Model matematyczny
maszyny asynchronicznej
MODEL MASZYNY UNIWERSALNEJ
1
Model matematyczny maszyny
asynchronicznej
Równania napięciowe i strumieniowo-
prÄ…dowe
Założenia upraszczające
1. rozpatrywany jest silnik trójfazowy
symetryczny,
2. pomija się wpływ nasycenia magnetycznego,
zjawiska histerezy i prądów wirowych,
3. pomija się wyższe harmoniczne
przestrzennego rozkładu pola w szczelinie
powietrznej,
4. rozłożone przestrzennie uzwojenia stojana i
wirnika zastępuje się uzwojeniami skupionymi,
5. rezystancje i reaktancje uzwojeń uważa się za
stałe.
2
Model matematyczny maszyny
asynchronicznej
Równania napięciowe i strumieniowo-prądowe
d¨a
d¨A
(4)
(1) Ua = Rr Ia +
U = RsI +
A A
dt
dt
d¨b
d¨B
Ub = RRIb + (5)
(2)
UB = RsIB +
dt
dt
d¨c
d¨C (6)
Uc = RRIc +
(3)
UC = RsIC +
dt
dt
¨A = LAI + M IB + MCAIC + M Ia + MbAIb + McAIc
A BA aA
¨B = M I + LBIB + MCBIC + M Ia + MbBIb + McBIc
AB A aB
¨C = M I + M IB + LC IC + M Ia + MbC Ib + McC Ic
AC A BC aC
(7)
¨a = M I + M IB + MCaIC + LaIa + MbaIb + McaIc
Aa A Ba
¨b = M I + M IB + MCbIC + M Ia + LbIb + McbIc
Ab A Bb ab
¨c = M I + M IB + MCcIC + M Ia + MbcIb + LcIc
3
Ac A Bc ac
Model matematyczny maszyny
asynchronicznej
Równania napięciowe i strumieniowo-prądowe
Indukcyjności własne i wzajemne
¨A = LAI + M IB + MCAIC + M Ia + MbAIb + McAIc
A BA aA
Indukcyjności własne :
zAÅš zA(ÅšMA + ÅšÃA)
AA
LA = = = LMA + LÃA , (8)
I I
A A
gdzie: LMA indukcyjność główna uzwojenia fazy A,
LÃA indukcyjność rozproszenia uzwojenia fazy A,
zA liczba zwojów.
Indukcyjności wzajemne faz stojana lub wirnika
2Ä„
öÅ‚
zAÅšMB cosëÅ‚-
ìÅ‚ ÷Å‚
¨BA zAÅšBA 1 1
3
íÅ‚ Å‚Å‚
M = = = = - LMB = - LMA
BA
IB IB IB 2 2
1
4
M = M = MCA = M = - LMA (9)
BA AB AC
2
Model matematyczny maszyny
asynchronicznej
Równania napięciowe i strumieniowo-prądowe
Indukcyjności własne i wzajemne
¨A = LAI + M IB + MCAIC + M Ia + MbAIb + McAIc
A BA aA
Indukcyjności wzajemne stojan-wirnik
zaŚAa zaŚMA cosł
m
MaA = M = = =
Aa
I I
A A
(10)
za zAŚMA cosł za
m
= = LMA cosł
m
zA I zA
A
zb 2Ä„
öÅ‚
MbA = M = LMA cosëÅ‚Å‚ +
ìÅ‚ ÷Å‚
Ab m (11)
zA 3
íÅ‚ Å‚Å‚
zc 4Ä„
öÅ‚
McA = M = LMA cosëÅ‚Å‚ +
ìÅ‚ ÷Å‚
(12)
Ac m
zA 3
íÅ‚ Å‚Å‚
5
Model matematyczny maszyny
asynchronicznej
Wektory przestrzenne i ich zastosowanie do opisu maszyny
asynchronicznej
Jeżeli w układzie trójfazowym wielkości fazowe kA, kB, kC spełniają warunek:
kA(t) + kB (t) + kC (t) = 0
(13)
to wektor przestrzenny k jest definiowany zależnością:
2
(14)
k = [1kA(t) + akB (t) + a2kC (t)]
3
2Ä„
j
1 3
(15)
3
a = e = - + j
gdzie:
2 2
jł
k = kÄ… + jk² = k(cosÅ‚ + j sinÅ‚ )= ke
(16)
2 kB + kC
ëÅ‚k - öÅ‚
(17)
kÄ… = Re(k) = = kA
ìÅ‚ ÷Å‚
A
3 2
íÅ‚ Å‚Å‚
kB - kC
(18)
k² = Im(k) =
6
3
Model matematyczny maszyny
asynchronicznej
Wektory przestrzenne i ich zastosowanie do opisu maszyny
asynchronicznej
(13)
kA(t) + kB (t) + kC (t) = 0
2
(14)
k = [1kA(t) + akB (t) + a2kC (t)]
3
jł
k = kÄ… + jk² = ke
(16)
2 kB + kC
ëÅ‚k - öÅ‚
kÄ… = Re(k) = = kA
(17)
ìÅ‚ ÷Å‚
A
3 2
íÅ‚ Å‚Å‚
kB - kC
(18)
k² = Im(k) =
3
Rzut wektora przestrzennego na osie poszczególnych faz
daje wartości wielkości fazowych
Z zależności (13), (17) i (18) można otrzymuje się:
kA(t) = kÄ… (t)
1
kB(t) = ( 3k² (t) - kÄ… (t))
2
1
7
kC (t) = -kA(t) - kB(t) = - ( 3k² (t) - kÄ… (t))
2
Model matematyczny maszyny
asynchronicznej
Transformacja wektora przestrzennego do wirującego układu współrzędnych
j(Å‚-Å‚k )
k = kx + jky = ke = keiłe- jłk = ke- jłk
k
(19)
(20)
kk =kx + jky =kej(Å‚-Å‚k) =kej(Å‚-Å‚m-(Å‚k-Å‚m)) =kei(Å‚-Å‚m)e-j(Å‚k-Å‚m) =kme-j(Å‚k-Å‚m)
8
Model matematyczny maszyny
asynchronicznej
Równania silnika w postaci wektorowej
2
k = [1kA(t) + akB (t) + a2kC (t)]
3
d¨A
2
U = RsI +
A A Å" 1
(1)
dt
3
d¨B
2
UB = RsIB +
Å" a
(2)
dt
3
d¨C 2
UC = RsIC +
Å" a
(3)2
dt
3
2 2 2 d
1U + aUB + a2UC = Rs 1IA + aIB + a2IC + 1¨A + a¨B + a2¨C
( A ) ( ) ( )
3 3 3 dt
d¨s
U = Rs I +
s s
dt
U , I , ¨s - wektory przestrzenne napiÄ™cia stojana, prÄ…du stojana
s s
i strumienia skojarzonego stojana
9
Model matematyczny