PRAWDOPODOBIEC
STWO
PRAWDOPODOBIEC
STWO
Zdarzenie losowe (lub elementarne) jest pojęciem, którego się nie definiuje.Wszystkie zdarzenia
elementarne tworzą zbiór E zdarzeń elementarnych nazywany przestrzenią zdarzeń elementarnych.
Dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych jest także
zdarzeniem losowym A.
AKSJOMATYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEC
STWA
AKSJOMAT 1:
Każdemu zdarzeniu A wchodzącemu w skład pewnej przestrzeni zdarzeń jest
przyporządkowana liczba P(A) z przedziału
0 d" P(A) d" 1
którą nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia.
AKSJOMAT 2:
Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego
P(E) = 1
AKSJOMAT 3:
Prawdopodobieństwo sumy skończonej lub przeliczalnej liczby wykluczających
się parami zdarzeń A1, A2, A3, ... jest równa sumie prawdopodobieństw
poszczególnych zdarzeń:
P(A1 *" A2 *" A3 *" ...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 2 1
E
Prawdopodobieństwo warunkowe:
A A )" B B
P(A )" B)
P(B/A) =
P(A)
Jeżeli zdarzenia są niezależne tzn. P(B/A) = P(B)
to: P(A )" B) = P(A)�P(B)
Twierdzenie Bayesa:
P(A )" B)
P(A )" B)
P(A/B) =
P(B/A) =
P(B)
P(A)
P(A )" B) = P(A/B)�P(B)
P(A )" B) = P(B/A)�P(A)
P(B/A)�P(A) = P(A/B)�P(B)
P(A/B)�P(B)
P(B/A) =
P(A)
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 2 2
ZMIENNA LOSOWA
ZMIENNA LOSOWA
ZMIENNA LOSOWA  parametr klasyfikujący zdarzenia  każdemu zdarzeniu
przypisana jest inna wartość zmiennej.
ZMIENNA LOSOWA to wielkość, która może przyjmować wartości liczbowe
z pewnego obszaru zmienności, z określoną częstością (prawdopodobieństwem)
ROZKA
AD PRAWDOPODOBIEC
STWA ZMIENNEJ LOSOWEJ
 zależność prawdopodobieństwa od wartości zmiennej losowej.
Zmienna losowa dyskretna: xi, P(xi)
Zmienna losowa ciągła: x, P(x0 < x < x0 +"x)
n(xi )
P(xi ) = , dla N "
N
n(xi)  liczba zdarzeń, którym przypisana jest zmienna xi ,
N  liczba wszystkich zdarzeń.
n(x0 < x < x0 + "x)
P(x0 < x < x0 + "x) = , dla N "
N
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 2 3
G
STOŚĆ PRAWDOPODOBIEC
STWA
G
STOŚĆ PRAWDOPODOBIEC
STWA
Dla zmiennej losowej ciągłej wygodniej jest zdefiniować wielkość nazywaną
G
STOŚCI
PRAWDOPODOBIEC
STWA:
P(x0 < x < x0 + "x)
f (x0 ) = lim
"x0
"x
Przy takiej definicji możemy napisać, że:
x
b
P(xa < x < xb ) = (x)dx
+"f
xa
DYSTRYBUANTA:
x
0
F(x0 ) = (x)dx = P(-" < x < x0 )
+"f
-"
Z definicji prawdopodobieństwa:
n
"P(x ) = 1
i
i=1
+"
+"f (x)dx = 1
-"
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 2 4
PARAMETRY ROZKA
ADU ZMIENNEJ LOSOWEJ
PARAMETRY ROZKA
ADU ZMIENNEJ LOSOWEJ
WARTOŚĆ OCZEKIWANA (ŚREDNIA)
+"
n
E(x) = E(x) = x �"f(x)dx
"x �" P(xi )
i
+"
i=1
-"
Taka definicja jest zgodna ze znanym pojęciem średniej arytmetycznej:
Przyjmijmy że mamy N wartości xj , przy czym wartości te powtarzają się, tak że
dana wartość xi występuje ni razy. Możemy wówczas napisać:
N n n n
1 ni
xśr = �" xi =
"x = 1 "n �" xi = " "P(x ) �"xi
j i i
N N N
j=1 i=1 i=1 i=1
WARIANCJA I DYSPERSJA
- stanowią miarę rozrzutu wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej.
+"
n
V(x) = V(x) =
"[x - E(x)]2 �" P(xi )
i
+"[x - E(x)]2 �"f (x)dx
i=1
-"
D(x) = V(x)
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 2 5
MOMENTY ROZKA
ADÓW ZMIENNEJ LOSOWEJ
MOMENTY ROZKA
ADÓW ZMIENNEJ LOSOWEJ
MOMENT RZ
DU n:
mn(x) = E(xn)
+"
k
n
mn (x) = mn (x) = xn �"f(x)dx
"x �" P(xi )
i
+"
i=1
-"
MOMENT CENTRALNY RZ
DU n:
Mn(x) = E{ [x-E(x)]n }
+"
k
Mn (x) = Mn (x) =
"[x - E(x)]n �" P(xi )
i
+"[x - E(x)]n �"f (x)dx
i=1
-"
M1(x) = 0
M2(x) = V(x) - opisuje rozrzut x
M3(x) - opisuje asymetrię rozkładu, dla symetrycznego M3(x) = 0
M4(x) - opisuje spłaszczenie rozkładu
skośność spłaszczenie
M3(x) M4 (x)
ł1 = ł2 = - 3
[D(x)]3 [D(x)]4
WARTOŚĆ MODALNA  wartość zmiennej losowej,
dla której prawdopodobieństwo (gęstość prawdop.) ma największą wartość.
MEDIANA  wartość xm zmiennej losowej, która dzieli obszar jej zmienności na
dwa obszary o równym prawdopodobieństwie tzn.
P(-" < x < xm) = P(xm < x <+ ") = 0.5
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 2 6