LISTA 7/ MATEMATYKA/ LOGISTYKA/ STUDIA NIESTACJONARNE
Pochodna funkcji
1. Obliczyć pochodną funkcji:
a) f (x) =ð 2x5 -ð 4x2 +ð 7 ; b) f (x) =ð 4 x -ð x3 ; c) f (x) =ð (3x4 -ð 7x)(sin x -ð 3) ;
5
d) f (x) =ð x8 +ð 2x ; e) f (x) =ð -ð3x4 +ð 5sin x -ð ln x ; f) f (x) =ð (sin x)5x ;
g) f (x) =ð (ctgx -ð 3)(2x7 -ð ln x) ; h) f (x) =ð (x5 -ð 7)10 ; i) f (x) =ð e3x ;
2
1
j) f (x) =ð e7 x-ð4 ; k) f (x) =ð ex -ð5 ; l) f (x) =ð ; Å‚) f (x) =ð (x +ð 5)ex ; m) f (x) =ð (3x -ð 7)ex ;
x4
x 3x2 -ð x3 x2
n) f (x) =ð (4x +ð1)e2 x ; o) f (x) =ð ; p) f (x) =ð ; q) f (x) =ð ;
x2 -ð 3x +ð 4 5 +ð 4x5 x2 -ð x +ð 5
r) f (x) =ð ctgx ; s) f (x) =ð ctg x ; t) f (x) =ð ln(x2 +ð x) ;
ln x
u) f (x) =ð 2arctgx ; v) f (x) =ð e ; x) f (x) =ð ln(4x +ð 3) ; y) f (x) =ð 2sin(3x) .
2. Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji:
x
a) f (x) =ð x2 -ð 5x +ð 4 ; b) f (x) =ð 2x3 -ð 21x2 +ð 60x ; c) f (x) =ð ;
x2 -ð 3x +ð16
x4 x3
d) f (x) =ð x3 -ð 2x2 +ð 2x ; e) f (x) =ð -ð -ð x2 f) f (x) =ð x2(1-ð x)2 ;
4 3
1
g) f (x) =ð (x2 +ð1)ex ; h) f (x) =ð 4x2 -ð ; i) f (x) =ð e-ð x3 ;
x
2
x4 ln x
j) f (x) =ð -ð 2x2 ; k) f (x) =ð xe-ð3x ; l) f (x) =ð ;
4 x
Å‚) f (x) =ð (3x -ð 5)4 +ð 7 ; m) f (x) =ð (x2 -ð8)ex ; n) f (x) =ð (x2 -ð 3)e-ðx .
3. Dla jakich wartoÅ›ci parametru a funkcja f (x) =ð x3 -ð ax2 +ð 5x ma w punkcie x =ð 1 lokalne ekstre-
mum? Jakie to jest ekstremum? Wyznaczyć przedziały monotoniczności tej funkcji.
4. Wykazać, że funkcja f (x) =ð 5x -ð cos x nie ma ekstremów lokalnych. Wyznaczyć przedziaÅ‚y mono-
toniczności tej funkcji.
5. Wykazać, że funkcja f (x) =ð -ð6x5 +ð15x4 -ð10x3 nie ma ekstremów lokalnych. Wyznaczyć przedzia-
ły monotoniczności tej funkcji.
6. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale:
a) f (x) =ð x2 -ð 7x +ð10 , -ð3, 4 ; b) f (x) =ð x4 -ð 2x2 -ð 3 , -ð2,2 ;
c) f (x) =ð 8x -ð 3, 1,5 ; d) f x =ð x2 ×ðex , -ð1, 2 ;
(ð )ð
x
e) f (x) =ð , 0,3 .
x2 -ð x +ð 4
7. Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) w punkcie x0 :
a) f (x) =ð x3 -ð 2x2 , x0 =ð 1, b) f (x) =ð 2x2 +ð 3x -ð1, x0 =ð 2 , c) f (x) =ð x4 +ð 3x2 , x0 =ð -ð1,
2x -ð 3 x2 +ð1
d) f (x) =ð , x0 =ð 0 , e) f (x) =ð , x0 =ð 1, f) f (x) =ð x ×ðex , x0 =ð 0 .
x +ð1 x
Obowiązują dodatkowo zadania z wiadomej książki