Wektory i Skalary
B l
a
A
a = AB
Moduł wektora a = AB = a
Moduł wektora a = AB = a
Rozróżniamy trzy rodzaje wektorów:
- wektory zwiÄ…zane z punktem ( wektory uczepione)
z
a M(x,y,z)
0 r
0 y
x
r  promień wektor
Wektory i Skalary
- wektory związane z prostą (wektory ślizgające się, wektory
posuwne)
l
a
z
a
a
a
k
j y
- wersor (wektor jednostkowy)
i 0
a0 a0 = a0 = 1
x
- wersory związane z osiami układu prostokątnego
Składowe wektora w układzie kartezjańskim
z z
az az
a Å‚ a
Å‚
Å‚
Å‚
k ²
0 j ay y ay y
0 j ay y ay y
i ax Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
ax
x x
2
Wartość modułu wektora a a = a2 + a2 + az
= + +
= + +
= + +
x y
ay
az
ax
Ä… = ² = Å‚ =
cosinusy kÄ…tów cosÄ… = , cos ² = , cosÅ‚ =
Ä… = ² = Å‚ =
Ä… = ² = Å‚ =
a a a
Dodawanie wektorów
a a
a a
b c
b
a + b = c
Mnożenie Wektorów
iloczyn skalarny i wektorowy
a
r
r
a Å" b = ab cos ²
Å" = ²
Å" = ²
0 ² Å" = ²
b
r
r r
× =
a a × b = c
× =
× =
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
r
r
a × = = Ä…
× = = Ä…
× = = Ä…
× b = c = ab sinÄ…
900 900 b
c
Mnożenie Wektorów
Analityczne wyrażenie iloczynu skalarnego wektorów a i b
r r r r r r r
r
a Å" b = (axi + a j + azk)Å"(bxi + by j + bzk)
Å" = ( + + )Å"( + + )
Å" = ( + + )Å"( + + )
Å" = ( + + )Å"( + + )
y
r r r r r r
i Å" = Å" = Å" =
Å" = Å" = Å" =
ponieważ r Å" i = j Å" j = k Å" k = 1
Å" = Å" = Å" =
r r r r r
Å" = Å" = Å" =
oraz i Å" j = j Å" k = k Å" i = 0 stÄ…d
Å" = Å" = Å" =
Å" = Å" = Å" =
r
r
Å" = + +
a Å" b = axbx + a by + azbz
Å" = + +
Å" = + +
y
Mnożenie Wektorów
Analityczne wyrażenie iloczynu wektorowego dwóch wektorów
r r r r r r r
r
a × b = (axi + ay j + azk)×(bxi + by j + bzk)
× = ( + + )×( + + )
× = ( + + )×( + + )
× = ( + + )×( + + )
r r r r r r
ponieważ ir× ir= jr j = k × k = 0
× = × = × =
× = × =
× = × = × =
×
r× r= r r r r r r r
r r r r r r
i × = k , j × k = i , k × i = j
× = × = × =
× = × = × =
× = × = × =
× = × = × =
×rj = × = × =
× = =
× = × = × =
r r r× r r r× r= r
j × i = -k , k × j = -i , i × k = - j
× = - × = - × = -
× = - × = - × = -
× = - × = - × = -
stąd wyrażenie jest rozwinięciem wyznacznika
r r r
i j k
r
r
a × b = ax a az
× =
× =
× =
y
bx by bz