Przykładowy arkusz z rozwiązaniami
Arkusz II  poziom rozszerzony
13. (5 pkt) Punkt A=( -1 , -2) jest wierzchołkiem rombu, którego jeden z boków zawiera
się w prostej k o równaniu x - 2y - 3 = 0. Środkiem symetrii tego rombu jest punkt
S=( 2 , 2). Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu i oblicz jego pole.
RozwiÄ…zanie:
W rombie przekątne dzielą się na połowy, więc S jest środkiem odcinka AC.
- 1 + c1 - 2 + c2
- + - +
- + - +
- + - +
Niech C = (c1,c2) . Wtedy: = 2 Ô! c1 = 5, oraz = 2 Ô! c2 = 6 , czyli
= = Ô! = = Ô! =
= = Ô! = = Ô! =
= = Ô! = = Ô! =
2 2
punkt C ma współrzędne C = (5,6) .
=
=
=
Prosta k zawierająca przekątną BD rombu jest prostopadła do wektora AS , bo
przekÄ…tne rombu przecinajÄ… siÄ™ pod kÄ…tem prostym.
AS = [2 + 1,2 + 2] = [3,4]
= + + =
= + + =
= + + =
Prosta k, jako prostopadła do tego wektora, ma równanie: 3x + 4y + m = 0 .
+ + =
+ + =
+ + =
Punkt S = (2,2) speÅ‚nia równanie prostej k, stÄ…d: 3 Å" 2 + 4 Å" 2 + m = 0 Ô! m = -14.
= Å" + Å" + = Ô! = -
= Å" + Å" + = Ô! = -
= Å" + Å" + = Ô! = -
Prosta k ma równanie: 3x + 4y - 14 = 0 .
+ - =
+ - =
+ - =
Współrzędne punktu B obliczymy, rozwiązując układ równań:
x
Å„Å‚ - 2y - 3 = 0 x = 2y + 3
Å„Å‚ - - = = +
Å„Å‚ - - = Å„Å‚ = +
Å„Å‚ - - = Å„Å‚ = +
Å„Å‚
Å„Å‚
Ô!
Ô!
Ô!
òÅ‚ òÅ‚3 Å" (2y + 3) + 4y - 14 = 0
òÅ‚ òÅ‚
òÅ‚3x + 4y - 14 = 0 Ô! òÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
+ - = Å" + + - =
+ - = Å" + + - =
+ - = Å" + + - =
ół ół
ół ół
ół ół
ół ół
6y + 9 + 4y - 14 = 0
+ + - =
+ + - =
+ + - =
10y = 5
=
=
=
1 1
y = i x = 2 Å" + 3 = 4
= = Å" + =
= = Å" + =
= = Å" + =
2 2
1
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚4, öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
Punkt B ma współrzędne B = .
=
= ìÅ‚ ÷Å‚
= ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
S jest środkiem odcinka BD. Niech D = (d1,d2) .
=
=
=
1
+ d2
+
+
+
4 + d1 7
+
+
+
2
2 = Ô! d1 = 0 , oraz 2 = Ô! d2 = .
= Ô! = = Ô! =
= Ô! = = Ô! =
= Ô! = = Ô! =
2 2 2
7
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚0, öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
Punkt D ma współrzędne D = .
=
= ìÅ‚ ÷Å‚
= ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1 7
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚4, öÅ‚ ëÅ‚0, öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Szukane współrzędne wierzchołków rombu: B = , C = (5,6) , D = .
= = =
= ìÅ‚ ÷Å‚ = = ìÅ‚ ÷Å‚
= ìÅ‚ ÷Å‚ = = ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Pole rombu jest równe połowie iloczynu długości przekątnych:
AC = (5 + 1)2 + (6 + 2)2 = 36 + 64 = 100 = 10
= + + + = + = =
= + + + = + = =
= + + + = + = =
2
1 7
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
BD = (4 - 0)2 + - ÷Å‚ = + = =
= - + - ÷Å‚ = + = =
= 16 + 9 = 25 = 5
= + = =
= - + - ÷Å‚
= - + - ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
10 Å" 5
Å"
Å"
Å"
Pole rombu: P = = 25 .
= =
= =
= =
2
14. (5 pkt) Prawdopodobieństwo uzyskania bramki przez drużynę piłkarską przy
oddaniu jednego strzału oblicza się jako stosunek liczby zdobytych bramek do liczby
oddanych strzałów na bramkę i wyraża się je zwykle w procentach. Na poniższym
diagramie przedstawiono te prawdopodobieństwa dla poszczególnych drużyn:
a) Co jest bardziej prawdopodobne: zdobycie dwóch bramek przez Wisłę Kraków
przy oddanych 6 strzałach, czy zdobycie 3 bramek przez Manchester United przy
oddanych 5 strzałach?
b) Ile strzałów na bramkę musi oddać w czasie meczu drużyna Realu Madryt, aby
prawdopodobieństwo strzelenia jednej bramki było większe od 0,9?
RozwiÄ…zanie:
a) Oddanie przez Wisłę Kraków 6 strzałów to schemat Bernoulliego o sześciu
próbach, bo prawdopodobieństwo sukcesu (zdobycia gola) w każdym strzale jest
1
takie samo i wynosi p1 = 10% = .
= =
= =
= =
10
2 4
6
ëÅ‚ öÅ‚ 1 9 94
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ Å" Å" = Å" H"
StÄ…d P(S6 = 2) = ìÅ‚ ÷Å‚
= = ìÅ‚ ÷Å‚ Å" Å" = Å" H"
= = Å" Å" = 15 Å" H" 0,0984 .Podobnie dla Manchesteru
= = Å" Å" = Å" H"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
2÷Å‚ íÅ‚ 10 10 106
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1
United, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p2 = 20% = :
= =
= =
= =
5
3 2
5
ëÅ‚ öÅ‚ 1 4 42
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ Å" Å" = Å" H"
P(S5 = 3) = ìÅ‚ ÷Å‚
= = ìÅ‚ ÷Å‚ Å" Å" = Å" H"
= = Å" Å" = 10 Å" H" 0,0512
= = Å" Å" = Å" H"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
3÷Å‚ íÅ‚ 5 5 55
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Bardziej prawdopodobne jest zdobycie przez Wisłę Kraków dwóch bramek w 6
strzałach.
b) Oznaczmy przez n szukaną ilość strzałów. Mamy do czynienia ze schematem
2
Bernoulliego o n próbach i prawdopodobieństwie sukcesu p3 = 40% = .
= =
= =
= =
5
P(Sn e" 1) > 0,9 Ô! 1 - P(Sn = 0) > 0,9 Ô! P(Sn = 0) < 0,1
e" > Ô! - = > Ô! = <
e" > Ô! - = > Ô! = <
e" > Ô! - = > Ô! = <
0 n n
n
ëÅ‚ öÅ‚ 3
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ 2 3
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ Å" Å" < 0,1 Ô! < 0,1
ìÅ‚ ÷Å‚ Å" Å" < Ô! <
Å" Å" < Ô! <
Å" Å" < Ô! <
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
0÷Å‚ íÅ‚ 5 5 5
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
3
Licząc kolejne potęgi liczby stwierdzamy, że nierówność jest spełniona dla
5
n > 4 , czyli drużyna Realu Madryt musi oddać minimum 5 strzałów, aby szansa
>
>
>
na zdobycie co najmniej jednej bramki była większa od 0,9.
15. (4 pkt) W trójkąt równoboczny o boku długości a wpisano koło, w które następnie
wpisano trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znowu koło itd. Oblicz sumę pól
wszystkich wpisanych kół.
RozwiÄ…zanie:
Dane: a.
1
Promień koła wpisanego w trójkąt równoboczny ma długość równą wysokości
3
1 a 3 a 3
trójkÄ…ta, wiÄ™c r1 = Å" = .
= Å" =
= Å" =
= Å" =
3 2 6
2
Z kolei r1 stanowi wysokości trójkąta o boku x, wpisanego w koło o promieniu r1 .
3
2 x 3 3r1 a 3 a
StÄ…d mamy: Å" = r1 . Z tego równania obliczymy x: x = = 3r1 = 3 Å" = .
Å" = = = = Å" =
Å" = = = = Å" =
Å" = = = = Å" =
3 2 6 2
3
1
Ciąg długości boków kolejnych trójkątów jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = .
=
=
=
2
a 3 1
Z własności figur podobnych mamy ciąg promieni okręgów: r1 = , q = , z czego
= =
= =
= =
6 2
a 3 1
-
-
-
otrzymujemy wzór na n-ty wyraz: rn = r1 Å" qn-1 = Å" .
= Å" = Å"
= Å" = Å"
= Å" = Å"
-
-
-
6 2n-1
Ciąg pól kolejnych kół jest określony wzorem:
2 n-1
-
-
-
3a2 1 Ä„a2 1
Ä„
ëÅ‚ öÅ‚ Ä„ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ Ä„ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2
Pn = Ä„ Å" rn = Ä„ Å" Å" = Å"
= Ä„ Å" = Ä„ Å" Å" = Å"
= Ä„ Å" = Ä„ Å" Å" = Å"
= Ä„ Å" = Ä„ Å" Å" = Å"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
-
-
-
36 2n-1 Å‚Å‚ 12 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„a2 1
Ä„
Ä„
Ä„
P1 = i qp =
= =
= =
= =
12 4
<
Ponieważ qp < 1 , więc suma nieskończonego ciągu pól istnieje i wynosi:
<
<
Ä„a2
Ä„
Ä„
Ä„
P1 12 4 Ä„a2 Ä„a2
Ä„ Ä„
Ä„ Ä„
Ä„ Ä„
S = = = Å" = , co należaÅ‚o obliczyć.
= = = Å" =
= = = Å" =
= = = Å" =
1 - qp 1 - 1 3 12 9
-
-
-
-
-
-
4
1
16. (7 pkt) Liczby x1 i x2 są pierwiastkami równania (m + 1)x2 + (m + 1)x + m2 = 0 .
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
2
Rozważmy funkcjÄ™ f(m) = x1 Å" x2 .
= Å"
= Å"
= Å"
a) Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f.
b) Dla jakiej wartości parametru m funkcja f przyjmuje największą wartość?
RozwiÄ…zanie:
1
(m + 1)x2 + (m + 1)x + m2 = 0 , f(m) = x1 Å" x2
+ + + + = = Å"
+ + + + = = Å"
+ + + + = = Å"
2
Dziedziną funkcji f jest zbiór tych wartości parametru m, dla których istnieją
(niekoniecznie różne) pierwiastki x1 i x2 podanego równania, czyli spełniających układ:
m `"
`"
`"
`"
Å„Å‚ -1
Å„Å‚ -
Å„Å‚ -
Å„Å‚ -
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚" e" 0 .
òÅ‚
ół" e"
ół" e"
ół" e"
ół
1
" = (m + 1)2 - 4 Å" (m + 1) Å" m2 = (m + 1)2 - 2m2(m + 1) = (m + 1)(m + 1 - 2m2)
" = + - Å" + Å" = + - + = + + -
" = + - Å" + Å" = + - + = + + -
" = + - Å" + Å" = + - + = + + -
2
- 2m2 + m + 1
- + +
- + +
- + +
"1 = 1 + 8 = 9
" = + =
" = + =
" = + =
- 1 - 3 - 1 + 3 1
- - - +
- - - +
- - - +
m1 = = 1 , m2 = = -
= = = = -
= = = = -
= = = = -
- 4 - 4 2
- -
- -
- -
1
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
öÅ‚
" = -2(m + 1)(m - 1)ëÅ‚m +
" = - + - ìÅ‚ ÷Å‚
+
" = - + - ìÅ‚ ÷Å‚
" = - + - ìÅ‚ ÷Å‚
+
+
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Wykres "(m) :
"
"
"
1
(m `" -1 '" " e" 0) Ô! m " -" - 1) *" - ,1 = Df
`" - '" " e" Ô! "(-" - *" - =
`" - '" " e" Ô! " -",- *" - =
`" - '" " e" Ô! " -" - *" - =
2
Korzystając ze wzorów Viete a mamy:
1
m2 m2
2
f (m) = x1 Å" x2 = =
= Å" = =
= Å" = =
= Å" = =
m + 1 2m + 2
+ +
+ +
+ +
2m Å" (2m + 2) - 2m2 4m2 + 4m - 2m2 2m2 + 4m 2m(m + 2)
Å" + - + - + +
Å" + - + - + +
Å" + - + - + +
a) f'(m) = = = =
= = = =
= = = =
= = = =
(2m + 2)2 (2m + 2)2 (2m + 2)2 (2m + 2)2
+ + + +
+ + + +
+ + + +
Badamy znak pochodnej, który zależy od znaku wyrażenia m(m + 2) :
+
+
+
Z wykresu wynika, że:
-",-
- funkcja f(m) rośnie w przedziałach: (-" - 2) , (0,1) .
-" -
-" -
1
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚
- funkcja f(m) maleje w przedziaÅ‚ach: (-2,- 1) , - ,0öÅ‚ .
- - ìÅ‚ - ÷Å‚
- - ìÅ‚ - ÷Å‚
- - ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
(-2)2
-
-
-
= - - = = -
- Dla x = -2 funkcja osiąga maksimum równe: f (-2) = = -2 .
= - - = = -
= - - = = -
2 Å" (-2) + 2
Å" - +
Å" - +
Å" - +
- Dla x = 0 funkcja osiąga maksimum równe: f(0) = 0 .
= =
= =
= =
b) Wartości funkcji na końcach przedziału wynoszą:
2
1
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ - ÷Å‚
1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚ 2
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
f - ÷Å‚
= = , f(1) =
= = =
= = =
= = =
ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚
2 4 4
íÅ‚ Å‚Å‚ 1
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
2 Å" - ÷Å‚ +
Å" - ÷Å‚ +
+ 2
+
Å" - ÷Å‚
Å" - ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
m2 m
lim f (x) = lim = lim = -"
= = = -"
= = = -"
= = = -"
x-" x-" x-"
-" -" -"
-" -" -" 2
-" -" -"
2m + 2
+
+
+
2 +
+
+
+
m
m2
lim f(x) = lim = -" , bo licznik dąży do 1, a mianownik do zera po wartościach
= = -"
= = -"
= = -"
- -
- -
- -
x-1- x-1-
- -
- - 2m + 2
- - +
+
+
ujemnych. Wykres f(m):
1
Z wykresu wynika, że funkcja przyjmuje największą wartość dla m = - lub m = 1,
= - =
= - =
= - =
2
1
oraz wartość ta wynosi .
4
17. (5 pkt) Wykaż, że dla każdej naturalnej, dodatniej liczby n, liczba postaci
+ -
+ -
+ -
2n+1 + 32n-1 jest podzielna przez 7.
+
+
+
RozwiÄ…zanie:
Dowód indukcyjny.
+ Å" -
+ Å" -
+ Å" -
Sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla n = 1 : 21+1 + 32Å"1-1 = 4 + 3 = 7 .
= + = + =
= + = + =
= + = + =
Twierdzenie jest prawdziwe dla n = 1 .
=
=
=
Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n, tzn. liczba
+ -
+ -
+ -
2n+1 + 32n-1 jest podzielna przez 7.
+
+
+
Aby zakończyć dowód, należy udowodnić, że przez 7 dzieli się liczba
+ + + - +2 +
+ + + - + +
+ + + - + +
2n+1+1 + 32(n+1)-1 = 2n+ + 32n+1 .
+ = +
+ = +
+ = +
+2 + + - + - + - -
+ + + - + - + - -
+ + + - + - + - -
( )
( )
2n+ + 32n+1 = 2n+1 Å" 21 + 32n-1 Å" 32 = 2 Å" 2n+1 + 9 Å" 32n-1 = 2 Å"(2n+1 + 32n-1)+ 7 Å" 32n-1
+ = Å" + Å" = Å" + Å" = Å"( + )+ Å"
+ = Å" + Å" = Å" + Å" = Å" + + Å"
+ = Å" + Å" = Å" + Å" = Å" + + Å"
+ -
+ -
+ -
( )
( )
Wyrażenie 2Å"(2n+1 + 32n-1) dzieli siÄ™ przez 7 z zaÅ‚ożenia.
Å"( + )
Å" +
Å" +
-
-
-
Przez 7 dzieli siÄ™ także liczba 7 Å" 32n-1 , co koÅ„czy dowód.
Å"
Å"
Å"
18. (5 pkt) Dany jest trójkÄ…t ABC, w którym "BCA = Ä… , "BAC = ² , zaÅ›
" = Ä… " = ²
" = Ä… " = ²
" = Ä… " = ²
"ABC > 900 . Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość R. Trójkąt
" >
" >
" >
obracamy wokół boku BC. Oblicz objętość otrzymanej bryły obrotowej.
RozwiÄ…zanie:
Dane sÄ…: Ä…, ², R , "ABC > 900 .
Ä… ² " >
Ä… ² " >
Ä… ² " >
R - promień okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Szukana objętość, to różnica objętości stożków APC i APB, czyli:
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
V = Å" r2 Å" (a + x) - Å" r2 Å" x = Å" r2 Å" (a + x - x) = Å" r2 Å" a
= Å" Å" + - Å" Å" = Å" Å" + - = Å" Å"
= Å" Å" + - Å" Å" = Å" Å" + - = Å" Å"
= Å" Å" + - Å" Å" = Å" Å" + - = Å" Å"
3 3 3 3
Korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie ABC, otrzymujemy:
a b
= 2R Ô! a = 2R sin² i = 2R Ô! b = 2RsinÄ…
= Ô! = ² = Ô! = Ä…
= Ô! = ² = Ô! = Ä…
= Ô! = ² = Ô! = Ä…
sin² sinÄ…
² Ä…
² Ä…
² Ä…
"ABC = 1800 - (Ä… + ²), dlatego "ABD = Ä… + ²
" = - Ä… + ² " = Ä… + ²
" = - Ä… + ² " = Ä… + ²
" = - Ä… + ² " = Ä… + ²
r
= sin(Ä… + ²) Ô! r = bsin(Ä… + ²) = 2RsinÄ…sin(Ä… + ²)
= Ä… + ² Ô! = Ä… + ² = Ä… Ä… + ²
= Ä… + ² Ô! = Ä… + ² = Ä… Ä… + ²
= Ä… + ² Ô! = Ä… + ² = Ä… Ä… + ²
b
Szukana objętość wynosi:
Ä„ Ä„ 8Ä„
Ä„ Ä„ Ä„
Ä„ Ä„ Ä„
Ä„ Ä„ Ä„
V = Å" r2 Å" a = Å" 4R2 sin2 Ä…sin2(Ä… + ²) Å" 2Rsin² = Å" R3 Å" sin2 Ä… Å" sin² Å" sin2(Ä… + ²)
= Å" Å" = Å" Ä… Ä… + ² Å" ² = Å" Å" Ä… Å" ² Å" Ä… + ²
= Å" Å" = Å" Ä… Ä… + ² Å" ² = Å" Å" Ä… Å" ² Å" Ä… + ²
= Å" Å" = Å" Ä… Ä… + ² Å" ² = Å" Å" Ä… Å" ² Å" Ä… + ²
3 3 3
Ä…
19. (5 pkt) Dla jakich wartości parametru ą rozwiązaniem układu równań
Ä…
Ä…
(cosÄ…
Å„Å‚ Ä… - 1) Å" x + y = 1
Å„Å‚ Ä… - Å" + =
Å„Å‚ Ä… - Å" + =
Å„Å‚ - Å" + =
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚(-2cosÄ…) Å" x + (2cosÄ… + 1) Å" y = cosÄ…
òÅ‚
- Ä… Å" + Ä… + Å" = Ä…
- Ä… Å" + Ä… + Å" = Ä…
- Ä… Å" + Ä… + Å" = Ä…
ół
ół
ół
ół
jest dokładnie jedna para liczb nieujemnych?
RozwiÄ…zanie:
Stosujemy metodÄ™ wyznacznikowÄ…. Dla uproszczenia zapisu przyjmijmy m = cosÄ… .
= Ä…
= Ä…
= Ä…
Mamy:
(m
Å„Å‚ - 1) Å" x + y = 1
Å„Å‚ - Å" + =
Å„Å‚ - Å" + =
Å„Å‚ - Å" + =
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
ół- 2m Å" x + (2m + 1) Å" y = m
ół- Å" + + Å" =
ół- Å" + + Å" =
ół- Å" + + Å" =
m - 1 1
-
-
-
W = = (m - 1) Å" (2m + 1) + 2m = 2m2 + m - 2m - 1 + 2m =
= = - Å" + + = + - - + =
= = - Å" + + = + - - + =
= = - Å" + + = + - - + =
- 2m 2m + 1
- +
- +
- +
= 2m2 + m - 1
= + -
= + -
= + -
Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy:
W = 2m2 + m - 1 `" 0
= + - `"
= + - `"
= + - `"
- 1 - 3 - 1 + 3 1
- - - +
- - - +
- - - +
" = 1 + 8 = 9 , m1 = = -1 , m2 = =
" = + = = = - = =
" = + = = = - = =
" = + = = = - = =
4 4 2
1
Aby układ miał dokładnie jedno rozwiązanie, musi być: m `" -1 i m `" .
`" - `"
`" - `"
`" - `"
2
1 1
Wx = = 2m + 1 - m = m + 1
= = + - = +
= = + - = +
= = + - = +
m 2m + 1
+
+
+
m - 1 1
-
-
-
Wy = = m2 - m + 2m = m2 + m = m Å" (m + 1)
= = - + = + = Å" +
= = - + = + = Å" +
= = - + = + = Å" +
- 2m m
-
-
-
1
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
öÅ‚
W = 2m2 + m - 1 = 2(m + 1)ëÅ‚m - ÷Å‚
= + - = + - ÷Å‚
= + - = + - ÷Å‚
= + - = + - ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Rozwiązanie układu:
Wx m + 1
+
Å„Å‚ + 1
Å„Å‚ +
Å„Å‚x = =
Å„Å‚
= = =
= = =
= = =
=
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
W
1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚m öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
2(m + 1)ëÅ‚m - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
+ - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
2 Å"
Å"
+ - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
+ - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ Å"
ìÅ‚ Å"
ìÅ‚
ìÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
Å" +
Å" +
Å" +
ôÅ‚y = Wy = m Å" (m + 1) = m
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= = =
= = =
= = =
ôÅ‚ W
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚m öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2(m + 1)ëÅ‚m - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
+ - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
2 Å"
Å"
+ - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
+ - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
ôÅ‚ ìÅ‚ Å"
ôÅ‚ ìÅ‚ Å"
ôÅ‚ ìÅ‚
ôÅ‚ ìÅ‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ół
ół
ół
ół
Rozwiązaniem ma być para liczb nieujemnych: x e" 0 i y e" 0 .
e" e"
e" e"
e" e"
1 1
x e" 0 Ô! m - > 0 Ô! m >
e" Ô! - > Ô! >
e" Ô! - > Ô! >
e" Ô! - > Ô! >
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ ëÅ‚
îÅ‚ 1 Å‚Å‚ ëÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚ ëÅ‚
m îÅ‚ 1 Å‚Å‚ ëÅ‚ 1
ëÅ‚m öÅ‚ ëÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
y e" 0 Ô! e" 0 Ô! `" i m Å" - ÷Å‚ e" Ô! " ìÅ‚ - " *" "öÅ‚
e" Ô! e" Ô! `" Å" - ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
e" Ô! " ìÅ‚ - " *" "öÅ‚
e" Ô! e" Ô! `" Å" - ÷Å‚ e" Ô! " ìÅ‚ - " *" "öÅ‚
e" Ô! e" Ô! `" ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚m 2 Å" ìÅ‚ - 2 ÷Å‚ e" 0śł Ô! m " ìÅ‚ - ",0 *" ìÅ‚ 2 ,"öÅ‚
ïÅ‚ śł ìÅ‚
ïÅ‚ śł ìÅ‚
ïÅ‚ śł ìÅ‚
ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚
1 ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚
ëÅ‚m öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
2 Å" - ÷Å‚
Å" - ÷Å‚
Å" - ÷Å‚
Å" - ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Ostatecznie otrzymaliśmy:
Å„Å‚
Å„Å‚
Å„Å‚
Å„Å‚
1
m `"
`"
`"
`"
ôÅ‚ -1 i m `"
ôÅ‚ - `"
ôÅ‚ - `"
ôÅ‚ - `"
2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1 1 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚m >
ôÅ‚
> Ô! > Ä… >
> Ô! m > , czyli cosÄ… >
> Ô! > Ä… >
Ô! > Ä… >
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
2 2 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ëÅ‚
ëÅ‚
ëÅ‚
ëÅ‚
ëÅ‚
ëÅ‚
ôÅ‚m " ëÅ‚ - ",0 *" ëÅ‚ 1 ,"öÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ìÅ‚
" ìÅ‚ - " *" "öÅ‚
" ìÅ‚ - " *" "öÅ‚
" ìÅ‚ - " *" "öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚
íÅ‚
íÅ‚
íÅ‚
ół
ół
ół
ół
= Ä…
KorzystajÄ…c z wykresu funkcji y = cosÄ… , otrzymujemy:
= Ä…
= Ä…
1 Ä„ Ä„
Ä„ Ä„
ëÅ‚- Ä„ Ä„
ëÅ‚- Ä„ Ä„
cosÄ… > Ô! Ä… "ëÅ‚ - + 2kÄ„ , + 2kÄ„öÅ‚ , k " , co jest rozwiÄ…zaniem zadania.
Ä… > Ô! Ä…" + Ä„ + Ä„öÅ‚ "C
Ä… > Ô! Ä… "ëÅ‚ - + Ä„ + Ä„öÅ‚ "
Ä… > Ô! Ä…" + Ä„ + Ä„öÅ‚ "
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
log2 (x-1)
-
-
-
20. (6 pkt) Narysuj wykres funkcji określonej wzorem: f(x) = 4 . Wyznacz te
=
=
=
1
argumenty, dla których wartości funkcji są równe log .
3
9
3
RozwiÄ…zanie:
log (x-1)
-
-
-
2
= = "
Dziedzina funkcji f (x) = 4 : Df = (1,") .
= = "
= = "
log2(x - 1) e" 0 Ô! log2(x - 1) e" log2 1 Ô! x - 1 e" 1 Ô! x e" 2
- e" Ô! - e" Ô! - e" Ô! e"
- e" Ô! - e" Ô! - e" Ô! e"
- e" Ô! - e" Ô! - e" Ô! e"
log2(x - 1) < 0 Ô! log2(x - 1) < log2 1 Ô! x - 1 < 1 Ô! x " (1,2)
- < Ô! - < Ô! - < Ô! "
- < Ô! - < Ô! - < Ô! "
- < Ô! - < Ô! - < Ô! "
Mamy:
- - -
- - -
- - -
2 2
1. Dla x e" 2: f (x) = 4log (x-1) = 22 log2 (x-1) = 2log (x-1)2 = (x - 1)2
e" = = = = -
e" = = = = -
e" = = = = -
-
- 1
-
- - -2 - -
- - - - -
- - - - -
2 2
2. Dla x " (1,2): f (x) = 4-log (x-1) = 2- log2 (x-1) = 2log (x-1)-2 =
" = = = =
" = = = =
" = = = =
(x - 1)2
-
-
-
Å„Å‚ - 1)2 dla x e" 2
Å„Å‚ - e"
Å„Å‚ - e"
Å„Å‚ - e"
(x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
f (x) = 1
=
=
=
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
"
"
"
ôÅ‚(x - 1)2 dla x " (1,2)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
-
-
-
ół
ół
ół
ół
1
-
-
-
Wartość ułamka przy x 2- zbliża się do liczby 1, a przy x zmniejszającym się



(x -
-1)2
-
-
do 1, rośnie do nieskończoności, bo mianownik ułamka dąży do zera po wartościach
dodatnich. Stąd wykres funkcji f(x) jest następujący:
m m
1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ -1 öÅ‚ - m
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ - öÅ‚ -
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ - öÅ‚ -
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ - öÅ‚ -
1 3 1 1
-2 -2
- -
- -
2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
log = m Ô! = Ô! 32 ÷Å‚ = 3- Ô! 3 = 3- Ô! - m = -2 Ô! m = 4
= Ô! = Ô! = Ô! = Ô! - = - Ô! =
= Ô! = Ô! = Ô! = Ô! - = - Ô! =
= Ô! = Ô! = Ô! = Ô! - = - Ô! =
3
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
9 3 9 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3
1
Należy rozwiązać równanie f (x) = log , czyli f(x) = 4 .
= =
= =
= =
3
9
3
2
1. Dla m e" 2 : (m - 1) = 4 Ô! m = 3
e" ( - ) = Ô! =
e" ( - ) = Ô! =
e" ( - ) = Ô! =
1 1 3
2. Dla m " (1,2) : = 4 Ô! (m - 1)2 = Ô! x =
" = Ô! - = Ô! =
" = Ô! - = Ô! =
" = Ô! - = Ô! =
(m - 1)2 4 2
-
-
-
3
Funkcja przyjmuje wskazaną tematem zadania wartość dla x = 3 lub x = .
= =
= =
= =
2
Ä… ² Å‚
Ä… ² Å‚
Ä… ² Å‚
Ä… ² Å‚
Ä… + ² + Å‚ = Ä„ Å" Å" `"
21. (4 pkt) Wykaż, że jeżeli Ä… + ² + Å‚ = Ä„ , oraz cos Å" cos Å" cos `" 0 ,
Ä… + ² + Å‚ = Ä„ Å" Å" `"
Ä… + ² + Å‚ = Ä„ Å" Å" `"
2 2 2
sinÄ… + sin² - sin Å‚ Ä… ²
Ä… + ² - Å‚ Ä… ²
Ä… + ² - Å‚ Ä… ²
Ä… + ² - Å‚ Ä… ²
to = tg Å" tg .
= Å"
= Å"
= Å"
sinÄ… + sin² + sin Å‚ 2 2
Ä… + ² + Å‚
Ä… + ² + Å‚
Ä… + ² + Å‚
RozwiÄ…zanie:
Ä… + ² öÅ‚ Ä… + ² Ä… + ²
ëÅ‚ Ä… + ² öÅ‚ Ä… + ² Ä… + ²
ëÅ‚ Ä… + ² Ä… + ² Ä… + ²
ëÅ‚ Ä… + ² Ä… + ² Ä… + ²
öÅ‚
öÅ‚
)]= (Ä… + ² = Å" ÷Å‚ = Å" Å"
) (Ä… )
(Ä… )
1. sin Å‚ = sin[Ä„ - (Ä… + ²)]= sin(Ä… + ²) = sinëÅ‚ 2 Å" = 2 Å" sin Å" cos
Å‚ = [Ä„ - (Ä… + ²)]= + ²)= Å" = Å" Å"
Å‚ = [Ä„ - (Ä… + ² ]= + ² = Å" ÷Å‚ = Å" Å"
Å‚ = [Ä„ - (Ä… + ² ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä… + ² Ä… - ²
Ä… + ² Ä… - ²
Ä… + ² Ä… - ²
Ä… + ² Ä… - ²
2. sinÄ… + sin² = 2Å" Å"
Ä… + ² = Å"sin Å"
Ä… + ² = Å" Å"cos
Ä… + ² = Å" Å"
2 2
Na podstawie 1. i 2. otrzymujemy:
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… + ²
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… + ²
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… + ²
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… + ²
2 Å" sin Å" cos - 2 Å" sin Å" cos
Å" Å" - Å" Å"
Å" Å" - Å" Å"
Å" Å" - Å" Å"
sinÄ… + sin² - sin Å‚
Ä… + ² - Å‚
Ä… + ² - Å‚
Ä… + ² - Å‚
2 2 2 2
= =
= =
= =
= =
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… + ²
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… + ²
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… + ²
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… + ²
sinÄ… + sin² + sin Å‚
Ä… + ² + Å‚
Ä… + ² + Å‚
Ä… + ² + Å‚
2 Å" sin Å" cos + 2 Å" sin Å" cos
Å" Å" + Å" Å"
Å" Å" + Å" Å"
Å" Å" + Å" Å"
2 2 2 2
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… ëÅ‚ öÅ‚
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… ëÅ‚ öÅ‚
²
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² öÅ‚ Ä… ëÅ‚ öÅ‚
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… ²
²
ëÅ‚cos - cos öÅ‚ ²
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚
Ä… ²
Ä… ²
Ä… ²
Ä… ²
2 Å" sin Å" -
Å" Å" -
Å" Å" -
Å" Å"
ìÅ‚ ÷Å‚ - 2sin sinëÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ -
ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ -
ìÅ‚ ÷Å‚ -
ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚
sin sin
2 2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Ä… ²
Ä… ²
Ä… ²
Ä… ²
2 2
= = = = tg tg
= = = =
= = = =
= = = =
Ä… ²
Ä… ²
Ä… ²
Ä… ²
2 2
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… ëÅ‚ öÅ‚
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… ëÅ‚ öÅ‚
²
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² öÅ‚ Ä… ëÅ‚ öÅ‚
Ä… + ² Ä… - ² Ä… + ² Ä… ²
²
ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚cos + cos öÅ‚ ²
ëÅ‚
cos cos
2 Å" sin Å" + ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
Å" Å" + 2cos cosëÅ‚ - ÷Å‚
Å" Å" ìÅ‚ + ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
Å" Å" ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
ìÅ‚
2 2
2 2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
co należało wykazać.
Uwaga: poniższe nie jest fragmentem rozwiązania.
W rozwiÄ…zaniu wykorzystano kolejno wzory:
sin(Ä„ - x) = sin x
Ä„ - =
Ä„ - =
Ä„ - =
sin 2x = 2sin xcosx
=
=
=
x + y x - y
+ -
+ -
+ -
sin+ sin y = 2sin cos
+ =
+ =
+ =
2 2
x + y x - y
+ -
+ -
+ -
cosx - cosy = -2sin sin
- = -
- = -
- = -
2 2
x + y x - y
+ -
+ -
+ -
cosx + cosy = 2cos cos
+ =
+ =
+ =
2 2
sin(-x) = -sin x
- = -
- = -
- = -
cos(-x) = cosx
- =
- =
- =
sin x
= tgx
=
=
=
cosx
{ }
{ }
22. (4 pkt) Dany jest zbiór A = {(x,y): x " R '" y " R '" x2 + y2 - 4y d" 0}. Zbiór B jest
= { " '" " '" + - d" }
= " '" " '" + - d"
= " '" " '" + - d"
obrazem zbioru A w translacji o wektor u = [2,-1]. Opisz zbiór B za pomocą
= -
= -
= -
*"
nierówności, a następnie zaznacz na płaszczyz
nie zbiór (A *" B)'.
*"
*"
RozwiÄ…zanie:
x2 + y2 - 4y d" 0 Ô! x2 + (y - 2)2 d" 4
+ - d" Ô! + - d"
+ - d" Ô! + - d"
+ - d" Ô! + - d"
= =
Zbiór A jest kołem o środku S1 = (0,2) i promieniu r = 2 .
= =
= =
Zbiór B jest kołem o środku S2 = (0 + 2,2 + (-1)) = (2,1) i takim samym promieniu.
= ( + + - )=
= ( + + - ) =
= ( + + - )=
(A *" B)' jest dopełnieniem sumy tych kół do płaszczyzny XOY. Brzegi kół nie należą do
*"
*"
*"
tego zbioru.
Ilustracja (szukany zbiór (A *" B)' zaznaczono kolorem niebieskim):
*"
*"
*"