ROZKA
AD PRAWDOPODBIEC
STWA WIELU
ROZKA
AD PRAWDOPODBIEC
STWA WIELU
ZMIENNYCH LOSOWYCH
ZMIENNYCH LOSOWYCH
W przypadku gdy mamy do czynienia z n zmiennymi losowymi możemy
prawdopodobieństwo, iż przyjmą one wartości x1, x2, ... , xn opisać wielowymiarową funkcją
rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x1, x2, ... , xn ).
W szczególnym przypadku, gdy zmienne te są niezależne, funkcję f(x1, x2, ... , xn ) można
przedstawić jako iloczyn funkcji gęstości prawdopodobieństwa poszczególnych zmiennych:
f(x1, x2, ... , xn ) = f(x1)�f( x2)� ... �f( xn )
Warunek normalizacyjny funkcji f(x1, x2, ... , xn ), wynikający z definicji
prawdopodobieństwa ma dla wielowymiarowej funkcji rozkładu postać:
" " "
...
+" +" +"f(x , x2, ... xn )dx1�dx2� ... �dxn =1
1
-" -" -"
Wartość oczekiwaną zmiennej xi definiujemy wzorem:
" " "
E(xi) = ... xi�f(x1, x2, ... xn )dx1�dx2� ... �dxn
+" +" +"
-" -" -"
Możemy także wprowadzić pojęcie wartości oczekiwanej dowolnej funkcji zmiennych
losowych x1, x2, ... , xn . Jeśli funkcję tą oznaczymy jako y(x1, x2, ... , xn ) to możemy
" " "
napisać:
E(y) = ... y( x1, x2, ... xn )�f(x1, x2, ... xn )dx1�dx2� ... �dxn
+" +" +"
-" -" -"
Przykładami takich funkcji są wzory na estymatory wartości oczekiwanej (wartość średnia)
czy dyspersji (odchylenie standardowe).
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 8 1
WARIANCJA, KOWARIANCJA
WARIANCJA, KOWARIANCJA
Podobnie jak wartość oczekiwaną zmiennej losowej xi możemy zdefiniować jej
wariancję:
" " "
V(xi) = ...
+" +" +"[x - E(xi)]2�f(x1, x2, ... xn )dx1�dx2� ... �dxn
i
-" -" -"
Dla rozkładów prawdopodobieństwa wielu zmiennych losowych możemy jednak pojęcie
wariancji rozszerzyć na przypadek dwóch dowolnych zmiennych losowych wprowadzając
tym samym pojęcie kowariancji.
Kowariancja zmiennych losowych xi i xj jest zdefiniowana następująco:
" " "
cov(xi, x ) = ...
+" +" +"[x - E(xi)]�[x - E(x )]�f(x1, x2, ... xn )dx1�dx2� ... �dxn
j i j j
-" -" -"
Kowariancja informuje nas o tym, czy zmienne xi i xj są ze sobą powiązane. Jeżeli zmienne
te są niezależne to ich kowariancja = 0.
A
atwo zauważyć że: cov(xi, xi) = V(xi) oraz cov(xi, xj) = cov(xj, xi)
Zbiór wartości cov(xi, xi) dla
V (x1) cov(x1, x2) cov(x1, x3) ... cov(x1, xn)
�ł łł
i, j = 1, 2, ... , n nazywa się
�łcov(x , x1) V (x2) cov(x2, x3) ... cov(x2, xn)śł
2
�ł śł
macierzą kowariancji.
cov(x3, x1) cov(x3, x2) V (x3) ... cov(x3, xn)
�ł śł
Ponieważ cov(xi, xi) = cov(xi, xi)
�ł śł
... ... ... ... ...
�ł śł
macierz kowariancji jest
�ł śł
, x1) cov(xn, x2) cov(xn, x3) ... V (xn)
symetryczna.
�łcov(xn �ł
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 8 2
WSPÓA
CZYNNIK KORELACJI
WSPÓA
CZYNNIK KORELACJI
Oprócz kowariancji definiuje się także inne narzędzie przydatne do określenia powiązania
pomiędzy zmiennymi losowymi. Jest nim współczynnik korelacji zdefiniowany jako:
cov(xi, xj )
rij =
V (xi)�V (xj )
Współczynnik korelacji przyjmuje wartości z zakresu od -1 do 1.
Jeżeli rij > 0 oznacza to, że wzrostowi wartości xi towarzyszy wzrost wartości xj - określamy
je wtedy jako dodatnio skorelowane.
Jeżeli rij< 0 to wzrostowi wartości xi towarzyszy spadek wartości xj - zmienne te określa się
jako skorelowane ujemnie.
W przypadku gdy rij = 0 mówimy, że zmienne xi oraz xj są nieskorelowane.
W szczególności rij = 0 dla zmiennych niezależnych, jednakże fakt zerowej wartości
współczynnika korelacji nie jest równoważny niezależności zmiennych
(tzn. może zdarzyć się tak, że współczynnik korelacji jest równy zeru, a zmienne są od siebie
zależne).
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 8 3
PRAWO PROPAGACJI NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PRAWO PROPAGACJI NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
Oprócz wielkości mierzonych bezpośrednio w praktyce pomiarowej często mamy do
czynienia z wielkościami, które wyznaczamy pośrednio. Przeważnie mierzymy wówczas
kilka innych wielkości x1, x2, ... , xn po czym na podstawie otrzymanych wyników
wyliczamy ze wzoru wartość interesującej nas wielkości y = y(x1, x2, ... , xn ). Powstaje
zatem pytanie jak na podstawie wartości niepewności pomiarów - u(x1), u(x2), ... , u(xn)
wyznaczyć niepewność u(y).
Ponieważ w omawianym statystycznym modelu opisu niepewności jako niepewność
przyjmujemy oszacowanie dyspersji możliwych wartości wielkości mierzonej, również w
tym przypadku interesować nas będzie dyspersja oraz wariancja zmiennej losowej y.
Okazuje się, że rozważania analityczne możemy przeprowadzić tylko wówczas, gdy
zależność y = y(x1, x2, ... , xn ) jest liniowa lub gdy możemy ją traktować jako liniową w
zakresie zmian wartości zmiennych losowych x1, x2, ... , xn wynikających z rozrzutu każdej
z nich (tzn. gdy niepewności pomiarów - u(x1), u(x2), ... , u(xn) są stosunkowo małe).
W celu uproszczenia przekształceń rozważmy nieliniową funkcję dwóch zmiennych
losowych x1, x2 ,,którą oznaczymy y = y(x1, x2 ).
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 8 4
Przedstawmy funkcję y(x1, x2) w postaci rozwinięcia w szereg wokół wartości
oczekiwanych zmiennych x1, x2 - �1, �2 :
�ł �ł �ł �ł
"y "y
y(x1, x2) = y(�1,�2) + �ł �ł (x1 - �1) + �ł �ł (x2 - �2) + ...
�ł �ł �ł �ł
"x1 "x2
�ł łł�1 �ł łł�2
Jeżeli przyjmiemy, że rozrzut zmiennych x1, x2 jest mały, wówczas możemy w powyższym
rozwinięciu pozostawić tylko wyrazy liniowe.
Wyznaczmy teraz wariancję V(y). W tym celu skorzystamy z zależności:
V(y) = E(y2) -(E(y))2
ńł �ł
�ł �ł �ł �ł
"y "y
E(y) = E�ły(�1,�2) + �ł �ł (x1 - �1) + �ł �ł (x2 - �2)�ł =
�ł żł
�ł �ł �ł �ł
"x1 "x2
�ł �ł łł�1 �ł łł�2 �ł
ół �ł
�ł �ł �ł �ł
"y "y
= E(y(�1,�2)) + �ł �ł E(x1 - �1) + �ł �ł E(x2 - �2) =
�ł �ł �ł �ł
"x1 "x2
�ł łł�1 �ł łł�2
= y(�1,�2)
Zatem:
(E(y))2 = (y(�1, �2 ))2
W celu wyznaczenia E(y2) wyliczmy najpierw y2 .
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 8 5
2
ńł �ł
�ł �ł �ł �ł
"y "y
�ły(� ,�2) + �ł �ł (x1 - �1) + �ł �ł (x2 - �2)�ł
y2 = =
�ł żł
1
�ł �ł �ł �ł
"x1 "x2
�ł �ł łł�1 �ł łł�2 �ł
ół �ł
ńł�ł "y �ł �ł
�ł �ł
"y
= y(�1,�2)2 + 2y(�1,�2)�ł�ł �ł (x1 - �1) + �ł �ł (x2 - �2)�ł +
�ł�ł "x1 �ł żł
�ł �ł
"x2
�ł�ł łł�1 �ł łł�2 �ł
ół �ł
2
ńł�ł "y �ł �ł
�ł �ł
"y
�ł�ł �ł (x1 - �1) + �ł �ł (x2 - �2)�ł
+
=
�ł�ł "x1 �ł żł
�ł �ł
"x2
�ł�ł łł�1 �ł łł�2 �ł
ół �ł
�ł �ł �ł �ł
"y "y
= y(�1,�2)2 + 2y(�1,�2)�ł �ł (x1 - �1) + 2y(�1,�2)�ł �ł (x2 - �2) +
�ł �ł �ł �ł
"x1 "x2
�ł łł�1 �ł łł�2
2 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"y "y "y "y
+ �ł �ł (x1 - �1)2 + 2�ł �ł (x1 - �1)�ł �ł (x2 - �2) + �ł �ł (x2 - �2)2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"x1 "x1 "x2 "x2
�ł łł�1 �ł łł�1 �ł łł�2 �ł łł�2
Zatem:
�ł �ł �ł �ł
"y "y
E(y2) = E(y(�1,�2)2) + 2y(�1,�2)�ł �ł E(x1 - �1) + 2y(�1,�2)�ł �ł E(x2 - �2) +
�ł �ł �ł �ł
"x1 "x2
�ł łł�1 �ł łł�2
2 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"y "y "y "y
+ �ł �ł E[(x1 - �1)2] + 2�ł �ł �ł �ł E[(x1 - �1)(x2 - �2)]+ �ł �ł E[(x2 - �2)2]
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"x1 "x1 "x2 "x2
�ł łł�1 �ł łł�1�ł łł�2 �ł łł�2
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 8 6
�ł �ł �ł �ł
"y "y
E(y2) = E(y(�1,�2)2) + 2y(�1,�2)�ł �ł E(x1 - �1) + 2y(�1,�2)�ł �ł E(x2 - �2) +
�ł �ł �ł �ł
"x1 "x2
�ł łł�1 �ł łł�2
2 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"y "y "y "y
+ �ł �ł E[(x1 - �1)2] + 2�ł �ł �ł �ł E[(x1 - �1)(x2 - �2)]+ �ł �ł E[(x2 - �2)2]
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"x1 "x1 "x2 "x2
�ł łł�1 �ł łł�1�ł łł�2 �ł łł�2
Ponieważ: E(y(�1, �2))2 = y(�1, �2)2
E(x1 - �1) = 0
E(x2 - �2) = 0
E[( x1 - �1)2] = V(x1)
E [( x2 - �2)2] = V(x2)
E [( x1 - �1) ( x2- �2)] = cov(x1 ,x2)
zatem:
2 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"y "y "y "y
E(y2) = y(�1,�2)2 + �ł �ł V(x1) + �ł �ł V(x2) + 2�ł �ł �ł �ł cov(x1,x2)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"x1 "x2 "x1 "x2
�ł łł�1 �ł łł�2 �ł łł�1�ł łł�2
oraz
V(y) = E(y2) - (E(y))2 =
2 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"y "y "y "y
= y(�1,�2)2 + �ł �ł V(x1) + �ł �ł V(x2) + 2�ł �ł �ł �ł cov(x1,x2) - y(�1,�2)2 =
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"x1 "x2 "x1 "x2
�ł łł�1 �ł łł�2 �ł łł�1�ł łł�2
2 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"y "y "y "y
= �ł �ł V(x1) + �ł �ł V(x2) + 2�ł �ł �ł �ł cov(x1,x2)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"x1 "x2 "x1 "x2
�ł łł�1 �ł łł�2 �ł łł�1�ł łł�2
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 8 7
Otrzymana zależność to uogólniona postać prawa propagacji wariancji. -
Jeżeli y=y(x1,x2) to
2 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"y "y "y "y
V(y) = �ł �ł V(x1) + �ł �ł V(x2) + 2�ł �ł �ł �ł cov(x1,x2)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"x1 "x2 "x1 "x2
�ł łł�1 �ł łł�2 �ł łł�1�ł łł�2
Zatem jeżeli przyjmiemy, że zmierzyliśmy bezpośrednio dwie wielkości i otrzymaliśmy w
wyniku pomiarów wartości x1sr i x2sr z ich niepewnościami oraz wyliczamy wartość y to
prawo propagacji niepewności możemy sformułować jako:
2 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"y "y "y "y
u(y) = �ł �ł u(x1sr )2 + �ł �ł u(x2sr )2 + 2�ł �ł �ł �ł cov(x1,x2)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"x1 "x2 "x1 "x2
�ł łłx1sr �ł łłx2sr �ł łłx1sr �ł łłx2sr
Jeżeli pomiary wielkości x1,x2 będą niezależne (z takim przypadkiem mamy najczęściej do
czynienia) to wzory powyższe przyjmują postać:
2 2
�ł �ł �ł �ł
"y "y
V(y) = �ł �ł V(x1) + �ł �ł V(x2)
�ł �ł �ł �ł
"x1 "x2
�ł łł�1 �ł łł�2
2 2
�ł �ł �ł �ł
"y "y
u(y) = �ł �ł u(x1sr )2 + �ł �ł u(x2sr )2
�ł �ł �ł �ł
"x1 "x2
�ł łłx1sr �ł łłx2sr
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 8 8