LISTA 8/ MATEMATYKA/ LOGISTYKA/ STUDIA NIESTACJONARNE
Pochodne wyższych rzędów. Wypukłość. Reguła de l Hospitala
1. Obliczyć drugą pochodną funkcji:
3
a) f (x) =ð x5 ; b) f (x) =ð ; c) f x =ð e-ðx ; d) f x =ð e3x ;
(ð )ð (ð )ð
x7
3x -ð 2
e) f (x) =ð e-ð3x ; f) f (x) =ð e2 x4 ; g) f (x) =ð x2e-ð3x ; h) f (x) =ð ;
4x +ð1
3
i) f (x) =ð x5 (4 -ð x3 ) ; j) f (x) =ð sin(4x -ð 2) ; k) f (x) =ð ;
1+ð 2e-ð4 x
2ex
3
l) f (x) =ð ; Å‚) f (x) =ð 3e7 ; m) f (x) =ð 7e2 sin x .
ex +ð 5
2. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji:
2x -ð 3
a) f (ðx)ð =ð x3 -ð 3x2 +ð 7x -ð1 ; b) f (ðx)ð =ð x4 -ð 2x3 +ð x2 +ð 7 ; c) f (ðx)ð =ð ;
x +ð1
1
d) f x =ð x 3 -ð x ; e) f x =ð x2 +ð ; f) f x =ð ln x -ð x ;
(ð )ð (ð )ð2 (ð )ð (ð )ð
x2
2
x2 -ð 5x +ð 6
g) f x =ð e-ðx ; h) f x =ð xe-ðx ; i) f x =ð ;
(ð )ð (ð )ð (ð )ð
x2 +ð1
j) f x =ð (x2 +ð 2)e-ðx ; k) f x =ð (x2 +ð1)ex ; l) f (x) =ð x5 -ð 2x4 .
(ð )ð (ð )ð
3. Wyznaczyć przedziaÅ‚y wypukÅ‚oÅ›ci, wklÄ™sÅ‚oÅ›ci, punkty przegiÄ™cia, granice w 0 i Ä„ð i na-
szkicować wykres funkcji logistycznej:
2ex 3 ex
a) f (x) =ð ; b) f (x) =ð ; c) f (x) =ð .
ex +ð 5 1+ð 2e-ð4x 1+ð ex
4. Obliczyć (korzystając z reguły de l Hospitala, tam gdzie jest to możliwe) granice:
4x3 +ð 3x2 -ð x +ð 3 5x3 -ð 3x +ð1 x3 -ð x x +ð 2
a) lim ; b) lim ; c) lim ; d) lim ;
x®ðÄ„ð x®ðÄ„ð x®ð1 x®ð-ð2
2x3 +ð 5x -ð1 4x2 +ð 2x -ð 3 x -ð1 x2 -ð 4
x2 -ð 2x +ð1 3x -ð1 x +ð 7 -ð 3 2x -ð 8
e) lim ; f) lim ; g) lim ; h) lim ;
x®ð1 x®ð0 x®ð2 x®ð3
x2 +ð x -ð 2 x2 +ð 3x x -ð 2 x -ð 3
sin(3x) ln x x3 -ð x x2 -ð 6x +ð 5
i) lim ; j) lim ; k) lim ; l) lim .
x®ð0 x®ð1 x®ð1 x®ð5
2x x2 -ð1 x -ð 4 x2 -ð 7x +ð10
Obowiązują dodatkowo zadania z książki M. Matłoki Zastosowanie matematyki w ekonomii