LISTA 12/ MATEMATYKA/ LOGISTYKA/ STUDIA NIESTACJONARNE
Szeregi.
1. Obliczyć n - tą sumę częściową szeregów:
i
Ą� Ą� Ą� Ą�
1 1
a) ; b) -� ; c) ; d*) .
�� ��
�� ��ć� 3 �� ��i ��
2i 2 i(i +�1)
Ł� ł�
i=�1 i=�1 i=�1 i=�1
2. Sprawdzić warunek konieczny zbieżności szeregów:
Ą� Ą� Ą� Ą�
1 1 ln n n
a) ; b) ; c) ; d) ;
�� �� �� ��
n n
n n n(n +�1)
n=�1 n=�1 n=�1 n=�1
n
n
Ą� Ą� Ą�
ć�
2n
��
e) ; f) ; g) .
�� ��
�� ���� 2 -�1�� ��ć� e ��
��
n! 2
2 +�1�� Ł� ł�
n=�1 n=�1 n=�1
Ł� ł�
3. Zbadać zbieżność szeregów:
Ą� Ą� Ą� Ą�
1 n n! 3n
a) ; b) ; c) ; d) ;
�� �� �� ��
(n +� 2)! (n +�1)!
n n n(n +� 2)
n=�1 n=�1 n=�1 n=�1
n n
n
Ą� Ą� Ą� Ą�
ć� �� ć� ��
1
e) ; f) (�1-� 3)� .
�� ���� 2 �� ; g) ����1+� 2 �� ; h) ��
�� �� �� ��
2n +�1 2 2
n=�1 n=�1 n=�1 n=�1
Ł� ł� Ł� ł�
4. Zbadać zbieżność oraz bezwzględną zbieżność szeregów:
n
ć� ��
n
�� ��
Ą� Ą� Ą� Ą�
(-�1)n (-�1)n
a) ; b) ; c*) .
�� ��
�� �� ���� -�1 �� ; d) ��ć� 2n -�1��
2n 2n +�1
n ��1+� 1 �� Ł� ł�
n=�1 n=�1 n=�1 n=�1
�� ��
Ł� n ł�
Ą�
xn
5*. Dla jakich wartości parametru x szereg jest zbieżny?
��
n
n=�1
6. Obliczyć sumy szeregów:
n
n
Ą� Ą� Ą� Ą�
ć� ��
1 n
a) ; b) ; c*) ; d)
�� ��
�� ��ć� -�1 �� �� ����1+� 2 �� .
�� ��
3n 2
2 n(n +�1)
n=�1 n=�1 Ł� ł� n=�1 n=�1
Ł� ł�
7. Zamień ułamki okresowe na zwykłe:
a) 0,(9) ; b) 0,0(27) ; c) 0,2(4) ; d) 0, (142857) .
Obowiązują dodatkowo zadania z książki M. Matłoki Zastosowanie matematyki w ekonomii