) obowiązującą dla schematu zastępczego z Rys.

D.10., można indukcje dla tego przypadku przedstawić następująco

Φ Θ+ F

w i

m

+ F

B =

=

=

m

(D.49)

S

R S

R S

µ

µ

Po podstawieniu zależności (D.49) do wzoru (D.48) i wykonaniu formalnych przekształceń,

otrzymujemy zależność na ko-energię w następującej formie

2

E = w

2

2

1

m

m

i

i

(D.50)

0

2

+ w F + F

1

R

2

µ

Rµ

Rµ

w 2

Definiując indukcyjność dla cewki, jako L =

oraz strumień w stanie bezprądowym

Rµ

F

(pochodzący od magnesu), jako Φ

m

, ko-energię opisaną zależnością (D.50) można zapisać

0 = Rµ

również następująco

2

2

1

1

E = L i + wΦ i + RµΦ (D.51)

0

2

0

2

0

Na podstawie zależności na strumień z formuły (D.30) można zdefiniować tzw. charakterystykę

cewki, czyli zależność strumienia skojarzonego z cewką ( Ψ ) od prądu ( i )

2

w

w F

Ψ( i) = wΦ =

i +

m = L i + wΦ = L i + Ψ (D.52)

0

0

R

R

µ

µ

gdzie Ψ jest strumieniem skojarzonym z cewka w stanie bezprądowym

0

Analizując zależność (D.51) zauważamy, że ko-energia układu złożonego z cewki oraz magnesu

trwałego posiada dwa człony, jeden zależny, a drugi niezależny od prądu odpowiadający ko-energii

zgromadzonej w układzie w stanie bezprądowym

E = E

i

( )

Θ

+ E (D.53)

0

0

0 m

gdzie

E

1

Θ = L i 2 + Ψ i (D.54)

0

2

0

2

1

E

(D.55)

m =

RµΦ

0

2

0

Zależność (D.54) może zostać również uogólniona do postaci jak jest używana do opisu

energetycznego cewek nie zawierających w swym obwodzie magnetycznym magnesów trwałych

i

E

( )

(D.56)

0Θ = ∫ Ψ i di

0

przy czym Ψ( i) określa się używając formuły (D.52).

Przedstawione wyprowadzenie może zostać, więc rozszerzone i wykorzystane do opisu

energetycznego układów złożonych z większej liczby cewek sprzężonych, zawierających w swym

obwodzie magnetycznym magnesy trwałe.

D.7. Zależności energetyczne dla układu cewek liniowych

W celu przeprowadzenia analiz zależności energetycznych dla pola magnetycznego wzbudzanego

przez układ cewek podeprzemy się obwodem magnetycznym z dwoma cewkami z Rys. D.15.

lδ

l

S

S

Fe

R µδ

µ rFe → ∞

i 1

Θ =w i

2

2 2

w

Θ =w i

⇔

1

1 1

w

2

1

i 2

Φ

Φ

Rys. D.15. Układ dwóch cewek sprzężonych i odpowiadający im schemat zastępczy

Zakładając, że w przestrzeni rdzenia stalowego nie ma spadków napięć magnetycznych

( µ

), więc cała energia pola magnetycznego koncentrować się będzie w przestrzeni szczeliny

r Fe → ∞

powietrznej.

lδ

Fe

Fe

Φ

S

Rys. D.16. Przestrzeń szczeliny powietrznej

Ko-energię dla tego przypadku można, zatem przedstawić, jako

E

(D.57)

0 = E 0

=

δ

∫ w 0δ d V

δ

V

Ponieważ indukcja w szczelinie Bδ = µ H

, więc gęstość ko-energii w szczelinie będzie

0

δ = B

równa również gęstości energii i przybiera formę

H

2

δ

B

2

1

1

w δ = ∫ δ

B dHδ = µ Hδ =

(D.58)

0

2

0

2 µ

0

0

Zależności przedstawiająca funkcje ko-energii w tym przypadku będzie również tożsama z funkcją

energii

2

2

2

2

B

B

B

E

E

B

V

(D.59)

0 =

0

= 1 ∫ 2 d =

V =

l S =

S

δ

δ

δ

R µδ

µ

2 0

µ

2

V

0

µ

2

2

δ

0

Wyznaczając strumień zgodnie z formułą (D.9), można indukcje dla tego przypadku przedstawić

następująco

Φ Θ + Θ

w i + w i

1

2

1 1

2

2

B =

=

=

(D.60)

S

R

S

R

S

µδ

µδ

Po podstawieniu zależności (D.60) do wzoru (D.59) i wykonaniu formalnych przekształceń,

otrzymujemy zależność na ko-energię

2

2

w

w w

w

1

1

2

1

2

1

2

2

E =

( i ) +

( i i ) +

( i ) (D.61)

0

2

1

1 1

2

2

R

R

R

µ

µ

µ

w 2

w 2

w w

Definiując indukcyjność dla cewek, jako L

= 1 , L

, L

można ko-energię

12 =

1

2

22 =

2

11

R µ

R µ

R µ

opisaną zależnością (D.61), zapisać zgodnie z dobrze znaną klasyczną postacią energii dla dwóch

cewek linowych w następującej formie

2

2

1

1

E = L ( i ) + L ( i i ) + L ( i ) (D.62)

0

2

11

1

12

1 1

2

22

2

Zadania

D.1

Podać wzór na indukcyjność cewki nawiniętej (zgodnie z poniższym rysunkiem) na stalowym rdzeniu

o przekroju S. Jak zmieni się ta indukcyjność, jeżeli zaniedbujemy spadki napięć magnetycznych w żelazie ( µ

)? Jak wpływa powiększenie szczeliny powietrznej l na wartość indukcyjności?

r Fe → ∞

δ

Zapisać zależność na ko-energie zgromadzona w układzie.

µ Fe

l

i

Fe

w

lδ

S

D.2

Cewka o w =500 zwojach przewodzi prąd i = I = 2A. Przekrój rdzenia wynosi S=0.8 10-4 m2 a średnia długość linii sił pola magnetycznego w stalowym rdzeniu o przenikalności względnej

µ

wynosi l =0.15 m. Wyznaczyć wartość indukcji w szczelinie powietrznej o długości

r Fe = 800

Fe

lδ =0.5 mm.

l

lδ

Fe

S

µ Fe

w

i

D.3

Dla cewki o w = 800 zwojach nawiniętej na stalowym rdzeniu o l =0.3 m i µ

r Fe = 1000

Fe

(przedstawionej na rysunku do zad. D.2), wyznaczyć wartość prądu potrzebnego do wytworzenia

indukcji w szczelinie powietrznej na poziomie 1 T, gdy efektywny przekrój szczeliny powietrznej

wynosi S=2500 mm2, a jej długość lδ =2 mm. Jak zmieniłyby się ten prąd, gdyby założyć, że

µ

?

r Fe → ∞

D.4

Obwód magnetyczny z poniższego rysunku ma na środkowej części o przekroju S

800 mm2

1 =

nawiniętą cewkę o w =600 zwojach. Zakładając, że przekroje pozostałych gałęzi obwodu

magnetycznego maja przekroje S

500 mm2, a szczelina powietrzna wynosi l =1 mm, obliczyć

2 =

δ

prąd wymagany do wzbudzenia strumienia magnetycznego w szczelinie powietrznej o wartości Φ =1

Wb. Założyć µ

. Sprawdzić, jaki musiałby być ten prąd gdyby założyć, że µ

.

r Fe → ∞

r Fe = 600

µ r Fe

l δ

S1

l 2

w

l 2

i

l 1

S

S

2

2

D.5

Dla cewki nawiniętej (jak na rysunku) na niemagnetycznym karkasie o wymiarach: d= 200 mm,

D=300 mm, h= 30 mm i 200 zwojach, obliczyć natężenie pola wewnątrz cewki, wartość indukcji oraz

strumień skojarzony z cewką, jeżeli prąd cewki wynosi 5 A. Jak zmienią się te wielkości, jeżeli karkas

zastąpimy rdzeniem stalowym o przenikalności względnej µ

.

r Fe = 400

D.6

Dla obwodu magnetycznego, w którym umieszczono magnes trwały typu NdFeB o parametrach

B r=1.2 T; H c=1000 kA/m, dobrać długości magnesu l m oraz szczeliny lδ (przy założeniu jednorodnego przekroju dla szczeliny i magnesu Sδ=S m= S=2000 mm2) takie, aby indukcja w

szczelinie wynosiła 0.6 T. Podać wartość oraz kierunek przepływu cewki taki by doprowadzić do

całkowitego odmagnesowania magnesu trwałego ( µ

). Wyznaczyć ko-energie zgromadzoną w

r Fe → ∞

układzie oraz strumień skojarzony z cewką dla stanu bezprądowego.

l m

Φ

i

w

lδ

S

µ rFe → ∞

D.7

Wyznaczyć indukcyjności własne i wzajemne cewek nawiniętych (zgodnie z poniższym rysunkiem)

na stalowym rdzeniu o jednorodnym przekroju S w którym występują szczeliny powietrzne o

wymiarach lδ (zaniedbać spadki napięć magnetycznych w żelazie µ

)

r Fe → ∞

l δ

l δ

S

µ

S

Fe → ∞

i

i

2

1

w

w

l

2

1

δ

S

µ Fe →∞

D.8

Wyznaczyć indukcyjności własne i wzajemne cewek nawiniętych na żelaznym rdzeniu (zgodnie z

poniższym rysunkiem) o nieskończenie dużej przenikalności magnetycznej ( µ

) w którym

r Fe → ∞

znajdują się trzy szczeliny o przekrojach S ,S ,S oraz długościach l , l , l wypełnione materiałami

1

2

3

1

2

3

o różnych przenikalnościach magnetycznych µ , µ , µ .

1

2

3

l 1

S1

µ1

i 1

w1

w

l

2

2

µ

S

µ

r Fe → ∞

2

2

µ rFe → ∞

i 2

w 3

l 3

S 3

µ3

i 3

D.9

Wyznaczyć funkcję indukcyjność cewki od położenia x ruchomego rdzenia, jeżeli cewka nawinięta jest (zgodnie z poniższym rysunkiem) na stalowym rdzeniu o nieskończonej przewodności

magnetycznej ( µ

).

r Fe → ∞

µ Fe >>µ0

i

lδ

w

x

µ Fe >>µ

h

0

lδ

d

2

S = d