Wykład 3
Przekształcenia izometryczne w sieci
krystalicznej
1. Przekształcenia izometryczne
2. Operacje symetrii możliwe w sieci
3. Iloczyn przekształceń
4. Symbole elementów symetrii
 Struktura naturalnego klatrasilu
(melanoflogit)
Pseudokryształy - Daniel Shechtman Nagroda
Nobla 2011
Icosahedron srebro/aluminium quasicrystal
Przekształcenia izometryczne
Przekszta Å‚cenie izometryczne (z grec. izo- ten sam, metri 
odległość;) to przekształcenie, które w wyniku jego
zastosowania nie powoduje zmian odległości między dwoma
dowolnymi, przekształcanymi punktami:
®ð ¾ð®ð
½ð r½ð = ½ðT(r)½ð
gdzie:
®ð
½ð r½ð - odlegÅ‚ość miÄ™dzy dowolnymi dwoma punktami,
¾ð®ð
½ðT(r)½ð - odlegÅ‚ość miÄ™dzy tymi samymi punktami po przeksztaÅ‚ceniu T
Translacja i operacje symetrii
Otwarte
Zamknięte
1. oś śrubowa (obrót +
1. oÅ› obrotu
translacja)
2. centrum inwersji (symetrii)
2. płaszczyzna poślizgowa
3. płaszczyzna symetrii
(odbicie + translacja)
4. oś inwersyjna (obrót i
odbicie w centrum)
Obrót wokół osi
Osie obrotu w sieci
CD = k·AB
gdzie:
k - liczba całkowita,
CD = CE + EF + FD
natomiast:
EF = AB
z definicji funkcji cosinus oraz ujemnej
wartości tej funkcji w przedziale kątowym
180-270o:
CE = FD = -AB·cosjð
z powyższych równań można
wyprowadzić zależność:
k·AB = AB + 2·(-AB·cosjð)
co łatwo można przekształcić w:
k·AB = AB(1-2cosjð)
skÄ…d:
cosjð = (1-k)/2
 Projekcja stereograficzna
Właściwa oś symetrii X Działanie właściwej osi bieguna ściany (hkl)
symetrii X na element  R przekształcanego względem
właściwej osi symetrii X
Krotność osi
dozwolona w sieci
jð= 360o
jð= 180o k krotność osi
cosjð
jð
3 -1 180o 2
2 -½ 120o 3
1 0 90o 4
0 ½ 60o 6
jð= 120o
-1 1 3600 1
jð= 90o
jð= 60o
Współistnienie osi w sieci
Centrum inwersji (symetrii)
PÅ‚aszczyzna symetrii
Iloczyn operacji symetrii
iloczyn dwóch operacji symetrii jest również operacją symetrii
 Projekcja stereograficzna bieguna
ściany (hkl) przekształcanego
DziaÅ‚anie inwersyjnej osi symetrii `ðX
na element  R wzglÄ™dem inwersyjnej osi symetrii `ðX
Inwersyjne
osie symetrii
 Zamknięte operacje symetrii
Operacje symetrii Elementy symetrii
PROSTE
obrót o 360o oś jednokrotna
obrót o 180o oś dwukrotna
obrót obrót o 120o oś trójkrotna
obrót o 90o oś czterokrotna
obrót o 60o oś sześciokrotna
odbicie względem płaszczyzny płaszczyzna symetrii
odbicie względem centrum
centrum inwersji
inwersji (inwersja)
ZA
OŻONE
obrót o 360o i inwersja
oÅ› jednokrotna inwersyjna ºð centrum
obrót z obrót o 180o i inwersja
inwersji
inwersją obrót o 120oi inwersja
oÅ› dwukrotna inwersyjna ºð pÅ‚aszczyzna
obrót o 90o i inwersja
symetrii
obrót o 60o i inwersja
oś trójkrotna inwersyjna
oÅ› czterokrotna inwersyjna
oś sześciokrotna inwersyjna
Symbole elementów symetrii
występujących w sieci przestrzennej
Symbol Kreutza  Hermanna -
Element symetrii Schoenfliesa
graficzny: Zaremby Mauguina
Oś jednokrotna- identyczność
L1= E C1 1
(obrót o 360o)
OÅ› jednokrotna inwersyjna
C i
`ð1
ć%
(obrót o 360o i inwersja)
OÅ› dwukrotna
L2z C2 2
(obrót o 180o)
OÅ› dwukrotna inwersyjna 
płaszczyzna zwierciadlana Py Cs m
(obrót o 180o i inwersja)
Oś trójkrotna
L3z ,L3111 C3 3
(obrót o 120o)
Oś trójkrotna inwersyjna
A3 S3
`ð3
(obrót o 120o i inwersja)
OÅ› czterokrotna
L4z C4 4
(obrót o 90o)
OÅ› czterokrotna inwersyjna
A4z S4
`ð4
(obrót o 90o i inwersja)
Oś sześciokrotna
L6z C6 6
(obrót o 60o)
Oś sześciokrotna inwersyjna
A6z S6
`ð6
(obrót o 60o i inwersja)