Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Przepływy płynów
Płyny są to ciecze lub gazy.
Cechy płynów:
1. A
atwość zmiany wzajemnego położenia elementów płynu względem siebie. W ciałach
stałych jest to możliwe jedynie pod działaniem dużych sił zewnętrznych.
2. Płyny przybierają kształt zbiornika, w którym się znajdują. Ciecze tworzą w zbiorniku
powierzchnię swobodną, natomiast gazy wypełniają całkowicie jego objętość.
3. Gazy, w porównaniu z cieczami, mają znacznie większą ściśliwość, tj. zdolność do zmiany
objętości pod wpływem sił zewnętrznych.
W opisie przepływu płynów najważniejszymi właściwościami są gęstość i lepkość.
Rozpatrując gęstość płyny można podzielić na płyny ściśliwe (gazy) i płyny nieściśliwe (ciecze).
Siły działające w płynach:
1. Masowe (objętościowe): siły grawitacji, siły bezwładności (d'Alamberta). Siły te odniesione
do jednostki masy mają wymiar przyspieszenia).
2. Powierzchniowe, które mogą być normalne lub styczne do rozpatrywanych powierzchni. W
zagadnieniach statyki znaczenie mają tylko siły normalne. Płyny mają znikomą zdolność do
przenoszenia naprężeń rozciągających, stąd praktyczne znaczenie mają tylko siły ściskające.
Siły powierzchniowe odniesione do jednostki powierzchni mają wymiar ciśnienia.
Do uproszczonych rozważań dotyczących przepływu płynów wprowadzono pojęcie
płynu idealnego (doskonałego).
Przez gaz doskonały rozumie się zbiór cząsteczek doskonale sprężystych, które można
traktować jako punkty materialne pomiędzy którymi nie występują żadne siły
międzycząsteczkowe. Gazy doskonałe spełniają prawo Boyla-Mariotta, Gay-Lusaca, Cherles a i
Clapeyrona.
Ciecz doskonała jest pozbawiona lepkości, nieściśliwa i nie zmienia swej objętości wraz
ze zmianą temperatury  ma stałą objętość. W cieczy doskonałej także nie ma oddziaływań
międzycząsteczkowych.
W przyrodzie nie ma płynów doskonałych. Płyny rzeczywiste opisuje się za pomocą
równań dla płynów doskonałych, do których wprowadza się pewne poprawki. Przez poprawki
rozumiemy jakieś mnożniki lub wyrażenia uwzględniające odstępstwa od doskonałości płynów.
Gęstość płynu jak wiadomo jest ilorazem masy i objętości płynu.
m kg
�� ł�
r� =� ,
ę�m3 ś�
V
�� ��
Gęstość cieczy jest stała w stałej temperaturze, gdyż ciecze są praktycznie nieściśliwe, co
dla wody można zilustrować za pomocą zależności:
D�V D�p
=� -�5��10-�5
V p
Dla gazów istnieje zależność gęstości od ciśnienia i temperatury. Dla gazów doskonałych
zależność tę można wyprowadzić z równania Clapeyrona:
p V =� n RT
m
p V =� RT
M
skąd:
p M
r� =�
RT
Dla gazów rzeczywistych zależność ta jest modyfikowana do postaci:
p M
r� =�
z RT
gdzie: z  współczynnik ściśliwości gazu.
9
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
W przepływach cieczy rzeczywistych występują siły ścinające:
y
F
w
Nieruchoma powierzchnia
Stosunek siły ścinającej F do pola powierzchni A nazywa się naprężeniem ścinającym i jego
wielkość dla przepływu płynu rzeczywistego została opisana przez Newtona zależnością:
F dw
=� t� =� -�h�
A dy
Z równania tego wynika, że naprężenia ścinające powodujące wzajemne przesuwanie się dwóch
warstw cieczy oddalonych od siebie o odległość dy jest wprost proporcjonalne do gradientu
prędkości w tym kierunku. Współczynnik proporcjonalności h� nazywa się współczynnikiem
lepkości dynamicznej, lepkością dynamiczną lub po prostu lepkością. Dla płynów
newtonowskich, tj. gazów i większości cieczy np. wody, oleju, alkoholu itp. Jest to wielkość
zależna tylko od temperatury. Wymiar współczynnika lepkości dynamicznej wynika oczywiście
z równania Newtona:
N m
=� [�h�]�
m2 s m
N
[�h�]�=� s =� Pa �� s
m2
Wśród płynów  nienewtonowskich czyli takich, które nie stosują się do prawa Newtona można
wymienić galarety, pasty, farby olejne, szlamy, zawiesiny itp.
Średnia prędkość płynu
Przepływ płynu przez rurociąg może zaistnieć wtedy, gdy w rozpatrywanym wycinku
rurociągu wystąpi gradient ciśnienia. Można to powiedzieć inaczej: gradient ciśnienia
&�
D�p >� 0 wywołuje ruch płynu m >� 0 (strumień masy płynu [kg/s] jest większy od zera). Jak
wytworzyć taki gradient ciśnienia? Dla cieczy najprostszym sposobem jest pochylenie rurociągu,
to znaczy, zastosowanie różnicy poziomów pomiędzy wlotem i wylotem. Innym sposobem może
być zastosowanie pompy lub dla gazu wentylatora czy dmuchawy.
Badania doświadczalne wykazały, że prędkość płynu w rurociągu nie jest stała.
Największa jest w osi rury, a najmniejsza w pobliżu ścianki. Spowodowane jest to tarciem płynu
o ścianki rury, a także tarciem wewnętrznym (lepkością).
10
s
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Jeżeli w odległości r od osi rurociągu wyznaczy się pierścień o grubości dr i polu
powierzchni przekroju:
dA =� 2p� r dr ,
który porusza się z prędkością wr, to różniczkowy strumień objętości płynu [m3/s] wyrazi się
wzorem:
&�
dV =� wr dA =� 2p� r wr dr ,
a cały strumień objętości płynu uzyska się po scałkowaniu powyższego równania:
R
&�
V =� r wr dr
��2p�
0
Prędkością średnią płynu nazywa się stosunek całkowitego strumienia objętości do całego pola
powierzchni przekroju poprzecznego rurociągu.
R
&�
V 1
wśr =� =�
��2p� r wr dr
A A
0
Aby obliczyć prędkość średnią płynu w rurociągu za pomocą powyższego wzoru należy poznać
(zmierzyć) rozkład prędkości lokalnych wzdłuż całego przekroju poprzecznego lub mówiąc
inaczej wyznaczyć funkcję w =� f(�r)�.
11
r
r
d
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Rodzaje przepływów
Reynolds wykorzystał bardzo prostą instalację pokazaną na poniższym rysunku, za
pomocą której stwierdził, że płyny poruszają się odmiennie w zależności od prędkości, z jaką
płyną przez rurociąg o znanej średnicy.
laminarny
przejsciowy
burzliwy
Zwiększając średnicę rur Reynolds obserwował ruch laminarny nawet przy większych
prędkościach cieczy, zmieniając właściwości cieczy także znalazł inne wartości prędkości, przy
których występował ruch laminarny. Na tej podstawie zdefiniował pewną bezwymiarową liczbę,
która określa stosunek sił bezwładności do sił lepkości i od jego nazwiska przyjęła ona miano
liczby Reynoldsa. Dla rurociągu o przekroju kołowym można zapisać:
Fb d2 w2 r� w d r�
Re =� =� =�
Fh� w d h� h�
Reynolds stwierdził, że ruch laminarny występuje w zakresie liczb Reynoldsa do wartości
krytycznej wynoszącej:
Rekr =� 2300 .
Ruch przejściowy występuje w zakresie: 2300 Ł� Re Ł� 10000 , a ruch burzliwy dla Re >� 10000
Zatem przepływ płynu może być laminarny. Gdy prędkości płynu są małe, wówczas
elementy cieczy poruszają się po liniach (torach) prostych równoległych do osi rurociągu. Nie
pojawiają się zmiany prędkości w kierunku przepływu. Każdy element płynu pozostaje
w obrębie danej warstewki i w przekroju poprzecznym nie zmienia swego położenia względem
innych elementów płynu.
Jeśli dla pewnego dowolnie wybranego przekroju rurociągu, narysować wykres, na
którym wzdłuż promienia rurociągu wykreśli się wektory prędkości poszczególnych warstw
cieczy, to otrzymuje się tak zwany profil prędkości płynu w rurociągu. Dla ruchu laminarnego
przyjmuje on postać przedstawioną na poniższym rysunku.
A
Wr
A
Dla dużych prędkości płynu występuje przepływ burzliwy (turbulentny), w którym
występują gradienty prędkości nie tylko w kierunku przepływu, ale również
12
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
w kierunku prostopadłym i we wszystkich innych. Profil prędkości jest bardziej  spłaszczony , a
zaznaczone wektory należy traktować jako wartości średnie dla danego promienia r.
A
W
r
A
Dla przepływu laminarnego (uwarstwionego) można rozpatrzyć rozkład ciśnień
i naprężeń ścinających na pewnym elemencie cieczy w kształcie walca, który płynie
w rurze o przekroju kołowym. Aby wystąpił przepływ ciśnienie p1 musi być różne od ciśnienia
p2. Jeśli ruch elementu cieczy jest jednostajny, to występuje równowaga siły związanej z różnicą
ciśnień i hamującej siły będącej konsekwencją występowania lepkości. Można to zapisać
zależnością:
t� 2p� r L =� (�p1 -� p2 )�p� r2
Wykorzystując prawo Newtona:
dwr
-� h� 2p� r L =� (�p1 -� p2)�p� r2
dr
dwr (�p1 -� p2 )� r
=� -�
dr L h� 2
po scałkowaniu dla warunku granicznego: dla r = R, wr = 0, tj. przyjmując, że prędkość płynu na
ścianie rurociągu wynosi zero:
wr r
(�p1 -� p2 )� r
dr
r
��dw =� -� ��
L h� 2
0 R
uzyskuje się zależność:
2
�� ł�
R2 D�p r
ć� ��
wr =�
�� ��
ę�1-� ś�
4h� L R
Ł� ł�
ę� ś�
�� ��
Wzór ten opisuje prędkość lokalną w rurze o przekroju kołowym dla ruchu laminarnego i może
służyć do wyznaczenia prędkości lokalnej w funkcji promienia, czyli tak zwanego profilu
prędkości w rurze. Analizując matematycznie tę zależność widać, że profil prędkości w ruchu
laminarnym jest paraboliczny.
Aby obliczyć strumień objętości płynu w rurociągu podczas przepływu laminarnego
należy połączyć ostatnią zależność i równanie opisujące cały strumień, co prowadzi do równości:
p� R4 D�p
&�
V =�
8 h� L
znanej pod nazwą równania Hegena  Poisuille a.
Na podstawie równania wyprowadzonego powyżej można wyznaczyć trzy ważne
wielkości, tj. prędkość średnią płynu w rurociągu, prędkość maksymalną w osi rury i
prędkość na ścianie rurociągu:
&�
V R2 D�p
wśr =� =�
A 8h� L
dla r = 0 czyli w osi rury:
13
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
R2 D�p
wmax =�
4 h� L
dla r = R czyli na ścianie rury:
wR =� 0
Z porównania wzorów można wyciągnąć jeszcze jeden wniosek, otóż stosunek prędkości
średniej do prędkości maksymalnej:
wr
=� 0,5
wmax
a ponadto można wykazać, że:
2
�� ł�
r
wr =� wmax ę�1-� ć� �� ś� .
�� ��
R
Ł� ł�
ę� ś�
�� ��
Należy przypomnieć, że wszystkie te zależności obowiązują dla przepływu laminarnego.
Równanie ciągłości przepływu płynu
Jeśli wyobrazić sobie rurociąg, nawet o zmiennej średnicy, przez który płynie płyn, to ta
ilość płynu, który wpływa na początku musi być identyczna z tą ilością płynu, która wypływa na
końcu. Ilościowo można to ująć równaniem ciągłości przepływu, które mówi, że strumień masy
wzdłuż rurociągu nie zmienia się:
&� &�
m1 =� m2
A1 w1 r�1 =� A2 w2 r�2
Dla cieczy to samo równanie można zapisać w postaci:
A1 w1 =� A2 w2
&� &�
lub V1 =� V2 ,
co słowami wyraża się: wzdłuż rurociągu strumień objętości cieczy nie ulega zmianie.
14
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Równanie Bernoulliego
Równanie Bernoulliego jest specyficznym zapisem twierdzenia o pracy i energii, które
mówią, że:
- połowę iloczynu masy ciała i kwadratu jego prędkości nazywa się energią kinetyczną,
- praca wykonana przez siłę działającą na punkt materialny jest równa zmianie energii
kinetycznej tego punktu.
Jeśli rozpatruje się nielepki płyn poruszający się w przewodzie o zmiennym przekroju
pomiędzy dwoma przekrojami znajdującymi się na różnych wysokościach, to rozpatrując
element cieczy o objętości V =� A1 D�l1 =� A2 D�l2 można pokazać zmianę położenia tego elementu
w czasie przepływu:
w2
p2 A2
D�l2
w1
p1 A1
D�l1
A
w2
p2 A2
D�l2
w1
p1 A1
D�l1
B
Na układ działają siły parcia: p1 A1 oraz p2 A2 działające na lewy i prawy koniec przewodu
oraz siła ciężkości. W czasie przepływu płynu przez rurę wypadkowy efekt polega na
podniesieniu pewnej (zacienionej) objętości płynu z poziomu y1 do poziomu y2
Pracę wykonaną na układzie przez wypadkową siłę można wyznaczyć w następujący sposób:
1. Praca wykonana nad układem przez siłę p1 A1 wynosi p1 A1 D�l1 ,
p A D� l
2. Praca wykonana nad układem przez siłę p2 A2 wynosi
i jest to praca
2 2 2
ujemna, czyli praca wykonana przez układ
3. Praca wykonana nad układem przez siłę ciężkości związana ze zmianą położenia
elementu o objętości V. Praca ta także jest ujemna (wykonana przeciwko sile ciężkości) i
wynosi  -� V r� g (�y2 -� y1)�=� -�m g (�y2 -� y1)�
Dodanie tych trzech składowych prowadzi do wyrażenia określającego pracę W wykonaną
nad układem przez wypadkową siłę:
15
2
y
1
y
2
y
1
y
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
W =� p1 A1 D�l1 -� p2 A2 D�l2 -� m g (�y2 -� y1)�
Jeśli iloczyn przekroju i przesunięcia zastąpi się objętością, a tę z kolei zastąpi się ilorazem masy
i gęstości, to uzyska się:
W =� (�p1 -�)�m / r� -� m g (�y2 -� y1)�
przy czym zmiana energii kinetycznej wybranego elementu wynosi:
1 1
2
D�Ek =� m w2 -� m w1
2
2 2
Z twierdzenia o pracy i energii wiadomo, że:
W =� D�Ek
1 1
2
(�p1 -� p2)�m / r� -� m g (�y2 -� y1)�=� m w2 -� m w1
2
2 2
lub inaczej:
1 1
2
p1 +� m w1 +� r� g y1 =� p2 +� m w2 +� r� g y2
2
2 2
Indeksy odnoszą się do dwóch dowolnie wybranych przekrojów rury, zatem można tę zależność
zapisać w postaci znanej jako równanie Bernouliego:
1
p +� m w2 +� r� g y =� const
2
Wszystkie składniki tego równania mają wymiar ciśnienia. Jeśli prędkość płynu jest równa zero,
to w równaniu Bernoulliego pozostaje suma p +� r� g y nazywana ciśnieniem statycznym, z kolei
1
wyrażenie m w2 nosi nazwę ciśnienia dynamicznego.
2
Prawo Bernoulliego mówi, że każdemu zwiększeniu się prędkości, a co za tym idzie
ciśnienia dynamicznego, musi automatycznie towarzyszyć zmniejszenie się ciśnienia
statycznego i na odwrót, przy każdym zmniejszeniu prędkości i ciśnienia dynamicznego, rośnie
ciśnienie statyczne.
Jeśli w wybranej strudze płynu o zmiennym przekroju (zmiennej prędkości) i zmiennej
wysokości położenia w polu sił grawitacyjnych sporządzić bilans energii, to równanie
Bernoulliego zapisze się w postaci:
w2 p
+� +� h g =� const
2 r�
Zatem równanie Bernoulliego stanowi matematyczny zapis niezniszczalności energii w ruchu
ustalonym płynu doskonałego.
w2
- oznacza energię kinetyczną płynu, [J/kg],
2
p
- oznacza energię statyczną ciśnienia, [J/kg],
r�
h g - oznacza energię potencjalną położenia, [J/kg].
16
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Zastosowania równania Bernoulliego
Jeśli przez rurociąg o zmiennym przekroju (jak na rysunku) płynie ciecz, to w przekroju
mniejszym wskutek wzrosty prędkości maleje ciśnienie, co widać obserwując poziom cieczy
w rurkach spiętrzających.
1. Pomiar średniej prędkości płynu za pomocą kryzy pomiarowej
Równanie Bernoulliego dla płynu doskonałego dla przekrojów 1 i 2 można zapisać
w postaci:
2
w1 r� w2 r�
2
p1 +� r� g h1 +� =� p2 +� r� g h2 +�
2 2
Rurociąg jest poziomy i gęstość cieczy jest stała, zatem:
2
p1 -� p2 w2 -� w1
2
=�
r� 2
Zgodnie z równaniem ciągłości:
17
3
1
h
h
2
h
d
D
D
1
o
2
D
D
D
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
A2
w1 =� w2
A1
A0 A2
Nazwijmy stosunek =� m współczynnikiem rozwarcia kryzy, a stosunek =� m�
A1 A0
współczynnikiem przewężenia strumienia (współczynnikiem kontrakcji), wówczas równanie
ciągłości ma postać:
w1 =� w2 m m�
Po wstawieniu ostatniej zależności do równania Bernoulliego otrzyma się:
p1 -� p2 w2 -� w2 m2 m�2
2 2
=� , a stąd:
r� 2
1 2 (�p1 -� p2)�
w2 =�
r�
1-� m2 m�2
Wykorzystując równanie ciągłości znajduje się prędkość cieczy w otworze kryzy
A2
w0 =� w2 =� w2 m� , zatem:
A0
m� 2 (�p1 -� p2)� 2 D�p
w0 =� =� a�
r� r�
1-� m2 m�2
gdzie współczynnik a� nazywamy współczynnikiem przepływu. Należy zauważyć, że nie jest on
wartością stałą, a zależy od stopnia rozwarcia kryzy oraz od współczynnika przewężenia
strumienia, tj. od burzliwości przepływającej cieczy.
Strumień masy cieczy, który mierzy kryza pomiarowa, oblicza się zatem z zależności:
2 D�p
&�
m =� A0 w r� =� a� A r�
0 0
r�
znając doświadczalną wartość D�p .
Rurka Pitota (Prandtla) mierzy prędkość lokalną w rurociągu
18
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
2. Rotametry
19
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Stozkowa rura szklana
Plywak
Umieszczenie pływaka w rurce stożkowej powoduje, że w czasie przepływu płynu
pływak utrzymuje się na pewnej wysokości, która zależy od wielkości strumienia płynu.
Położenie pływaka można obliczyć za pomocą równania Bernoulliego lub można je określić na
drodze doświadczalnej dla różnych strumieni objętości. Jeśli przyjąć, że na pływak o objętości
Vp i polu przekroju poprzecznego Ap oraz gęstości r�p działa siła ciążenia, siła wyporu oraz siła
oporu, to przy zrównoważeniu się tych sił pływak uniesie się do pewnej wysokości w zależności
od prędkości płynu w w przekroju rury A2 wokół największego przekroju pływaka. Można to
2
zapisać równaniami:
Siła ciężkości: G =� Vp r�p g
Siła wyporu: W =� Vp r� g
2
&�
w2 r� V2 r�
Siła oporu: O =� x� Ap 2 =� x� Ap
2 2 A2
2
2
&�
V2 r�
Po zbilansowaniu sił: x� Ap =� Vp (�r�p -� r�)�g
2 A2
2
2 A2Vp (�r�p -� r�)�g
1
2
&�
skąd: V2 =�
x� Ap r�
20
1
0
0
9
0
8
0
7
0
6
0
5
0
4
0
3
0
2
0
1
0
0
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
2 Vp (�r�p -� r�)�g
&�
lub V2 =� a�p A2
Ap r�
Współczynnik przepływu a�p jest wielkością charakterystyczną pływaka i musi być wyznaczany
doświadczalnie, a pole przekroju A2 dostępnego dla cieczy (lub gazu), przy usytuowaniu
pływaka na pewnej wysokości h, wynika z geometrii stożkowej rury rotametru i może być
wyznaczone z równania:
2
p� j�
ć�D ��
A2 =� +� 2 h tg -� Ap ,
�� ��
0
4 2
Ł� ł�
gdzie: D0 oznacza średnicę rury przy podziałce skali równej 0, a kąt j� jest kątem rozwarcia
stożkowej rury rotametru.
3. Wypływ cieczy ze zbiorników
1,A1,w1 p1=patm
0,A0,w0
2,A2,w2 p2=patm
Jeśli w dnie otwartego zbiornika, w którym utrzymywany jest stały poziom cieczy otworzyć
otwór, to równanie Bernoulliego można zapisać w postaci:
2
w1 r� w2 r�
2
p1 +� r� g h1 +� =� p2 +� r� g h2 +� +� D�pstrat
2 2
Jeśli przyjąć, że: D�pstrat � 0 oraz, że h1 -� h2 =� H , to:
w =� 2 g H
2
A2
Pamiętając, że stosunek =� m� (współczynnik kontrakcji) oraz uwzględniając straty ciśnienia
A0
za pomocą pewnego współczynnika, można napisać, że strumień objętości cieczy wypływającej
z otworu wynosi:
Vrzecz =� j� A0 2 g H
Współczynnik j� nazywany jest współczynnikiem wypływu i jego wartość zależy od kształtu
końcówki wypływowej.
21
H
~H
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
4. Opróżnianie zbiorników
A
dh
0,A0,w0
W różniczkowym czasie dt� poziom lustra cieczy obniża się o wartość dh . Objętość tej cieczy
wypływa przez otwór w dnie, zatem:
A dh =� A0 w0dt�
A dh =� A0 j� 2 g hdt�
Po rozdzieleniu zmiennych i scałkowaniu w granicach 0 �� t� oraz H �� H =� 0 otrzyma się
zależność:
H
1 A(�h)�dh
t� =�
��
A0 j� 2 g h
H=�0
Jeśli pole powierzchni lustra ciecz jest stałe na każdej wysokości, to całkowity czas opróżniania
zbiornika można wyliczyć z zależności:
A 2
t� =� H ,
A0 j� 2 g
natomiast czas opróżniania do pewnej wysokości H1 z zależności:
A 2
t� =� (� H -� H1)�
A0 j� 2 g
22
H
h
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Równanie Bernoulliego dla płynów rzeczywistych
Jeśli wykonać urządzenie pokazane na poniższym rysunku, to przy przepływie cieczy
rzeczywistej obserwuje się różny poziom cieczy w rurkach spiętrzających wzdłuż drogi
przepływu. Jest to wynikiem straty ciśnienia spowodowanej tarciem płynu o ściany rury.
Dla przypadku przepływu cieczy rzeczywistej równanie Bernoulliego dla przekrojów 1 i 2
przyjmuje postać:
2
w1 r� w2 r�
2
p1 +� r� g h1 +� =� p2 +� r� g h2 +� +� D�pstrat
2 2
Stratę ciśnienia obserwuje się nie tylko podczas przepływu przez rurociągi proste, ale także
przez różne elementy aparatury, w których następuje jakakolwiek zmiana kierunku przepływu
płynu. Takie lokalne straty ciśnienia nazywane są oporami miejscowymi.
Stratę ciśnienia na prostych odcinkach rurociągów oblicza się z równania Darcy-
Weisbacha:
L w2
D�pstrat =� l� r�
d 2
Wartość współczynnika oporu przepływu l� zmienia się wraz z liczbą Reynoldsa:
64
Dla ruchu laminarnego: l� =�
Re
0,3164
Dla ruchu burzliwego wzór Blasiusa: l� =�
Re0,25
Te zależności funkcyjne są wyznaczone doświadczalnie i w literaturze można spotkać
także inne równania, lub zależności graficzne określające współczynnik oporu przepływu.
Jeśli przepływ odbywa się w rurze o szorstkiej powierzchni wewnętrznej, to powoduje to
wystąpienie dodatkowego oporu (spadku ciśnienia). Współczynnik oporu przepływu w takim
przypadku można wyznaczyć korzystając na przykład z zależności graficznej zamieszczonej
poniżej.
23
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Strefa
Przeplyw
Przeplyw burzliwy przez rury szorstkie
przejsciowa
laminarny
0,05
0,04
0,03
0,02
0,015
0,01
0,008
Rekr 0,006
0,004
0,002
0,001
0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
Do celow dydaktycznych 0,0001
0,00005
e�
= 0,00001
6 789 3 4 5 6 789 3 4 5 6 789 2 3 4 5 6 789 2 3 4 5 6 789 2 3 4 5 6 789 d
2 2
w d r�
e� e�
Re= = 0,000001 = 0,000005
h� d d
Na wykresie zaznaczono wartości współczynnika oporu przepływu w zakresie ruchu
laminarnego i powyżej zarówno dla rur gładkich i dla rur szorstkich. Miarą szorstkości rury jest
stosunek największych nierówności występujących na ścianie e� do średnicy rurociągu
d (rysunek poniżej)
Poziome linie na w obszarze cieczy symbolizują przyścienną warstwę laminarną. Jeśli wartość
liczby Reynoldsa wzrasta, to grubość tej warstwy oczywiście maleje. Zatem przy pewnej
burzliwości, nierówności ściany są większe niż grubość tej warstwy laminarnej, a więc zanika
wpływ burzliwości na współczynnik oporu przepływu, a decyduje o min jedynie szorstkość
rurociągu (na wykresie l� =� f (Re) - wartości na prawo od linii przerywanej).
W przypadku zainstalowania elementów armatury podczas przepływu płynu przez
rurociąg występuje dodatkowa strata ciśnienia (strata na oporach miejscowych), którą można
obliczyć za pomocą równania analogicznego do równania Darcy-Weisbacha:
w2
D�pstrat op m =� x�op m r�
2
Każdy element armatury można zastąpić pewnym prostym odcinkiem rurociągu, który
spowoduje taką samą stratę ciśnienia jak dany element, zatem:
Lz w2
D�pstrat op m =� l� r�
d 2
skąd:
Lz
l� =� x�op m
d
24
e�
d
Wspolczynnik oporu przeplywu
Wzgledna szorstkosc rurociagu
d
l�
�
6
R
4
e
R
u
r
y
g
l
a
d
k
i
e
e�
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
zatem długość zastępczą elementu armatury oblicza się z zależności:
x�op m d
Lz =�
l�
Wartości współczynników oporów miejscowych lub ich długości zastępczych zawarte są w
literaturze tematu, a przykładowe wartości przedstawiono poniżej w postaci graficznej,
tabelarycznej lub wykreślnej.
x�op m= 0,1 2,0 1,5 3,0
x�op m= 0,05 1,0 0,5 2,0
d3,5 j�
x�op m =� 0,131+� 0,163
R 90
A
uk kołowy �j�
dla R =� 3 d x�op m =� 0,14
�� � wlot cieczy ze zbiornika do przewodu x�op m = 0,5
�� � wylot cieczy z przewodu do zbiornika x�op m �= 1.
Współczynnik oporu miejscowego x�op m
Rodzaj zaworu
Stopień otwarcia 100 % Stopień otwarcia 50 %
Kurki 0,05 18
Zawory normalne 3  4 10
Zasuwy 0,05 2  4
25
R
d
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Zastępcze długości przewodów dla armatury kwasoodpornej Lz [m]
Zawór Zawór Kolanko
Średnica Trójnik
odcinający trójdrożny (łuk)
6 7 0,8 2
� �2�5� �
8 9 1 3
� �3�8� �
8 9 1 3
� �5�1� �
9 10 1 4
� �6�3�,�5� �
10 12 1,5 5
� �7�6� �
10 12 1,5 5
� �1�0�1�,�6� �
Nagłe rozszerzenie/zwężenie rurociągu
1
0,9 Nagłe rozszerzenie rurociągu
Nagłe zwężenie rurociągu
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x�op m
26
1
2
A /A
Podstawy inżynierii chemicznej
Wojciech Skrzypiński
Projektowanie rurociągów dalekobieżnych
Podczas przepływu płynu przez rurociąg powstają pewne straty ciśnienia związane
z oporami przepływu. Aby je pokonać i nadać płynowi określoną prędkość przepływu trzeba na
początku rurociągu wytworzyć nadciśnienie w stosunku do punktu odbioru płynu. Zatem im
większe opory przepływu, tym większe koszty eksploatacyjne rurociągu. Koszty te można
zmniejszyć zmniejszając opory przepływu poprzez zwiększenie średnicy rurociągu. Jednakże
zwiększenie średnicy powoduje z kolei wzrost kosztów inwestycyjnych. Zatem należy tak
dobrać średnicę rurociągu, aby uzyskać jak najmniejsze koszty sumaryczne. Graficznie można to
zinterpretować na wykresie:
Koszty sumaryczne
Minimum Koszty inwestycji
kosztów
Koszty eksploatacji
Średnica
Średnica
optymalna
Przekształcając równanie Darcy-Weissbacha określające spadek ciśnienia w prostym
rurociągu uzyskuje się zależność:
&�
16 V2
r�
2
&�
L w r� L p�2 d4 L V2 r�
D�pstr =� ppocz -� pk =� l� =� l� =� 8 l�
d 2 d 2 p�2 d5
p� d5 2 ppocz -� pk
&�
V =� ,
l� L r�
2 2
za pomocą której można obliczyć strumień objętości cieczy przesyłanej rurociągiem o zadanej
średnicy d przy danym nadciśnieniu na wlocie do rurociągu, czyli przy zastosowaniu danej
pompy.
W praktyce przemysłowej przeciętne prędkości różnych płynów różnią się między sobą.
Wynika to z ich właściwości, które powodują powstawanie określonych oporów przepływu.
Stosowane w praktyce przeciętne prędkości płynów wynikające z analizy ekonomicznej zebrano
w poniższej tabeli.
Średnie prędkości płynów stosowane w rurociągach przemysłowych
Ciecze newtonowskie 1  3 m/s
Ciecze lepkie 0,3  2 m/s
Gazy 8  25 m/s
Para wodna nasycona 20  40 m/s
Para wodna przegrzana 30  50 m/s.
Są to wartości orientacyjne, a dokładne wartości należy poprzeć analizą ekonomiczną
związaną z budową i eksploatacją rurociągu, o czym wspomniano powyżej.
27
Koszty