WST
P
DO FIZYKI
JADRA
A O
ATOMOWEGO
Wykład  2/3
IV ROK FIZYKI - semestr zimowy
1
Janusz Braziewicz - Zakład Fizyki Medycznej IF AŚ
Ernest Rutherford
'
V = ZZ e2 / r = C / r
2
d� C 1 1
�# ś# �# ś#
= = (2mC)q
ś# ź# ś# ź#
4
Ń
d� 4E
�# #Ń �# #
sin4�# ś#
ś# ź#
2
2
�# #
Podstawowe wiadomości
o budowie materii
" nuklid
e
e
e
e
A
e
e
n p
n p
p n n
p n n
n n p
n n p
n p p
n p p
Z N
p n
p n
e
e
e
e
Z - protonów
Atom: ~10-8 m
"
p
p
Jądro: ~10-15 m
"
Z - elektronów
e
e
e
e
e
e
N=A-Z - neutronów
n
n
" izobar - A=const, Z `"
" izotop - Z=const, A `"
3
" izoton - N=const, A `"
e
e
n
n
p p n p n p p
p p n p n p p
n n
n n
e e e
e e e
e
e
1 3 4
2
H H (T) He
H (D)
1 1 1 2
238 6
Li
U
92
235
U
92
e
e
239
p
p
n n
n n
p
p
Pu
n p
n p
94
e
e
e
e
4
izotop
5
izoton
r
a
b
o
z
i
Podstawowe wielkości
charakteryzujące jądro
" promień jądra
" masa jądra i jego energia wiązania
" moment magnetyczny
" moment elektryczny
6
Podstawowe wielkości
charakteryzujące jądro
" promień jądra
" masa jądra i jego energia wiązania
" moment magnetyczny
" moment elektryczny
7
Co to jest promień jądra?
" zgodnie z zasadą nieoznaczoności nie istnieje ostro zdefiniowany
brzeg jądra
" promień jądra, charakteryzujący się pewnym rozmyciem, należy
powiązać z rozkładem gęstości materii jądrowej danym przez
kwadrat funkcji falowej jądra |�|2
" radialny przebieg funkcji � zależy oczywiście od potencjału,
w którym znajduje się cząstka
Ponieważ jak pokazują wyniki eksperymentów jądra mają
stosunkowo dobrze określone brzegi
to potencjał odpowiedzialny za wiązanie jąder
ma dość dobrze określony, skończony zasięg.
8
Promień jądra

wielkość charakteryzująca rozkład jego gęstości
Pomiar tej wielkości trudny
" łatwy pomiar rozkładu ładunku elektrycznego w jądrze
Z dużą dokładnością spełniony jest warunek, że rozkład
gęstości protonów pokrywa się z rozkładem gęstości jądra
9
:
Metody określania promieni jądrowych
-
pierwsze wyniki z rozpraszania cząstek ą
-
dokładniejsze wyniki z rozpraszania elektronów
(e=0.4 fm dla elektronów o E=500 MeV)
-
wnikają do jądra, gdyż nie podlegają siłom
jądrowym i pozwalają na dość dokładny pomiar
rozkładu ładunku
-
10
" dla dowolnego rozciągłego rozkładu gęstości ładunku
w jądrze �(r) można obliczyć odpowiadający mu
rozkład kątowy kulombowsko rozproszonych
elektronów
d� d�
�# ś# �# ś#
2
= F (q)
ś# ź# ś# ź#
d� d�
�# # �# #p
gdzie czynnik po prawej stronie jest odpowiednim różniczkowym przekrojem
czynnym dla ładunku punktowego, a funkcja F2(q) zależy od rozkładu gęstości
ładunku �(r), a q oznacza zmianę pędu podczas zderzenia
2
1
2 i / �)q�"r
F (q)=
+"�(r)e( d�
e
11
F(q)  to czynnik kształtujący (formfaktor)
Rozkłady kątowe dla elastycznego
Rozkłady kątowe dla elastycznego
rozpraszania elektronów na jądrach
rozpraszania elektronów na jądrach
Cu i Au obliczone dla punktowego
C.
i równomiernego rozkładu ładunku.
12
t=4.4*z
10-15 m - 1 femtometr - 1fm
1 Fermi - 1Fm
1fm = 1Fm
rozkład gęstości materii
jądrowej
- rozkład Fermiego
1
�(r)= �o
1/ 2
1+ e(r-R )z
13
t=4.4*z
Definicje
promienia jądra
"
2 2
Rm = r2 =
" średni promień kwadratowy
+"r �(r)4Ąr2dr
0
" promień równoważny
3
2
r2 = Re
" (jednorodnie naładowanej kuli)
5
Re =1.73Rm
" dla A>20
Ze
Rs = 1.128A1/3 fm
�o = �(0)= 0.17 fm-3
t = 2.4 fm
A
14
R1/2 ~ Rs - 0.89A-1/3 fm Re ~ Rs+2.24A-1/3 fm
t=4.4*z
Rs = 1.128A1/3 fm
To jest jedyny promień, który na mocy
definicji jest proporcjonalny do A1/3
15
ro=(1.128 0.1) 10-15m
ą
10-15 m - 1 femtometr - 1fm
R = ro A1/3
1 Fermi - 1Fm
1fm = 1Fm
�
~ 1014 g/cm3
3
�
(0) ~ 0.17 nukleonu/fm
16
:
Metody określania promieni jądrowych
" na podstawie widma atomów mionowych
" mion  cząstka ~207 razy cięższa od elektronu
" mion  cząstka mająca własności podobne jak elektron
" mion  cząstka produkowana w akceleratorach może być
wychwytywana przez jądro jak elektron, tworząc atom
mionowy
" atomy mionowe mają swój własny układ termów,
wynikający z rozwiązania równania Schr�dingera dla
mionu w polu atomu
17
" schwytany przez jądro mion przechodzi stopniowo
do coraz niższych stanów energetycznych, osiągając
powłokę K
r = �2 / mrZe2
" promień orbity Bohra zależy od masy
zredukowanej
" średnica orbity mionu jest około 200 razy mniejsza
od średnicy orbity elektronowej
" w miejscu jądra występują ogromne gęstości ładunku
~2003=8*106 razy większe niż w zwykłym atomie
elektronowym
18
" nakładanie się dodatniego ładunku jądra i ujemnego ładunku
powłoki powoduje przesunięcie poziomów energetycznych
w powłoce równe:
"EV =
1
+"[� (r)�1(r)-�2(r)�2(r)]4Ąr2dr
� oznacza tu potencjał elektryczny w miejscu jądra
pochodzący od powłoki
" interesujący wpływ rozkładu ładunku w jądrze na linię
widmową, tzn. zmiana energii "E dla dwóch różnych
konfiguracji powłoki 1 i 2 wynikająca z istnienia rozkładu
gęstości ładunku �(r)
"EV =
1
+"[� (r)-�2(r)]�(r)4Ąr2dr
19
" potencjał �(r) wewnątrz jednorodnie naładowanej kuli
o gęstości ładunku L(0) jest równy
2
�(r)= L(0)r2
3
przy wyborze warunku �(0)=0
" korzystając z powyższego i oznaczając przez L(0) gęstość
ładunku powłoki w jądrze, stałą w obrębie jądra,
otrzymujemy
2 2
2 2
"E = Ą[L1(0)- L2(0)] �(r)4Ąr2dr = Ą"L(0)Rm
+"r
3 3
gdzie Rm jest średnim promieniem kwadratowym
20
" efekt rozciągłości został zmierzony w helu mionowym
dając dla promienia cząstki ą wartości Rm= 1.6733(30)
fm z dokładnością 0.2%.
21
Podstawowe wielkości
charakteryzujące jądro
" promień jądra
" masa jądra i jego energia wiązania
" moment magnetyczny
" moment elektryczny
22
nie zawiera nieoznaczoności
masa jądra -
Pomiar:
- metody jonowo-optyczne
na podstawie odchylenia wiązki jonów w
ukształtowanych polach elektrycznych i
magnetycznych - dokładności ~10-5%
Spektrograf masowy Astona
- metody spektroskopii jądrowej
na podstawie energii rozpadu ą lub �, w którym
spośród jąder macierzystego i pochodnego jedno
ma nieznaną masę.
- metody reakcji jądrowych
oparte na pomiarze energii odpowiednich reakcji 23
jądrowych.
Używane jednostki:
mu = (1/12) m(12C)
1 mu = 1u = 1.66056*10-24g = 931.5 MeV/c2
Masy podstawowych składników:
mp/me = 1836.15152 ą 0.38
kg u MeV/c2 t
mp = 1.6726485*10-27 ą5.1 1.00727647 938.279 t>2*1030 lat
mn = 1.6749543*10-27ą5.1 1.0086650 939.573 t~918ą14s
me = 9.109534*10-31ą5.1 5.4858*10-4 0.511004 t>5*1021lat
24
Wyniki pomiarów mas jąder pozwoliły
stwierdzić, że:
-
masa jądra o liczbie nukleonów A jest nieco
mniejsza niż suma mas swobodnych A
nukleonów
"
"defekt masy - energia wiązania uwalniana
podczas łączenia nukleonów w jądro
energia wiązania
a"
ilość energii, jaką należy zużyć na rozsunięcie
wszystkich nukleonów tworzących jądro
25
Energia wiązania nuklidu
B(Z,N)=ZmH+Nmn-M(Z,N)
Masa jądra i nuklidu są związane poprzez
Mj(Z,N)=M(Z,N)-Zme+We
energia wiązania
wszystkich elektronów
Energia wiązania jądra
Bj(Z,N)=Zmp+Nmn-Mj(Z,N)
Otrzymujemy więc
Bj(Z,N)=B(Z,N)+ZwH-We
energia wiązania elektronu w 1H
26
zwykle przyjmuje się Bj(Z,N) " B(Z,N)
Energia wiązania
i co z niej wynika
p+p H+e++
2 �e
�e
p
p
p
p
p
p n
n
e+
e+
proces rozszczepienia
proces syntezy
"m
"m
27
E="mc2
Zależność B/A vs A
własności sił działających między
"
nukleonami
energia wiązania jest proporcjonalna do
"
liczby par
"
jądra magiczne
Z lub N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126
Abundancja nuklidów
28
we Wszechświecie
Siły jądrowe:
" działają między dwoma nukleonami
" mają własność wysycania się
" mają krótki zasięg działania
" dla większych odległości są opisane w przybliżeniu przez
potencjał Yukawy
mĄ c
-
1
�
V (r) = g e
r
�
"Ą =
mĄ c
29
Energia wiązania jąder w funkcji Z i N. Stabilne są tylko jądra położone
ponad górną powierzchnią rysunku. Przypuszczalna wyspa stabilności
dla N~190 powinna zawierać jądra superciężkie.
30
Energia separacji nukleonu:
Sn(Z,N)=M(Z,N-1)+Mn-M(Z,N)=B(Z,N)-B(Z,N-1)
Sp(Z,N)=M(Z-1,N)+Mp-M(Z,N)=B(Z,N)-B(Z-1,N)
Energia pairing'u
�n(Z,N)=Sn(Z,N)-Sn(Z,N-1)
gładka funkcja
"
silne skokowe zmiany dla jąder o Z lub N
"
2, 8, 20, 28, 50, 82, 126
31
Podstawowe wielkości
charakteryzujące jądro
" promień jądra
" masa jądra i jego energia wiązania
" moment magnetyczny
" moment elektryczny
32
" określa własny moment pędu cząstki (np. elektronu)
lub układu cząstek (np. jądra)
" niezerowa wartość spinu oznacza, że obiekt posiada
moment magnetyczny
" wartość spinu wyrażamy w jednostkach
�
" spin elektronu wynosi � i jego ustawienie w
przestrzeni nie jest dowolne  mówimy tu o
kwantyzacji przestrzennej
" całkowity (kwantowy) moment pędu układu jest
sumą własnych momentów pędów (spinów)
składników i orbitalnych momentów pędów
�
�
� �
J = s1 + s2 + l12
np. dla układu dwóch cząstek zachodzi
�
"J = const
obowiązuje zasada zachowania
~
33
A A
X Z +1Y + e- + ?
? �
e
Z
W fizyce wyróżniamy:
" bozony, cząstki o spinie całkowitym
(s=0,1,2,3...)
" fermiony, cząstki o spinie połówkowym
(s=1/2, 3/2, 5/2 ...)
" liczba możliwych stanów wektora spinu s
wynosi 2s+1
" liczba możliwych stanów wektora
momentu orbitalnego l wynosi 2l+1
34
" spin protonu i neutronu wynosi �
" ich spiny i orbitalne momenty pędu składają się całkowity
moment pędu jądra I, zwany zwyczajowo spinem jądra
" ponieważ orbitalny moment pędu przyjmuje wartości tylko
całkowite, dla jąder o parzystych A oczekujemy całkowitej
wartości spinu, a dla jąder o nieparzystych A wartości
połówkowej
" moment pędu jądra I jest związany z pewnym momentem
magnetycznym źI
" moment źI jądra jest znacznie mniejszy od momentu
magnetycznego powłoki elektronowej ponieważ moment
magnetyczny pojedynczego nukleonu jest mniejszy od
momentu magnetycznego elektronu.
35
Moment magnetyczny
ź = I �" S
ź
i spin jądra
e�
R
I =
S = ĄR2
2Ą
I
e� e�R2
e M � R ź = ĄR2 =
2Ą 2
~
I = M�R2
klasycznie moment pędu cząstki (kręt)
~
ź
~
stosunek
e I
ł =
~
ź = = ł I
I giromagnetyczny
2M
Ponieważ kwantowo moment pędu jest
~
*
I = � I(I +1) = I �
skwantowany, a jego liczbie kwantowej I
odpowiada wartość spinu
*
36
ź = ł �I
I
I
pomiary momentu magnetycznego protonu wykazały, że należy przyjąć
*
ź = gźoI
I
e�
źo = ł �= g
źo=3.152*10-12 eV/Gs
I
2M
p
czynnik jądrowy
magneton jądrowy
źI
Moment magnetyczny w
źI = = g I(I +1)
magnetonach jądrowych
źo
Zmierzyć możemy składową momentu magnetycznego wzdłuż osi wyróżnionej przez
kierunek zewnętrznego pola magnetycznego
dipolowy moment magnetyczny
jądra
to maksymalna wartość tego rzutu, czyli
ź = gI
37
"
dipolowe momenty magnetyczne
nukleonów
źp = 2.79źo i źn = -1.91źo.
38
Metody pomiaru momentu magnetycznego
i spinu jądra
idea O. Sterna i W. Gerlacha, która wykorzystuje zachowanie
"
się dipola magnetycznego w zewnętrznym, niejednorodnym
polu magnetycznym
I. Metoda pomiaru oparta na liczbie składowych
struktury nadsubtelnej
II. Metoda pomiaru oparta na względnej odległości
składowych struktury nadsubtelnej
III. Metoda pomiaru oparta na pomiarze odchylenia
wiązek atomowych i cząsteczkowych
39
I. Metoda pomiaru oparta na liczbie składowych
struktury nadsubtelnej
Oddziaływanie

momentu
moment pędu atomu
magnetycznego
F
jądra z polem


wytworzonym
moment pędu jądra
przez elektrony
I
atomu. Z uwagi
F = I + J
na małą wartość

momentu pędu powłoki
ź, oddziaływanie
J
i ma
to jest niewielkie
i związane z nim
(I+J), (I+J-1), ..., |I-J|
rozszczepienie
składowych
jest niewielkie i
~105 �107 Gs dlatego mówimy
o nadsubtelnej
strukturze linii
multipletowość rozszczepienia
widmowych.
(2I+1) - dla Id"J
(2J+1) - dla J40
1/2
[I(I+1)]
2
/
1
]
1)
+
F
(
F
[
2
/
1
]
)
1
(J+
J
[
F=5/2
I=1 J=3/2
F=3/2
Rozszczepienie nadsubtelnej
struktury poziomu I=1 i
J=3/2
F=1/2
spin jądra wynika bezpośrednio z
liczby składowych multipletu, lecz
tylko dla Id"J
41
II. Metoda pomiaru oparta na względnej odległości
składowych struktury nadsubtelnej
Oddziaływanie momentu magnetycznego jądra z polem
magnetycznym wytworzonym przez elektrony atomu
charakteryzuje energia
E = źI HJ cos(I, J )
~105 �107 Gs
F(F +1)- I(I +1)- J(J +1)
cos(I, J ) =
źI = gźo I(I +1)
HJ = H J(J +1)
2 I(I +1)J(J +1)
gźoH
E = [F(F +1)- I(I +1)- J(J +1)]
2
42
1/2
[I(I+1)]
2
/
1
]
1)
+
F
(
F
[
2
/
1
]
)
1
(J+
J
[
gźoH
E = [F(F +1)- I(I +1)- J(J +1)]
2
F=I+J E1=gźoHIJ
F=I+J-1 E2= gźoH[IJ-(I+J)]
F=I+J-2 E3= gźoH[IJ-(2I+2J-1)]
"E12=E1-E2= gźoH(I+J) mierząc E,
"
wyznaczyć I
"E22=E2-E3= gźoH(I+J-1) można
F=5/2
I=1 J=3/2
"E12
F=3/2
"E23
F=1/2
43
dalsze rozszczepienie struktury
nadsubtelnej w zewnętrznym polu
magnetycznym
słabym (efekt Zeemana) i
silnym (efekt Backa-Goudsmita)
pozwala na niezależny pomiar
44
spinu jądra
W słabym polu magnetycznym
H H
I oraz J pozostają sprzężone w
wektor F i każdy poziom
mJ
mF
rozszczepia się na (2F+1)
składowych
J
mI
J
I
W silnym polu I oraz J ulegają
mI
rozprzężeniu  ponieważ powłoka
mJ
ma znacznie większy moment
I
mF
+1
magnetyczny niż jądro,
poszczególne poziomy szeregują
+3/2 +1/2
0
się w grupy o jednakowych mj
+1/2
-1
F
-1/2
3/2
-3/2
Liczba podpoziomów w każdej
I=1 J=1/2
grupie jest równa (2I+1)
1/2 -1/2
-1
+1/2
nadsubtelna
0 -1/2
struktura
+1
zjawisko zjawisko
45
Zeemana Backa-Goudsmita
III. Metoda pomiaru oparta na pomiarze odchylenia
wiązek atomowych i cząsteczkowych
W zewnętrznym polu magnetycznym na ciało o momencie
M H =
magnetycznym działa =ź� tj. M źHsinŚ.
ź
Stara się on ustawić wektor równolegle do
H
H
. Związany z tym przyrost
momentu pędu to
"�
(jest równoległy do M)
" " ź Ś"
I M t= Hsin t
=
"I
Ś
"I źH"t
I I
"� = =
I sin Ś I
ź
Otrzymuje się zatem precesję o częstości
M
"� źH
�L = =
precesja Larmora
"t I
Precesja Larmora
głHI e
46
�L = = głH = g H momentu magnetycznego
I 2M
dookoła kierunku pola H
Jest ~103 H, więc w polu o natężeniu 103 Oe ma
głHI e
�L = = głH = g H
wartość ~1MHz, czyli leży w zakresie fal
I 2M
radiowych.
z precesją Larmora związana jest dodatkowa energia
EL=źHcosŚ
lecz źH=�LI
EL = �L� I(I +1)mI = �L�mI
I(I +1)
gdzie mI jest magnetyczną liczbą kwantową odpowiadająca przestrzennemu
kwantowaniu wektora spinu jądra
47
EL = �L� I(I +1)mI = �L�mI
I(I +1)
Odpowiednio dla różnych możliwych wartości mI (magnetycznej liczby
kwantowej wektora spinu jądra) otrzymujemy (2I+1) energetycznych
stanów precesji odległych od siebie o h�L.
Jeśli jądro umieścimy w stałym polu H i poddamy je działaniu zmiennego
pola magnetycznego o częstości �L, to może ono zaabsorbować z tego
pola energię zmieniając orientację i przechodząc do wyższego stanu
energetycznego. Znając wartość H i mierząc �L, przy której następuje
najsilniejsza absorpcja energii możemy wyznaczyć g i ź.
Schemat rezonansowej metody
wiązek atomowych do pomiaru
momentów magnetycznych jąder
atomowych.
48
Wzory Schmidta dla momentów
magnetycznych jąder
2
J -1.293
źo
J +1 gdy J=l-1/2
ź =
Z-parzyste
(J + 2.293)źo gdy J=l+1/2
-1.913źo
gdy J=l-1/2
ź =
Z-nieparzyste
gdy J=l+1/2
1.913J
źo
49
J +1
Izospin (spin izotopowy)
" wprowadzony przez Heisenberga, by
traktować proton i neutron jako dwa
stany cząstki nazwanej nukleon o spinie
izotopowym 1/2
" proton ma wartość I3 = +1/2
" neutron ma wartość I3 = -1/2
50
Parzystość
" brak odpowiednika w fizyce klasycznej
" liczba kwantowa opisująca symetrię
zwierciadlaną funkcji falowej
" w równaniu Schr�dingera funkcja radialna
jest niezmiennicza względem odbicia
R(r)=R(-r)
" funkcje sferyczne będące funkcjami własnymi
momentu pędu l podlegają transformacji
l
Ylm(Ą -Ń,� +Ą )= (-1) Ylm(Ń,�)
" parzystość stanu Ą=ą1=(-1)l
" parzystość podlega zachowaniu podobnie jak
51
moment pędu
Podstawowe wielkości
charakteryzujące jądro
" promień jądra
" masa jądra i jego energia wiązania
" moment magnetyczny
" moment elektryczny
52
Moment elektryczny
z
W pewnym punkcie leżącym w odległości R
od początku układu współrzędnych pole
pochodzące od rozkładu ładunków opisać
możemy poprzez potencjał, będący sumą
potencjałów poszczególnych ładunków.
�
ei ei
e2
V(R)= =
�
" � "
2 2 2
R - ri i
i
(X - xi ) +(Y - yi ) + (Z - zi )
ei
e1
e3
=
e7
"� (X ,Y, Z; xi, yi, zi )
i
i
e4
y
e5
e6
x
53
i
R-r
)
Z
,
Y
,
X
(
R
)
z
,
i
y
,
i
x
(
i
r
i
W otoczeniu początku układu wyrażenia vi jako funkcje współrzędnych xi yi zi
możemy rozwinąć w szereg Taylora
rozwinięcie w szereg Taylora
Ą#�# "�i ś#
�# ś# �# ś#
"�i "�i ń#
�i = (�i ) +
ó#ś# ź# xi + ś# ź# yi + ś# ź# zi Ą#
o
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
ó#
Ł#�# "xi #o �# "yi #o �# "zi #o Ą#
Ś#
Ą#�#
�# �#
�# ś# �# ś# �# ś#
1 "2�i ś# "2�i ś# "2�i ś# "2�i ź# "2�i ź# "2�i ź# ń#
ź# ś# ź# ś# ź#
ś# ś# ś#
+ ó#ś# x2 + y2 + z2 + 2ś# xi yi + 2ś# yizi + 2ś# zixi Ą# + ..
i i i ź#
ś# ś#
2 "x2 ź# "y2 ź# "z2 ź# "xi"yi ź# "yi"zi "zi"xi ź# Ą#
ó#ś#
�# #o �# #o �# #o Ś#
i #o �# i #o �# i #o
Ł#�#
Obliczając pochodne dla wartości współrzędnych xi=yi=zi=0 i wstawiając do
wyrażenia na V(R), otrzymamy
1 1
V(X ,Y, Z)= ś# ź# +
"e + R2 �# X "e xi + Y "e yi + Z "e zi ś#
i i i i
R R R R
i �# i i i #
2 2 2
Ą# ń#
�# ś# �# ś# �# ś#
1 X Y Z XY YZ ZX
ź# ś# ź#
-1ź# xi2 + ś# -1ź# yi2 +ś#3 -1ź# zi2 + 6 xi yi + 6 yizi + 6 zixi Ą# +...
"ei "ei "ei "ei "ei "ei
ś# ś#3 R2 ź#
2R3 ó#ś#3 R2 # i R2 # i R2 i R2 i R2 i
i
�# �# # �#
Ł# Ś#
54
Występujące sumy zależą tylko od rozkładu ładunków
moment monopolowy
Qo -skalar
Qo =
"e
i
i
moment dipolowy
Q1 -wektor
(Q1) =
(Q1) = zi
"e yi
"e xi (Q1) = i
i
x y "e
i
z
i i
i
moment kwadrupolowy
Q2 -tensor symetryczny
(Q2) = xi2
(Q2) = zi2
(Q2) = yi2
"e
i
xx "e
"e i
i
yy zz
i
i i
(Q2) = (Q2) = xi yi
(Q2) = (Q2) =
"e
i
xy yx "e yizi
i
yz zy
i
i
(Q2) = (Q2) =
"e zixi
i
zx xz
i
55
Określone układy ładunków posiadają określone
momenty elektryczne
" moment wyłącznie monopolowy posiada ładunek umieszczony w
początku układu współrzędnych
" dwa ładunki przeciwnych znaków, leżące w równych odległościach
od początku układu współrzędnych mają tylko elektryczny moment
dipolowy
" czysty moment kwadrupolowy posiada np.. układ złożony z ładunku
 2e w początku układu i dwóch ładunków +e po obu jego stronach w
równych odległościach
" dla rozkładu ładunków symetrycznego względem osi z
(Q1)x= (Q1)y=0
i podobnie (Q2)xy= (Q2)yz= (Q2)zx=0
natomiast (Q2)xx= (Q2)yy
56
Momenty elektryczne rozkładu ładunków opisują również
oddziaływanie tego rozkładu z zewnętrznym polem
elektrycznym o potencjale V(x,y,z).
Energia tego oddziaływania jest równa
E =
"eV (xi, yi, zi)
i
i
57
co po rozwinięciu V na szereg Taylora i uwzględnieniu
definicji momentów daje
Ą#�# "V ś# ń#
�# V ś# V
" "
�# ś#
E V0Q0 ó# (Q1) ś# ź# (Q1) (Q1)
= + + + +
ś# ź# ś# ź#
Ą#
x y z
ś# ź#
y z
" "
�# #0
ó# Ą#
�# #0
Ł#�# "x #0 Ś#
Ą# ń#
�# ś# �# ś# �# ś#
V V V
"2 "2 ź# "2 ź#
ś# ś#
(Q2) + (Q2) + (Q2) +
ó#ś# x2 ź# Ą#
xx yy zz
ś# ź# ś# ś#
y2 ź# z2 ź#
" "
1 �# #0 �# #0
ó#�# " #0 Ą#
ó# Ą#
2
�# ś# �# ś#
"2V "2V
ó#2�# "2V ś#
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
(Q2) + 2ś# 2ś# ...Ą#
(Q2) + (Q2) +
xy yz zx
ś# ź# ź# ź#
ó# "x"y "y"z "z"v Ą#
�# #0 �# #0 �# #0
Ł# Ś#
58
Dla symetrycznego rozkładu ładunków względem osi z,
korzystając z wyliczeń, że (Q1)x= (Q1)y=0 i podobnie (Q2)xy=
(Q2)yz= (Q2)zx=0 natomiast (Q2)xx= (Q2)yy
i z twierdzenia Laplace a dla pola zewnętrznego
�# ś# �# ś# �# ś#
"2V "2V "2V
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
+ + = 0
ś# ś# ś#
"x2 ź# "y2 ź# "z2 ź#
�# #0 �# #0 �# #0
otrzymamy
�# ś#
"V 1 "2V
�# ś#
ś# ź#
E = V0Q0 + (Q1) + [(Q2) -(Q2) ]+...
ś# ź#
z zz xx
ś#
"z 2 "z2 ź#
�# #0
�# #0
59
Oddziaływanie symetrycznego rozkładu ładunków z
zewnętrznym polem elektrycznym opisują trzy wielkości:
" moment monopolowy Q0
" moment dipolowy względem osi symetrii (Q1)z
" oraz wielkość, którą nazywamy momentem
kwadrupolowym względem osi symetrii
Q2 = 2[(Q2) -(Q2) ]= (3zi2 - ri2)
"e
i
zz xx
i
60
kwadrupolowy moment można tez zapisać w postaci
Q2 = 2[(Q2) -(Q2) ]= (3zi2 - ri2)
"e
i
zz xx
i
dla ciągłego rozkładu ładunków
o gęstości (x,y,z)
�
Qo = �(x, y, z)d�
+"
Q1 = �(x, y, z)zd�
+"
Q2 = �(x, y, z)(3z2 - r2)d�
+"
61
Dla osiowo symetrycznego rozkładu ładunków w kształcie
elipsoidy obrotowej, o półosiach a i b i stałej gęstości ładunku
równej �=Qo/4Ąa2b
4
Q2 = �(3z2 - r2)d� = QoR2�
+"
5
gdzie średni promień rozkładu R=(a+b)/2
b - a b - a
� = = 2
R b + a
a) dla elipsoidy w kształcie cygara �>0 i Q2>0
62
b) dla elipsoidy w kształcie dysku �<0 i Q2<0
Zależność
kwadrupolowych
momentów elektrycznych
od liczby protonów lub
neutronów.
" występowanie liczb magicznych stanowiło podstawę
modelu powłokowego
" duże wartości momentów w obszarach pomiędzy
liczbami magicznymi doprowadziło do powstania modelu
kolektywnego
63