STAN USTALONY SILNIKA ASYNCHRONICZNEGO
PRZY SYMETRYCZNYM ZASILANIU
Jako stan wyjściowy do analizy stanu ustalonego przyjmijmy równania
dynamiki silnika opisanego zależnościami:
� = Lsis + L�i'
r
s
'
[1]
� = L' i' + L�is
r r
r
d�
s
us = Rsis +
dt
'
d�
dą [2]
'
r
u' = R' i' + - j �
r r r
r
dt dt
M = - pL� Im{ ji*i' } [3]
s r
Przyjmijmy, że napięcia zasilające silnik można opisać zależnościami:
usą = 2U cos�1t
[4]
us� = 2U sin(�1t)
Wektor napięcia jest zatem równy:
j�1t
us = 2Ue
[5]
Przyjmijmy, że wirnik jest zwarty oraz, że analizy dokonujemy przy założeniu
stałości prędkości obrotowej. Załóżmy, że prądy oraz strumienie są sinusoidalne:
j�1t
i = 2 I e
[6]
ss
'
j�1t
i' = 2 I e
[7]
rr
Operacja sprowadzenia wielkości wirnika na stronę stojana powoduje, że
można łatwo określić zależności pomiędzy kolejnymi składnikami indukcyjności
własnych i wzajemnych:
Ls = L� + L�s
[8]
L' = L� + L'
r �r
W takiej sytuacji w stanie elektromagnetycznie ustalonym można dokonać
różniczkowania opisanego we wzorach [2]. Otrzymamy po przekształceniach:
-1-
U = Rs I + j�1Ls I + j�1L� I
s s r
' '
[9]
0 = Rr ' I + j�1L' I + j�1L� I - j�(L' I + L� I )
r s r r s
r r
Wprowadzenie do równań fikcyjnego prądu (magnesującego):
I = I + I
[10]
� s r
Przekształca równania [9] do postaci:
U = Rs I + j�1L�s I + j�1L� I
s s �
'
[11]
0 = Rr ' I + j(�1 -�)L' I + j(�1 -�)L� I
r �
r
�r
Dzieląc równania wirnika przez:
�1 - �
s =
�1
[12]
Otrzymamy znane z teorii maszyn elektrycznych równania opisujące maszynę
indukcyjną symetryczną:
U = Rs I + j�1L�s I + j�1L� I
s s �
Rr '
'
[13]
0 = I + j�1L' I + j�1L� I
r �
r
�r
s
Rozważania opisane wyżej można uogólnić na składową zgodną i przeciwną
napięcia zasilającego, traktując, że wzór [5] dotyczy składowej zgodnej a napięcie
składowej przeciwnej wyrazimy zależnością:
j�1t
us- = 2U e
[17]
-
Przyjmując że składowa przeciwna związana jest z polem wirującym
przeciwnie do prędkości silnika otrzymując zmodyfikowany wzór [11]:
U = Rs I + j�1L�s I + j�1L� I
- s- s- �-
'
[18]
0 = Rr ' I + j(�1 +�)L' I + j(�1 +�)L� I
- r- �-
r �r
U = Rs I + jX I + jX I
- s- s s- � �-
�1 +� �1 +�
'
'
[19]
0 = R' I + j Xr I + j X� I
- r- �-
r
r
�1 �1
Wprowadzając pojęcie poślizgu dla składowej przeciwnej:
�1 +� �1 +�1 -�1 +� �1 -�
s- = = = 2 - = 2 - s
[20]
�1 �1 �1
po podzieleniu równania 19 przez s otrzymamy:
-2-
U = Rs I + jXs I + jX� I
- s- s- � -
R'
'
'
r
[21]
0 = I + jXr I + jX� I
- r - � -
r
2 - s
Równania [13] określają schemat zastępczy dla stanu ustalonego dla składowej
zgodnej:
'
Rr
'
Rs jX�s jX�r s
I
I 
s
r
I
m
Em
Us
R
jX
Fe
m
W schemacie tym  sztucznie dorysowano rezystancję Rfe. Rezystancję tę
wprowadza się dla uwzględnienia w schemacie zastępczym strat w żelazie (na prądy
wirowe i histerezę), należy przy tym pamiętać, iż jej wartość jak i sposób
umieszczenia w schemacie zastępczym jest określona jedynie dla przybliżonego
uwzględnienia strat i nie ma żadnego związku z modelem matematycznym
opisującym stan dynamiczny i stan ustalony maszyny asynchronicznej
MOMENT W STANIE USTALONYM
Jako stan wyjściowy przyjmijmy
3
Me = pL� Im{isi'*}
r
2
W stanie ustalonym:
j�1t '
j�1t
is = 2 I e i' = 2 I e
s
r r
Stąd po podstawieniu:
3
'*
j�1t
Me = pL� Im{ 2 I e 2I e- j�1t}
s
r
2
3
'*
Me = pL� Im{2I I }
s
r
2
'*
Me = 3pL� Im{I I }
s
r
Biorąc pod uwagę, że:
-3-
I = I + I
s r �
Me = 3pL� Im{(I + I )I'*}
r �
r
'* '*
Me = 3pL� Im{(I I + I I )}
r �
r r
'*
2
M = 3 pL� Im{I + I I }
�
e
r
r
L��1
'*
M = 3 p Im{I I }
�
e
r
�1
X
'*
�
M = 3 p Im{I I }
�
e
r
�1
3p
'*
Me = Im{- jjX I I }
�
�
r
�1
'
Rr
'
jX� I = E = I ( + jXr )
� r
s
'
3p Rr
'*
'
Me = Im{- jI ( + jXr )I }
r
r
�1 s
'
3p Rr
'2 '
Me = Im{- jI ( + jXr )}
r
�1 s
'
3p Rr
'2 '
Me = I Im{- j + Xr}
r
�1 s
'
3p Rr
'2
Me = - I
r
�1 s
-4-
' '2
RrI
3p mp "Pcu2
r
Me = - =
�1 s �1 s
� (1 - s )
1
&! =
p
m "Pcu2
Me = (1- s)
&! s
Moc mechaniczna w jednej fazie wynosi zatem:
(1- s)
PM = "Pcu2
s
Jest zatem równoznaczna z mocą traconą na rezystancji o wartości:
(1- s)
'
RM = Rr
s
Do identycznych wniosków dochodzimy analizując schemat zastępczy
maszyny asynchronicznej w stanie ustalonym:
'
Rr (1- s)
' '
= Rr + Rr
s s
Do zagadnień analizy stanów ustalonych możemy rezystancję RM traktować
jak rezystancję odpowiadającą mocy mechanicznej na wale maszyny. Zgodnie
z powyższym możemy napisać:
"Pcu2
Pi = "Pcu2 + PM =
s
PM = Pi (1- s)
(1- s)
PM = "Pcu2
s
-5-