Zadanie 2.1
Obliczyć czas, po którym temperatura modelowej bryły pokazanej na rys.2.2.3 osiągnie
wartość 3/4�U, czyli 75% ustalonej różnicy pomiędzy temperaturą bryły i temperaturą
otoczenia jeżeli wiadomo, że stała czasowa Ś = 60 minut oraz że w chwili początkowej
temperatura bryły była równa temperaturze otoczenia.
Rozwiązanie:
Należy skorzystać ze wzoru
� = �U � (1  e t / Ś) + �0 � e t / Ś
który został wyprowadzony w podrozdziale 2.2. Podstawiając po lewej stronie powyższego wzoru
3�U / 4 i przyjmując, że początkowa nadwyżka temperatury jest równa zero, uzyskuje się
t / Ś = 1,38631
a więc dla Ś = 60 minut otrzymuje się t H" 83minuty niezależnie od temperatury początkowej i
niezależnie od klasy izolacji. Warto zauważyć, że wynik nie zależy
.
Zadanie 2.2
Ile wynosi różnica pomiędzy temperaturą bryły i temperaturą otoczenia jeżeli t = Ś, zaś
początkowa temperatura bryły jest równa temperaturze otoczenia.
Rozwiązanie:
� / �U
Do wzoru podanego w
1
poprzednim zadaniu należy podstawić
0,9
t = Ś przyjmując, że początkowa
0,8
nadwyżka temperatury jest równa zero
0,7
uzyskuje się � = 0,632 � �U.
0,6
Uwaga: Znajomość tego wyniku
0,5
umożliwia doświadczalne wyznaczenie
0,4
stałej czasowej. Istotnie, przyjmując
0,3
�0 = 0, można napisać
0,2
� / �U = 1  e t / Ś. Wykres tej funkcji
0,1
pokazany jest obok.
0
0 1 2 3 4 5 6 7
t = Ś
t / Ś
Zadanie 2.3
Obliczyć czas, po którym temperatura modelowej bryły pokazanej na rys.2.2.3 osiągnie
wartość 3/4�U, czyli 75% ustalonej różnicy pomiędzy temperaturą bryły i temperaturą
otoczenia jeżeli wiadomo, że stała czasowa Ś = 60 minut oraz że w chwili początkowej
temperatura bryły była równa: a) 1/4�U , b) ( 1/4�U).
Zadanie 2.4
Po osiągnięciu ustalonej temperatury, czyli ustalonej nadwyżki temperatury �U dopływ energii
zostaje przerwany i modelowa bryła pokazana na rys.2.2.3 zaczyna stygnąć. Po jakim czasie
nadwyżka temperatury osiągnie wartość �U /2? Stała czasowa wynosi Ś = 45 minut.
Rozwiązanie
Równanie bilansu energetycznego napisane dla okresu nagrzewania bryły (patrz podrozdział
2.2) ma postać
m � c � d� + A � ą � � �dt = PS �dt
Podczas stygnięcia PS = 0, dzięki czemu otrzymuje się następujące równanie różniczkowe
mc d�
+ � = 0
Aą dt
którego rozwiązaniem ma postać
� = C � e  (Aą / mc) t
Z treści zadania wynika, że dla t = 0 jest � = �U , czyli ostatecznie
� = �U � e  (Aą / mc) t
lub
� = �U � e  t /Ś
Podstawiając � = �U / 2 i uwzględniając, że Ś = 45 minut uzyskuje się t H" 31 minut.
Zadanie 2.5
Wciągarka, której schemat pokazano na
W
rysunku przeznaczona jest do
P
S
podnoszenia ciężaru Q = 10 kN z
prędkością v = 0,45 m/s. Średnica
bębna wciągarki D =500 mm,
sprawność części mechanicznej
wciągarki � = 65%. Przełożenie
przekładni i = 60 : 1. Obliczyć moc
potrzebną do napędu wciągarki.
Q
Rozwiązanie:
Moment obrotowy na wale bębna
M = Q �D / 2 = 2500 Nm
Prędkość kątowa bębna
� = v /( D / 2 ) = 1,8rad / s
Moc potrzebna do podnoszenia masy
P = M� � / � = 6923 W H" 7 kW
Silnik powinien mieć moc większą od obliczonej powyżej.
Zadanie 2.6
Silnik, poprzez zespół kół zębatych (patrz
schemat kinematyczny), napędza wał wyjściowy
Silnik
maszyny, który jest obciążony momentem MO =
350 Nm/. Ustalona prędkość obrotowa tego wału
z2
z1
równa n = 20 obr/min osiągana jest w czasie t =
2 s. Obliczyć moc napędu potrzebną w czasie
z4
z3
rozpędzania wału. Wiadomo, że z1 = z3 = z5 = 20,
z2 = 80, z4 = 100, z6 = 125, zaś moment
z6 z5
bezwładności zredukowany do wału silnika
M0
wynosi J = 0,2 kgm2. Przyjąć, że sprawność
każdego stopnia przekładni jest równa h� = 0,97.
Wał wyjściowy
Jaka moc jest potrzebna do ruchu ustalonego
maszyny?
Rozwiązanie:
Przyspieszenie kątowe wału wyjściowego
�w = (Ą � 20) / (30 � 2) = 1,05 rad / s2
Przyspieszenie wału silnika
�S = 1,05�(125 /20) �(100 /20) �(80 / 20) = 130,6 rad / s2
Moment M0 zredukowany do wału silnika
M0Z = 350�(20 / 125) �(20/100) �(20/80) / (0,973) = 3,06 Nm
Moment potrzebny w czasie rozpędzania
M = M0Z + J��S = 3,06 + 0,2�130,6 = 29,2 Nm
Prędkość kątowa wału silnika
�S = 20 � (125 /20) �(100 /20) �(80 / 20) = 2500 1 / s
Moc potrzebna w czasie rozpędzania
P = M � �S = 29,2 � 2500 = 73 kW
W przypadku ruchu ustalonego �S = 0, więc wystarczy moc
Pruch ustalony = 3,06 �2500 = 7,65 kW
Zadanie 2.7
Dany jest układ napędowy jak na
rysunku. Silnik podnosi poprzez
przekładnię P i koła zębate dwie
masy . Dane liczbowe:
m1 = 1000 kg
m2 = 2000 kg
Liczba zębów kół: z1= z3= 20,
z2= z4= 80 ; średnice bębnów:
D1= 400 mm, D2= 600 mm;
v1=0,3 m/s - prędkość masy m1.
Obliczyć:
a) Jakie powinno być przełożenie przekładni P aby
układ mógł być napędzany silnikiem indukcyjnym o
prędkości znamionowej równej 970 obr/min?
b) Jaką moc minimalną moc musi mieć silnik jeśli
prędkość podnoszenia masy m1 wynosi 0,3m/s. Do
obliczeń przyjąć sprawność przekładni P równa 75%
zaś sprawność każdej przekładni (z1/z2 i z3/z4) jest
równa 94%.
Zadanie 2.8
Ciągarka drutu, której schemat pokazano na
F
rysunku, napędzana jest silnikiem S. Siła ciągnięcia
P
drutu wynosi F = 5000 N i nie zależy od prędkości
obrotowej bębna. Średnica bębna D = 400 mm,
Z4
liczba zębów przekładni P: z1 = z3 = 20, z2 = z4 =
D
80. Sprawność części mechanicznej ciągarki jest
równa � = 70%. Jaka powinna być minimalna moc
Z2
silnika napędowego jeśli ma on obracać się ze
Z3
prędkością obrotową n = 960 obr/min ?
M
Z1
Rozwiązanie
Prędkość liniowa drutu
ĄDn 20 20
v = " " = 1,256m / s
60 80 80
Prędkość kątowa bębna maszyny
2v
� = = 6,28rad / s
D
Moc potrzebna do ciągnięcia drutu
P = Fr� = 6280W
Minimalna moc silnika
PS = P / �2 = 6280 / 0,7 H" 9000 W
Zadanie 2.9
Do podnoszenia ładunku o masie 200 kg z prędkością 1,2 m/s zbudowano wciągarkę
składającą się z następujących elementów:
 silnika o momencie bezwładności JS = 0,01 kgm2 obracającego się z prędkością
1450 obr/min
 bębna o momencie bezwładności Jb = 3 kgm2, który obraca się z prędkością 60 obr/min/
Moment oporowy ( na wale bębna) przy podnoszeniu masy z podaną prędkością obrotową
wynosi 200 Nm, a całkowita sprawność wciągarki � = 85%. Silnik elektryczny rozwija przy
rozruchu średni moment Mśr = 15Nm. Obliczyć czas rozpędzania silnika prędkości równej
zero do 1450 obr/min. Rozruch zachodzi podczas podnoszenia ładunku.
Zadanie 2.10
Korzystając z rys.2.3.1 i tablicy umieszczonej pod tym rysunkiem należy dobrać pompę i
obroty silnika jeżeli wiadomo, że pompa ma pracować w sposób ciągły z wydajnością około 70
l/min przy ciśnieniu 180 bar. Obliczyć moc potrzebą do napędu dobranej pompy wiedząc, że
wydajność pompy jest wprost proporcjonalny do jej obrotów.
Rozwiązanie
Wartości 70 l/min i 180 bar różnią się od tych, które występują w tablicy. Jednak wydajność 70
l/min jest mniejsza od 80 l /min (pompa 055) a ciśnienie 180 bar  mniejsze od ciśnienia
maksymalnego przy którym może ta pompa pracować. Z wykresu pokazanego na rys.2.3.1
wynika, że przy ciśnieniu 180 bar moment potrzebny do napędu pompy 055, której wirnik
obraca się 1500 razy na minutę, wynosi około 175 Nm. Wydajność pompy wynosi w tych
warunkach 80 l/min. Jeżeli pompa ma mieć wydajność 70 l/min, to do jej napędu wystarczy
(70 / 80) � 175 Nm H" 153 Nm.
Zadanie 2.11
Na podstawie tablicy podanej w podrozdziale 2.3 obliczyć znamionowe straty w silniku
STg90-2D. Obliczyć także straty energii wiedząc, że przy obciążeniu znamionowym silnik
pracuje 10 godzin.
Rozwiązanie
Moc strat PS jest określona zależnością
1 -�h�
PS =� �� PU
h�
w której PU oznacza moc użyteczną silnika. W warunkach znamionowych moc użyteczna jest
równa mocy znamionowej silnika. Wykorzystując parametry podane w tablicy można obliczyć
PS = 3,0 � (1  0.85) / 0,85 H" 0,53 kW.
Strata energii wynosi 0,53�10 = 5,3 kWh
Zadanie 2.12
Pompa o wielkości znamionowej 045 (patrz tablica w podrozdziale 2.3) napędzana będzie
silnikiem obracającym się z prędkością 1450 obr/min i będzie pracować:
- 5 minut pompując olej pod ciśnieniem 170 bar;
- 4 minuty  pod ciśnieniem 140 bar;
- 1 minutę  pod ciśnieniem 80 bar;
- 3 minuty  pod ciśnieniem 150 bar.
Jak powinna być moc silnika napędzającego tę pompę? Obliczenia wykonać metodą momentu
zastępczego.
Rozwiązanie
Moment zastępczy określony jest wzorem
n
2
(
"M t )
j j
j=1
M =
Z n
t
"
j
j=1
Obliczenia wygodnie jest przeprowadzić w tablicy:
Ciśnienie w barach
Moment napędowy Mj Czas tj w Mj2 � tj
w Nm minutach (Nm)2 � min
170 170 5 144500
140 130 4 67600
80 75 3 16875
150 140 1 19600
Suma ----- 13 248575
248575
M = = 138Nm
Z
13
Prędkość kątowa wału pompy
1450Ą
� = = 151,8 1/s
30
Silnik powinien mieć moc co najmniej
P = MZ �� = 20948 W H" 21 kW
W powyższym rozwiązaniu popełniono nieścisłość bowiem wykresy momentu napędowego
pokazane na rys. 2.3.1 obowiązują dla prędkości obrotowej 1500 obr/min, a w zadaniu podano,
że obroty silnika silnik wynoszą 1450 obr/min. Tak więc uzyskany wynik jest nieco zawyżony,
co w danym przypadku wydaje się być dopuszczalne.
Zadanie 2.13
Czy silnik asynchroniczny o mocy 7,5 kW i obrotach znamionowych 1450 obr/min może być
obciążony momentem obrotowym zmieniającym się jak na rysunku?
Moment obrotowy w Nm
60
itd.
30
0 10 20 Czas w sekundach
Rozwiązanie
Znamionowa prędkość kątowa
� = Ą x 1450 / 30 = 151,8 rad / s
Znamionowy moment obrotowy
M = 7500 / 151,8 = 49,4 Nm
Moment zastępczy wyraża się wzorem
n
2
(
"M t )
j j
j=1
M =
Z n
t
"
j
j=1
W przypadku obciążenia pokazanego moment zastępczy wynosi
M = (602 x10 + 302 x10 ) / 20 = 47,4 Nm
Z
i jest mniejszy od momentu znamionowego. Tak więc odpowiedz
na pytanie postawione w
zadaniu jest pozytywna.
Zadanie 2.14
Jaki musi być czas t1 aby silnik o mocy 7,5 kW i obrotach znamionowych 1450 obr / min nie
był przeciążony cieplnie?
Moment obrotowy w Nm
60
itd.
30
t1
0 8 Czas w sekundach
Cykl pracy