Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
Wykład 9
Wykład 9
Wykład 9
Synteza układów liniowych
Synteza układów liniowych
sterowania automatycznego
sterowania automatycznego
Janusz KOWAL
Janusz KOWAL
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Akademia Górniczo-Hutnicza
Akademia Górniczo-Hutnicza
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Plan wykładu
Wprowadzenie
Synteza metodami klasycznymi
Dobór parametrów regulatora
metoda Zieglera  Nicholsa
metoda charakterystyk częstotliwościowych
metoda linii pierwiastkowych
Synteza układów sterowania z uwzględnieniem
wskaz
ników jakości. Metoda przestrzeni stanów.
2
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wprowadzenie
Synteza układów sterowania, polega na doborze takiej
struktury układu i parametrów regulatora, by układ
mógł wykonać postawione przed nim zadania.
Postępowanie jest więc dwuetapowe:
W pierwszym etapie należy określić strukturę układu
regulacji i typ regulatora (członu korekcyjnego). Zadania
tego etapu są najtrudniejszymi zagadnieniami zarówno
teorii, jak i praktyki sterowania.
Drugi etap polega na doborze wartości parametrów
regulatora.
3
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Najczęściej stosowana jest struktura szeregowa, w której
regulator jest włączony w tor główny układu regulacji czyli
szeregowo z obiektem.
Sygnałem wejściowym regulatora jest sygnał uchybu e(t),
sygnałem wyjściowym - sterowanie obiektu u(t).
we u y
R O
R O
Struktura szeregowa układu regulacji
4
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Niekiedy przed regulatorem włączany jest dodatkowo
element (człon) korekcyjny, którego zadaniem jest wstępne
uformowanie sygnału uchybu.
we u y
Człon
Człon
Regulator Obiekt
Regulator Obiekt
korekcyjny
korekcyjny
Włączanie członu korekcyjnego przed regulatorem
5
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Inną, często stosowaną - zwłaszcza w automatyce napędu -
strukturą układu regulacji jest struktura z dodatkowym
sprzężeniem zwrotnym, w którym człon korekcyjny jest
włączany w tor dodatkowego sprzężenia zwrotnego wokół
obiektu.
weu y
Obiekt
Obiekt
Człon
Człon
korekcyjny
korekcyjny
Struktura układu regulacji z dodatkowym sprzężeniem
6
zwrotnym
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
W obu powyższych przypadkach regulator i człon
korekcyjny mają za zadanie taką modyfikację właściwości
obiektu, by działanie skorygowanego układu zamkniętego
było zadowalające z punktu widzenia przyjętego kryterium
jakości.
Kryterium to łączy zwykle wiele elementów  takich jak:
uzyskanie odpowiednich parametrów odpowiedzi
skokowej na wymuszenie zewnętrzne w(t),
odporność na zakłócenia, zwłaszcza oddziałujące na
wejście obiektu.
7
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
weUkład y
Układ
zmodyfikowany
zmodyfikowany
Skorygowany układ zamknięty regulacji
Podstawowymi wymaganiami stawianymi jednowymiaro-
wym układom regulacji automatycznej są:
dokładność statyczna,
zakres regulacji wielkości wyjściowej,
pasmo robocze (pasmo przenoszonych częstotliwości),
zapas stabilności.
8
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Synteza metodami klasycznymi
Przy klasycznej metodzie syntezy układów sterowania
najpierw zestawia się dane wyjściowe obejmujące zadanie
stawiane układowi, model matematyczny obiektu,
ograniczenia i warunki pracy. Na tej podstawia określa się
wymagania i ustala założenia.
Do podstawowych wymagań należą:
dokładność w stanach ustalonych,
zakres, w jakim wielkość wyjściowa ma być
regulowana, stabilność i odpowiedni jej zapas,
charakter przebiegu procesów przejściowych (pasmo
przenoszonych częstotliwości). 9
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Po przyjęciu założeń dokonuje się:
wyboru struktury układu,
dobiera wstępnie elementy i podzespoły,
sprawdza dokładność w stanie ustalonym,
sprawdza zakres regulacji.
Jeżeli nie odpowiadają one założonym, wprowadza się
odpowiednią korekcję właściwości statycznych przez
zmiany parametrów lub nastaw niektórych elementów.
10
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Jeżeli uda się uzyskać wymaganą dokładność w stanie
ustalonym i zakres regulacji, należy z kolei zbadać
stabilność tego układu.
Ponieważ parametry układu mogą ulegać zmianie (np.
zależnie od warunków otoczenia oraz przebiegu procesu
technologicznego w obiekcie sterowania) należy
zapewnić stabilność w najbardziej niekorzystnym
przypadku.
Uzyskuje się to przez zaprojektowanie układu z
odpowiednim marginesem bezpieczeństwa, biorąc pod
uwagę stabilność i jakość regulacji. Dogodnie jest to
11
wyrazić np. przez zapas amplitudy i zapas fazy.
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Dobór
Dobór
Ustalenie
Ustalenie
Wybór struktury
Wybór struktury elementów i
elementów i
założeń
założeń
podzespołów
podzespołów
Dokładność
tak tak tak
Stabilność i
Właściwości
w stanie
jej zapas
dynamiczne
ustalonym
nie nie nie
Korekcja
Korekcja
właściwości w
właściwości w
stanie ustalonym
stanie ustalonym
Korekcja
Korekcja
Wymagania nie
dynamiczna
dynamiczna
dodatkowe
STOP
tak STOP
Schemat postępowania przy syntezie układu sterowania metodami
12
klasycznymi
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Dobór parametrów regulatora
Metoda Zieglera - Nicholsa
SÄ… to najbardziej znane i najprostsze w zastosowaniu
reguły, sformułowane na początku lat czterdziestych w
wyniku prowadzonych badań doświadczalnych.
Jak wykazano znacznie póz
niej, reguły te prowadzą do
minimalizacji całki z modułu uchybu (kryterium całkowe I).
Korzystanie z tych reguł wymaga wstępnego wprowadzenia
dwóch pojęć:
wzmocnienia krytycznego Kkr
okresu drgań krytycznych Tos
13
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wzmocnienie krytyczne to wzmocnienie regulatora
proporcjonalnego, który połączony szeregowo z obiektem
spowoduje znalezienie się układu zamkniętego na granicy
stabilności (pojawiają się niegasnące drgania okresowe).
Okres tych drgań nazywany jest okresem drgań
krytycznych Tos.
Ponieważ bezpośrednie doświadczalne wyznaczenie tych
parametrów ze względów bezpieczeństwa jest trudne
stosuje się metody pośrednie.
14
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
1  charakterystyka
rzeczywista
h(t)
T2
1
2  charakterystyka
przybliżona
t
Ä
T
Przybliżenie odpowiedzi skokowej obiektu statycznego
15
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Metody te oparte są na przybliżeniu odpowiedzi skokowej
obiektu statycznego (krzywa 1) - charakterystykÄ… skokowÄ…
członu inercyjnego pierwszego rzędu z opóz
nieniem
(krzywa 2) o transmitancji operatorowej
1
- sÄ
;
G ( s ) = e T = T2 -Ä
0
Ts + 1
Według Zieglera i Nicholsa parametry Kkr i Tos wyrażone są
wzorami:
T2 - Ä
;
K =
Tos = 4Ä
kr
16
Ä
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Nastawy regulatorów według Zieglera i Nicholsa
Regulator K/Kkr Ti/Tos TdTos
P 0,5 - -
PI 0,45 0,83 -
PID 0,6 0,5 0,125
K = KrKo - iloczyn wzmocnień regulatora i obiektu
Przyjęcie nastaw regulatorów z powyższej tabeli, pozwala
uzyskać przebiegi przejściowe o charakterze zbliżonym do
przedstawionego na następnym rysunku. Przeregulowanie
jest rzędu 15 - 20%, a liczba oscylacji nie przekracza
dwóch.
17
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
h(t)
1
0t
Odpowiedz
skokowa układu regulacji przy nastawach
regulatora według Zieglera i Nicholsa
18
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Bardziej szczegółową analizę doboru nastaw regulatorów
przeprowadził zespół pracujący pod kierunkiem Cypkina.
Opublikował on zestaw nomogramów, umożliwiający dobór
nastaw regulatorów dla trzech zasadniczych kryteriów
jakości:
przebiegu aperiodycznego o najkrótszym czasie
regulacji,
minimum całki z kwadratu uchybu,
przebiegu o 20% przeregulowaniu i najkrótszym
czasie regulacji.
19
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Nomogramy te opracowano dla regulatorów P, I, PI i PID,
przy czym uwzględniano zarówno:
obiekty statyczne opisane transmitancjÄ… operatorowÄ…
1
G0(s) = e-sÄ
Ts +1
jak i obiekty astatyczne o transmitancji operatorowej
K0
G0(s) = e-sÄ
s(Ts +1)
20
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Metoda charakterystyk częstotliwościowych
Dobór regulatora lub członu korekcyjnego możemy również
przeprowadzić na podstawie analizy charakterystyk
częstotliwościowych układu.
Określić z nich można przede wszystkim:
zapas stabilności,
czas regulacji (oceniany na podstawie pulsacji
przecięcia),
przeregulowanie (oceniane na podstawie zapasu fazy).
21
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Tok postępowania jest następujący:
1. wykreślić charakterystyki częstotliwościowe obiektu,
2. wyznaczyć minimalną wartość wzmocnienia,
konieczną ze względu na ograniczenie uchybu
ustalonego,
3. wyznaczyć minimalne wartości zapasu modułu i
zapasu fazy, konieczne ze względu na ograniczenie
przeregulowania oraz obszar zabroniony dla
charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego,
22
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
4. wyznaczyć minimalną wartość pulsacji przecięcia
(powyżej której moduł transmitancji układu otwartego
jest mniejszy od jedności) układu skorygowanego,
konieczną ze względu na ograniczenie czasu regulacji,
5. wybrać typ regulatora i naszkicować charakterystykę
układu z regulatorem,
6. sprawdzić, czy warunki 2-4 są spełnione,
7. jeśli wybrany typ regulatora nie spełnia postawionych
warunków bez względu na dobór nastaw, wybrać inny
regulator i powtórzyć postępowanie.
23
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Metoda linii pierwiastkowych
Metoda linii pierwiastkowych (metoda miejsc
geometrycznych pierwiastków) - umożliwia wyznaczenie
położenia pierwiastków równania charakterystycznego
układu zamkniętego na podstawie rozmieszczenia zer
i biegunów transmitancji układu otwartego.
Ze zmianą wzmocnienia układu otwartego pierwiastki te
poruszają się po liniach pierwiastkowych, będących
miejscem geometrycznym pierwiastków.
24
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Rozpatrzymy układ ze sprzężeniem zwrotnym
E(s)
W(s)
U(s) Y(s)
Regulator Obiekt
Regulator Obiekt
Kp KoGo(s)
Kp KoGo(s)

Transmitancja układu zamkniętego wynosi
K K0G0(s)
Y (s)
p
GZ (s) = =
W (s) 1+ K K0G0(s)
p
25
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równanie charakterystyczne, którego pierwiastki są
biegunami transmitancji ma postać
1+ K K0G0(s) = 0
p
Pierwiastki układu zamkniętego zależą od współczynnika
wzmocnienia Kp, tym samym możemy mieć wpływ na
odpowiedz
dynamiczną układu zamkniętego przez dobór
odpowiedniej wartości Kp.
Rozważmy mechanizm konstruowania wykresu
pierwiastków przy wykorzystaniu wzmocnienia jako
zmiennego parametru.
26
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Założymy, że transmitancja układu otwartego Kp K0 G0(s)
jest funkcją wymierną, licznik ma postać Kp K0 b(s), gdzie
b(s) jest wielomianem stopnia m
b(s) = sm + b1sm-1 + ... + bm =
m
= (s - z1)(s - z2 )...(s - zm ) = (s - zi )
"
i=1
Mianownik jest wielomianem a(s) n-tego stopnia, a ne"m
n
a(s) = sn +a1sn-1 +...+an =
"(s- pi)
27
i=1
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Dla potrzeb analizy załóżmy, że wzmocnienie obiektu K0
jest dodatnie, oraz zdefiniujmy parametr miejsca
geometrycznego jako
K = K K0
p
Miejsca zerowe (pierwiastki) b(s) = 0 sÄ… zerami
transmitancji GZ(s) i oznaczamy je jako zi, podobnie
miejsca zerowe (pierwiastki) a(s) = 0 sÄ… biegunami
transmitancji GZ(s) i oznaczamy je jako pi.
28
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Możemy teraz przedstawić położenie pierwiastków
równania na kilka możliwych sposobów. Każde z
poniższych równań ma te same pierwiastki
1+ KG0 (s) = 0
b(s)
1+ K = 0
a(s)
a(s) + Kb(s) = 0
1
G0(s) = -
K
29
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Równania te określa się często jako formuły pierwiastków
równania charakterystycznego.
Linia pierwiastkowa jest zbiorem wartości s, dla których
w powyższych równaniach zachowana jest dodatnia
wartość K (oraz Kp).
Rozwiązaniami równań są pierwiastki układu
zamkniętego, więc można powiedzieć, że metoda linii
pierwiastkowych jest sposobem wnioskowania o
własnościach układu zamkniętego na podstawie
transmitancji układu otwartego KG0(s).
30
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 1
Rozpatrzymy układ ze sprzężeniem zwrotnym
E(s)
W(s)
U(s) Y(s)
Regulator Obiekt
Regulator Obiekt
Kp Go(s)
Kp Go(s)

Transmitancja obiektu ma postać
K
0
G0 (s) =
s(s + 1)
Wyznaczyć położenie pierwiastków układu zamkniętego ze
względu na Kp.
31
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wykorzystując przyjęte wcześniej formy zapisu
m=0 b(s)=1 K0=1 K = Kp
n=2 a(s)=s2+s pi = 0, -1
Charakterystyka położenia pierwiastków jest graficznym
przedstawieniem pierwiastków równania:
a(s) + Kb(s) = 0
czyli
2
s + s + K = 0
1 1- 4K
Rozwiązania mają postać:
s1, s2 = - Ä…
2 2
32
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Im
1
¸ = cos-1¾ = 30°
Re
xx
-1
-1
33
Szkic położenia pierwiastków
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
1
Dla 0 d" K d" pierwiastki przyjmują wartości rzeczywiste z
4
przedziału (-1,0).
1
1
Dla istnieją dwa pierwiastki o wartościach równych -
K =
2
4
1
Dla pierwiastki są liczbami zespolonymi, których
K >
4
1
część rzeczywista ma wartość - , natomiast część urojona
2
wzrasta proporcjonalnie do .
K
Zmieniając wartość K możemy umiejscowić bieguny układu
zamkniętego w dowolnych punktach należących do
charakterystyki pierwiastków.
34
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Synteza układów sterowania z uwzględnieniem
wskaz
ników jakości. Metoda przestrzeni stanów
Metoda klasyczna syntezy układu sterowania umożliwia
przyjęcie jednego z rozwiązań, natomiast nie daje podstawy
dla ustalenia, które z nich jest optymalne.
Ograniczeń takich nie mają np. metody wykorzystujące
wskaz
niki jakości. Umożliwiają one wyznaczenie rozwiązań
optymalnych tzn. takich, które zapewniają minimalizację
przyjętego wskaz
nika jakości - przy spełnieniu warunków
wynikających z narzuconych ograniczeń.
35
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wskaz
niki jakości bywają różne w zależności od rodzaju
układu, warunków jego pracy i postawionych mu wymagań.
Najczęściej formułuje się je jako funkcjonały całkowe, które
dla jednowymiarowych ciągłych i stacjonarnych układów
sterowania mają postać:
tr
" k
I = f[y(t),y(t),...,y(t),u(t)]dt
+"
t0
k d" n-1
gdzie: n - rząd równania opisującego układ sterowania.
36
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przy takim sformułowaniu problemu sterowania występują
dwa zagadnienia:
znalezienie struktury i parametrów układu, przy
których dla danych ograniczeń i zadanych typowych
przebiegów sygnału sterującego, wskaz
nik jakości
osiąga minimalną wartość - jest to zagadnienie
syntezy układu sterowania.
wyznaczanie takiego sterowania u(t), które
przeprowadza dany układ z pewnego stanu
początkowego do pewnego stanu końcowego w
sposób zapewniający minimalizację wskaz
nika jakości
przy zachowaniu narzuconych ograniczeń.
37
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Ponieważ całkowe kryteria jakości stosuje się w
przypadkach, gdy głównym celem staje się ocena jakości
pracy układu, w wybranym przedziale czasowym często
stosuje się kryterium całki kwadratu uchybu w postaci:
ts
J (xT Qx uT Ru)dt
= +
+"
0
gdzie:
Q i R - dodatnio określone macierze wagowe,
x i u - odpowiednio wektory stanu i wektor sterowań.
38
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Kryterium jakości w formie kwadratowej zawiera odchylenia
zarówno zmiennych stanu x, jak i zmiennych sterujących u,
od ich wartości optymalnych dla stanu ustalonego w
zakresie rozpatrywanego przedziału czasu sterowania ts.
Jeżeli układ sterowania opisany jest równaniem stanu:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
i czas sterowania ts jest zadany, zadanie polega na
wyznaczeniu sterowania spełniającego powyższe równanie,
oraz minimalizującego funkcjonał (wskaz
nik jakości).
39
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Synteza układów liniowych sterowania automatycznego Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
W zagadnieniach związanych z syntezą często spotykany
jest wskaz
nik jakości będący całką kwadratu uchybu w
postaci:
+"
2
J = Ed (t)dt
E
+"
0
którą wyznacza się dla typowych stanów przejściowych w
rozważanym układzie.
Gdy układ jest stabilny asymptotycznie, a jego parametry są
tak dobrane, że odpowiedz
jednostkowa ma przebieg
aperiodyczny, to wtedy przy zmniejszeniu wskaz
nika jakości
zmniejszajÄ… siÄ™ czasy tm, tr oraz maksymalne
przeregulowanie.
40