PODSTAWY MECHANIKI PA
YNÓW
1. Własności płynów
Termin dotyczy gazów i cieczy
 Ciało stałe  sztywne
 Płyn  deformacja pod wpływem sił
 Płyn  dopasowuje się do sztywnych ograniczeń
PÅ‚yn jako kontinuum
Dostępne obserwacjom:
 Zachowanie wybranych elementów płynu (metoda Lagrange a)
 Zmiany wybranych parametrów przepływowych w punktach przestrzeni (metoda Eulera)
Siły działające na element płynu:
1 podział:
 Zewnętrzne  powierzchniowe i siły bezwładności (masowe) -
 Wewnętrzne
Siła powierzchniowa:
Jednostkowa siła powierzchniowa
Siła bezwładności (masowa):
Jednostkowa siła bezwładności (masowa):
Oddziaływanie sił powierzchniowych ma dowolny zwrot i kierunek i prowadzi do powstania
NaprężeÅ„ stycznych tð i normalnych p.
Oddziaływanie naprężeń stycznych na element płynu prowadzi w ogólnym przypadku do:
 Obrotu elementu, rys 6.2.a
 Translacji elementu, rys 6.2.b
 Deformacji elementu, rys 6.2.c
W stanie spoczynku nie oddziaływają naprężenia styczne.
Wtedy łatwo zauważyć, że ciśnienie działa we wszystkich kierunkach jednakowo.
1
Koncepcja lepkości
Ciało sztywne utrzymuje swój kształt pod działaniem sił.
Płyn również opiera się zmianie kształtu. Tę własność nazwano lepkością.
Oddziaływanie to odbywa się w przepływie.
Prowadzi do powstania profilu prędkości jak na rys. 6.3.
2
Zależność pomiędzy gradientem prędkości w takim profilu i naprężeniem stycznym opisana jest poniższym
wzorem:
Wtedy pÅ‚yn nazywa siÄ™ Newtonowskim, a współczynnik mð - współczynnikiem lepkoÅ›ci dynamicznej.
Jest on związany ze wsp. lepkości kinematycznej poprzez:
Napięcie powierzchniowe
Molekuły na powierzchni są przyciągane przez molekuły z wnętrza płynu, rys. 6.4.
Nazywa się to napięciem powierzchniowym i wyrażane jest w m/s.
Tensor naprężeń
Załóżmy, że element płynu na postać sześcianu, rys. 6.5.
3
Siły na niego oddziałujące są odpowiedzialne za naprężenia na powierzchniach określane przez tensor S.
Jednostkowa siła powierzchniowa może być wtedy wyrażona:
a wektor n jest jednostkowym wektorem normalnym do powierzchni "S.
2. Opis przepływu płynu
W ogólnym przypadku ruch płynu jest bardzo złożony.
Linie opisujÄ…ce trajektoriÄ™ czÄ…stki nazywajÄ… siÄ™ liniami prÄ…du. Jest ona styczna we wszystkich punktach do
chwilowego wektora prędkości elementu. Nie istnieje więc ruch poprzeczny do tych linii.
Mogą być one niezmienne w czasie. Wtedy dokładnie opisują tor.
Powierzchnia prądu jest styczna w każdym punkcie do wektorów prędkości tworzących ją linii prądu.
Jeżeli przekrój przez powierzchnie prądu jest linią zamkniętą to mówimy o rurce prądu.
Typy przepływów
jednorodny
stacjonarny
ściśliwy
1-wymiarowy, wielowymiarowy
Przyspieszenie, pochodna substancjalna.
Wektor prędkości:
4
Podobnie przyspieszenie:
Stąd dla większości przypadków wykorzystujących metodę Eulera:
Pochodna substancjalna (materialna):
We współrzędnych kartezjańskich:
We współrzÄ™dnych cylindrycznych (r, fð, z):
5
Translacja, rotacja, deformacja linowa i kÄ…towa:
Dla prostoty w przypadku 2-wymiarowym, rys. 6.8:
Dla małych wartości różniczek i przyrostów otrzymuje się w kierunku osi x (obraz na rys. 6.9):
i w kierunku osi y:
W konsekwencji również x zależy od zmian w kierunku y:
stÄ…d kÄ…ty obrotu:
Jeżeli Ä… = -² to nie pojawia siÄ™ deformacja kÄ…towa lecz obrót.
6
Częstość średnia rotacji względem osi z będzie wtedy (w przestrzeni 3-wymiarowej):
Zmiany pochodnych w tej przestrzeni prezentowane sÄ… na rys. 6.10.
Właściwe wartości pochodnych tworzą tensor prędkości T:
7
Tensor T może być wyrażony poprzez sumÄ™ antysymetrycznego tensora rotacji TÉ i symetrycznego tensora
deformacji Td:
Są spełnione następujące relacje macierzowe dla tych tensorów (TT oznacza transpozycję tensora T):
Elementy tensora TÉ sÄ… skÅ‚adowymi wektora rotacji ©:
8
SkÅ‚adowe tensora TÉ mogÄ… być opisane:
zaś składowe tensora Td :
µ to skÅ‚adowe gradientu prÄ™dkoÅ›ci tensora deformacji liniowej:
¸ to skÅ‚adowe gradientu prÄ™dkoÅ›ci tensora deformacji kÄ…towej:
Prędkość przemieszczenia dowolnego punktu składa się z:
Gdzie z rys. 6.11 wynika, że:
9
Równanie ciągłości przepływu
Ruch jest opisany przez pole prÄ™dkoÅ›ci c(x y z t) i pole gÄ™stoÅ›ci Á(x y z t). Zgodnie z zasadÄ… zachowania masy,
masy nie może w objętości kontrolnej ubyć. Stąd zmiana masy w objętości kontrolnej musi być równa
przepływowi przez powierzchnię S.
z twierdzenia Gaussa dla różniczkowania
StÄ…d
a dla przypadku stacjonarnego:
a dla przepływu dodatkowo nieściśliwego:
Rozpatrując kanał przepływowy, w którym parametry w poszczególnych przekrojach są jednorodne, rys. 6.13,
otrzymamy:
10
SkÄ…d zachodzi:
Po logarytmowaniu i różniczkowaniu otrzyma się:
Równanie zachowania energii
Zwykle, przy przepływach w turbinach można zaniedbać energię potencjalną z pola grawitacyjnego, co pozwala na
rozpatrywanie zasady zachowania energii jako:
Przyrost energii płynu w czasie w objętości kontrolnej jest sumą:
-ð pracy wykonanej przez siÅ‚y masowe i powierzchniowe:
-ð ciepÅ‚a dostarczonego do pÅ‚ynu przez powierzchniÄ™ S:
Å›ðT Å›ðT
lð dS gdzie lð -ð przewodnosc a -ð gradient temperatury
òðòð
S
Å›ðn Å›ðn
-ð ciepÅ‚a generowanego w pÅ‚ynie np. przez spalanie:
rðq(ðt)ðdv gdzie q(ðt)ð-ð ilosc ciepla wydzielona w plynie w jednostce czasu
òðòðòð
V
Więc równanie zachowania energii może być zapisane jako:
11
Zmieniając obszary całkowania wg. (6.6):
prowadzi siÄ™ do:
SkÄ…d:
Równanie momentów
Jest ono formą II zasady dynamiki Newtona dla sił masowych i powierzchniowych:
BiorÄ…c pod uwagÄ™:
można trzymać:
skÄ…d:
12
co jest równoważne zapisowi:
Szczególnie dla płynu idealnego, gdy naprężenia styczne = 0:
równanie (6.19) ma formę:
znaną jako równanie Eulera, zapisywane inaczej:
a we współrzędnych cylindrycznych:
Równanie momentu kątowego
W ruchu obrotowym:
13
Równanie momentu pędu
Dla jednorodnego przepływu w kanale jak na rys. 6.14:
Siła F może być określona z lewej strony równania Eulera (6.21):
Używając równanie ciągłości można napisać:
co prowadzi do równań używanych dla maszyn wirnikowych i moment wynosi:
14
Równanie Naviera-Stokes a
Hipoteza Newtona może być uogólniona włączając zależność pomiędzy tensorem naprężeń S i tensorem
deformacji Td:
co prowadzi do zapisu:
Zakładając ź = 0 otrzymuje się równanie Naviera-Stokes a:
15
Przepływ laminarny i turbulentny
Przepływ zwany jest laminarnym (lepkim lub warstwowym) gdy cząsteczki nie zmieniają odległości- wysokości w
kolejnych chwilowych przekrojach.
Warstwa przyścienna
Rejon obniżonej prędkości, rys. 6.16, jest zwany warstwą przyścienną.
Proces jej tworzenia na rys. 6.17.
16
Trzy definicje związane z warstwą przyścienną są używane:
-ð grubość odsuniÄ™cia:
-ð grubość momentu:
-ð grubość energii:
Może nastąpić separacja przepływu z powody tarcia i strat w tej warstwie, rys. 6.18.
Przepływ potencjalny
Przepływ nazywamy potencjalnym, gdy istnieje taka funkcja Ś że możemy napisać równanie na pole prędkości c:
Przepływ wirowy i bezwirowy
Warunek dla pola bezwirowego:
Oznacza, że wirowość = 0 i tensor rotacji TÉ = 0.
Cyrkulacja
Cyrkulacja w polu prędkości jest całką:
Teoremat Kutty-Jołkowskiego
Mówi, że w idealnym przepływie siła nośna (łopatki lub skrzydła) jest równa:
17
Prędkość dz
więku w płynie, liczba Macha
Gdy wprowadzi się propagację małych zaburzeń ciśnienia, powstaje fala ciśnienia przemieszczająca się z
prędkością:
Dla gazów idealnych:
SkÄ…d liczba Macha:
Fale uderzeniowe
Są rozumiane jako powierzchnie nieciągłości parametrów płynu. Parametry zmieniają się po przekroczeniu tej
powierzchni nagle i skokowo, rys. 6.19.
Jako równanie energii można otrzymać:
Fala skośna:
18
Fala skośna i oderwana:
19