Fizyka Statystyczna i Termodynamika
Opracowanie zagadnień do egzaminu
Kamil Mętrak
[e-mail]
Brakuje punktów 28, 29, 31, 32, 33, 34
29-31.01.2004
2
1. Ac& Zasady termodynamiki
2. 2c& Transformacja Legendrea w termodynamice
3. 3c& Relacja Gibbsa - Duhlema
4. 4c& Zasada pracy maksymalnej
5. 5c& Stabilność układów termodynamicznych, równowaga termodynamiczna
6. 6c& Entropia dla gazu doskonałego
7. 7c& Potencjał chemiczny dla gazu doskonałego
8. 8c& Reguła faz Gibbsa
9. 9c& Termodynamika reakcji chemicznych, gaz doskonały
10. 10c& Równanie Clausiussa - Clapeyrona
11. Af& Rozkład mikrokanoniczny
12. 2f& Rozkład kanoniczny, wyprowadzenie, własności, fluktuacje
13. 3f& Wielki rozkład kanoniczny, wyprowadzenie, własności, fluktuacje
14. 4f& Rozkład Maxwella Boltzmana
15. 5f& Gęstość stanów
16. 6f& Rozkład Fermiego - Diraca
17. 7f& Rozkład Bosego Einsteina
18. 8f& Gaz elektronowy, potencjał chemiczny, energia wewnętrzna, ciepło właściwe
19. 9f& Gaz bozonowy, potencjał chemiczny, energia wewnętrzna, ciepło właściwe
20. 10f& Kondensacja Bosego - Einsteina
21. Ae& Model Isinga, przykłady zastosowań
22. 2e& Rozszerzenia modelu Isinga
23. 3e& Model Isinga w jednym wymiarze
24. 4e& Funkcje korelacji łańcucha Isinga
25. 5e& Podatność łańcucha Isinga
26. 6e& Teoria pola średniego (molekularnego), temperatura krytyczna, wykładniki krytyczne
27. 7e& Hipoteza uniwersalności zjawisk krytycznych
28. 8e& Teoria Landaua przejść fazowych, wykładniki krytyczne
29. 9e& Teoria chaosu deterministycznego, mapa logistyczna
30. 10e& Hipoteza skalowania
31. Je& Grupa renormalizacji na przykładzie modelu Isinga i modelu perkolacji
32. Qe& Równanie transportu Boltzmana
33. Ke& Równania dyfuzji
34. JOKER Przewodnictwo elektryczne
3
1. Zasady termodynamiki.
Zerowa zasada termodynamiki Dla każdego równowagowego układu termodynamicznego istnieje intensywna,
skalarna wielkość, która jest funkcją stanu, zwana temperaturą, taka, że układy znajdują się we wzajemnej
równowadze termodynamicznej jeśli ich stany opisywane są przez taką samą temperaturę. Zasada ma charak-
ter przechodni.
(�A = �B) '" (�B = �C) �! (�A = �C)
Pierwsza zasada termodynamiki Dla każdego układu termodynamicznego istnieje wielkość zwana energią
wewnętrzną, która jest a) funkcją stanu ukladu, b) sumą wszystkich energii elementów układu. W układach izo-
lowanych energia wewnętrzna nie zmienia się w czasie (zasada zachowania energii wewnętrznej).
Druga zasada termodynamiki Istnieje intensywana zmienna T zwana temperaturą bezwzględną oraz eksten-
sywna zmienna S zwana entropią, taka, że dla układu jednorodnego w stanie równowagi mamy dQ = T dS.
Entropia układu izolowanego nigdy nie maleje i w stanie równowagi osiąga maksimum, którego wartość wynika
z warunków narzuconych na układ z zewnątrz. Taka definicja entropii pracuje tylko dla procesów odwracalnych.
Trzecia zasada termodynamiki Dla dowolnego ukłau termodynamicznego limT 0 S = 0
2. Transformacja Legendre a w termodynamice. Potencjały trmodynamiczne.
U = U(S, V, N) - naturalne zmienne energii wewnętrznej
"U(S,V,N)
T =
"S
"U(S,V,N)
p =
"S
"U(S,V,N)
� =
"S
Jednak znając U = U(T, V, N) nie mogę znalez
ć entropii S.
"U
F = F (T, V, N) = U - S = U - T S - energia swobodna Helmholtza
"S
"U
H = H(S, p, N) = U - V = U + pV - entalpia
"V
"U "U
G = G(T, p, N) = U - V - S = U + pV - T S - potencjał termodynamiczny Gibbsa
"V "S
3. Relacja Gibbsa-Duhlema.
dU = T dS - pdV + �dN
dU + pdV - �dN
dS =
T
S(U, V, N) = S(U, V, N)
Różniczkujemy obie strony po  i wstawiamy  = 1:
"S "S "S
� U + � V + � N = S(U, V, N)
"U "V "N
V,N U,N U,V
1 p �
� U + � V - � N = S
T T T
U + pV - T S = �N
ale
U + pV - T S = G
stąd
G = �N
4
4. Zasada pracy maksymalnej.
Układy Z i Rp mają stałą entropię, bo nie ma przepływu ciepła.
"E + "ER + "ER + "EZ = 0 zasada zachowania energii
T p
Ż"S Ż Ż
Ż
"E + T - p"V + W = 0
gdzie "E jest energią wewnętrzną systemu Ł, zaś W - pracą nieobjętościową wykonaną przez system Ł nad
systemem Z. Ale
Ż
"S + "S e" 0 równe dla procesu odwracalnego
oraz
Ż
"V = -"V
więc
Ż"S Ż
"E - T + pV + W d" 0
ŻS Ż
"(E - T + pV ) + W d" 0
ŻS Ż
-"(E - T + pV ) e" W
Praca wykonywana przez układ Ł jest mniejsza lub równa zmianie tej wielkości ( )
5. Stabilność układów termodynamicznych, równowaga termodynamiczna.
a) 2 układy w stanie równowagi w kontakcie cieplnym
S = S1 + S2
dS = dS1 + dS2
oraz
T1dS1 = �Q1
T2dS2 = �Q2
przy czym
�Q = �Q1 = -�Q2
1 1
dS = �Q -
T1 T2
" 1 "2 " 1 "2
dS = S1dE1 + S1(dE1)2 + . . . + S2dE2 + S1(dE2)2 + . . . =
"E1 2 "E2 2
"E12 "E22
" 1
= S1 =
"E1 T1
1 1 1 " 1 1 " 1
= dE1 + dE2 + dE1 + dE2 =
T1 T2 2 "E1 T1 2 "E2 T2
= {dE1 + dE2 = 0}
1 "2 "2
= S1 + S2 (dE)2 d" 0
2
"E12 "E22
Fluktuacje stanu równowagi mogą tylko zminiejszyć entropię.
"2
S d" 0
"E2
" 1
d" 0
"E T
1 "
- T d" 0
2
T "E
"
T e" 0
"E
N,V
5
Energia wewnętrzna wyrażona jako funkcja zmiennych eksttensywnych (bez entropii) i temperatury jest niemale-
jącą funkcją temperatury.
b) 2 układy wymieniające energię i masę
dE = dE1 + dE2 =
" 1 "2 " 1 "2
= E1dS1 + E1(dS1)2 + . . . + E2dS2 + E1(dS2)2 + . . . +
"S1 2 "S2 2
"S12 "S22
" 1 "2 " 1 "2
+ E1dN1 + E1(dN1)2 + . . . + E2dN2 + E1(dN2)2 + . . . =
"N1 2 "N2 2
"N12 "N22
dS1 = -dS2
= =
dN1 = -dN2
1 "2 "2
= (T1 - T2)dS1 + E1 + E2 (dS1)2 +
2
"S12 "S22
1 "2 "2
+(�1 - �2)dN1 + E1 + E2 (dN1)2 e" 0
2
"N12 "N22
"2
E e" 0
"S2
"2
E e" 0
"N2
"
� e" 0
"N
c) 2 układy wymieniające energię i objętość
T1dS1 = dE1 + �W1
T2dS2 = dE2 + �W2
1 1
0 = dS = dS1 + dS2 = (dE1 + �W1) + (dE2 + �W2) =
T1 T2
1 1
= (dE1 + p1dV1) + (dE2 + p2dV2) =
T1 T2
dE1 + dE2 = 0
= =
dV1 + dV2 = 0
1 1 p1 p2
= - dE1 + - dV1
T1 T2 T1 T2
Z tego wynika, że T1 = T2 i p1 = p2
6
Warunkiem stabilności jest maksymalizacja entropii
1 1 p1 p2
0 e" dS = dS1 + dS2 = - dE1 + - dV1 +
T1 T2 T1 T2
1 "2 "2 1 "2
+ S1 (dE1)2 + S1 dE1dV1 + S1 (dV1)2 +
2 "E1"V1 2
"E12 "V12
1 "2 "2 1 "2
+ S2 (dE2)2 + S2 dE2dV2 + S2 (dV2)2
2 "E2"V2 2
"E22 "V22
"2 "2 "2
stąd S (dE)2 + 2 S dEdV + S (dV )2 d" 0
2
"E2 "E"V "V
War. stabilności:
ńł
"2
�ł
E d" 0
�ł
"S2 V
�ł
�ł
"2
E d" 0
2
"V
�ł S
�ł
�ł
"2 "2 "2
ół
E - E � E d" 0
2
"S"V "S2 V "V
S
I) Z minimalizacji entalpii
H = U + pV = H(S, p)
dH = T dS - pdV + V dp = dH1 + dH2
dS = 0 = dS1 + dS2
Analiza stabilności
1 "2 1 "2 "2H
dH = T dS + V dp + H (dS)2 + H (dp)2 + dpdS
2 "S2 2 "p2 "p"S
1 "2 "2
dH1 + dH2 = (T1 - T2)dS1 + H1 + H2 (dS1)2
2
"S12 "S22
Dla H = min. T1 = T2 oraz
"2
H e" 0
"S2
"
Cp = Q e" 0
"T
II) Z minimalizacji energii swobodnej
dF = dF1 + dF2 = 0
dF = d(U - T S) = T dS - pdV - T dS - SdT
dF1 = -p1dV1 - S1dT1
0 = dF1 + dF2 = (-p1 + p2)dV1 �! p1 = p2
Analiza stabilności
" " 1 "2 1 "2
dF1 = F1 (dV1) + F1 (dT1) + F1 (dV1)2 + F1 (dT1)2 �!
"V1 "T1 2 2
"V12 "T12
1 "2 "2
�! dF = F1 + F2 (dV1)2
2
"V12 "V22
"2
F e" 0
2
"V
"
- p e" 0
"V
1 "
� = - V e" 0
V "p
7
III) Z minimalizacji potencjału Gibbsa
dG = dU + d(pV ) - d(T S) =
� P
= T dS - pdV + �ądNi� + d(pV ) - d(T S) =
i
i=1 ą=1
� P
= -SdT + V dp + �ądNi�
i
i=1 ą=1
W najprostszym przypadku, gdy � = P = 1
dG = -SdT + V dp + �dN
Analiza równowagi:
� = const.
Analiza stabilności:
"
� e" 0
"n
w ogólnym przypadku mamy warunek równowagi:
� P
�ądNi� = 0
i
i=1 ą=1
"
��
�
"NI I
Jest to "nieujemna" macierz � � P � � � P .
6. Entropia gazu doskonałego.
dS =?
dU = dQ - pdV , dQ = T dS
dU + pdV
dS = =
T
wstawiamy dU = cvdT
dT dV
= ncv + nR
T V
S = dS = ncv ln T + nR ln V + c(n) =
gdzie c(n) = -nR ln n + n� Zatem
V
S = n cv ln T + R ln( ) + �
n
8
7. Potencjał chemiczny gazu doskonałego.
� =? dF = -SdT - pdV + �dN
"F
= �
"N T,V
V
F = U - T S - c1NT - T N c1 ln T + kB ln - T N�
v v
n
F = F (T, V, N)
V
� = c1T - T c1 ln T + kB ln - T � + kBT
v v
N
N
c = - koncentracja
V
�(T ) = �0(T ) + tkB ln c
�0(T ) = c1T - T c1 ln T + T kB - T �
v v
8. Reguła faz Gibbsa.
P - ilość faz, B - liczba rodzajów cząstek.
�1 = �2 = . . . = �P
1 1 1
�1 = �2 = . . . = �P
2 2 2
. . .
.. .
. .
.
. . .
�1 = �2 = . . . = �P
B B B
�ą zależą od p i T , ale również od względnych koncentracji w danej fazie:
i
B
Nią
= ci � ąi, cą = 1
i
B
Nią
j=i i=1
Niezależnych koncentracji jest zatem P � (B - 1), więc ogólnie mamy P � (B - 1) + 2 zmiennych (bo dodatkowo
p i V ) oraz B � (P - 1) więzów z warunków równowagi. Liczba stopni swobody (wielkości, które moga byc
zmieniane) wynosi:
f = P � (B - 1) + 2 - B � (P - 1) = 2 + B - P
9. Termodynamika reakcji chemicznych, gaz doskonały.
Każdą reakcję chemiczną można zapisać w postaci
�jAj Aj- symbol reagenta
j
�j- liczba występująca w równaniu reakcji
L - stała postepu reakcji
Nj = �j � L
L określa liczbę elementarnych procesów reakcji Nj - liczba cząstek określonego typu(j), które wzieły udział w
reakcji
Równowaga systemu chemicznego ma miejsce gdy reakcja nie zachodzi lub ilość reakcji w jedną stronę jest
równa liczbie reakcji w drugą stronę.
G = �N - dla jednaj cząstki
G = �jNj - dla j rodzajów cząstek
j
G = G(p, T, N1, N2, . . .)
9
Równowaga ma miejsce gdy dG = 0
0 = dG = �jNj = �j�jdL
j j
�j�j = 0 Warunek równowagi reakcji chemicznej.
j
10. Równanie Clausiusa - Clapeyrona.
�(1) = �(1)
I II
�(2) = �(2)
I II
d�I = d�II (wzdłuż linii przejścia fazowego - l.p.f.)
G
� = dG = -S � dT + V � dp
N
-S � dT + V � dp
d� = = -s � dT + C � dp
N
S V
gdzie s = oznacza entropię na 1 cząsteczkę, natomiast v = .
N N
-sI � dT + vI � dp = -sII � dT + vII � dp
dT i dp - zmiana wzdłuż linii przejścia fazowego.
(sII - sI) � dT = (vII - vI) � dp
dp
"sII-I = "vII-I �
l.p.f.
dT
dQ = T � dS
"Q "S
= T � = cx
x x
"T "T
cprzem.faz. = "Q = T � "sII-I
11. Rozkład mikrokanoniczny.
Określa prawdopodobiństwo mikrostanu układu, gdy układ jest izolowany (brak wymiany masy i energii z
otoczeniem).
1
dla stanów dozwolonych
"�
P (&!) =
0 dla stanów niedozwolonych
S = kB ln("�)
S
kB
"� = e
10
12. Rozkład kanoniczny, wyprowadzenie, własności, fluktuacje.
Rozkład kanoniczny określa prawdopodobieństwo mikrostanu układu, gdy układ jest w kontakcie cieplnym z
otoczeniem (wymiane energii), ale nie może wymieniać masy (N = const.) - układ zamknięty.
 Całość jako układ i otoczenie jest opisana rozkładem mikrokanonicznym.
1
P (&!t) = P (&!, &! ) =
"�
P (&!) =?
P (&!) = P (&!, &! ) � "� (E ) =
S (Et -E)
1 1
kB
= � "� (Et - E) = e = {E + E = Et}
"�t "�t
"S 1 1
= E Et = S (Et - E) = S (Et) + (-E) + . . . = = =
"E T T
N
E
S (Et )
E
S (Et) - + . . .)
1 1
T
kB kB T
= exp( H" � e � e- =
"�t kB "�t
1 1
= � e-��E � =
Z kBT
gdzie Z = e-��Ed&! - suma statystyczna lub suma stanów
Z ma własności funkcji tworzącej:
1 1 " "
U = E = EP (&!, E)d&! = e-�EEd&! = Z = - ln Z
Z Z "(-�) "�
F = U - T S
S = S(&!) = -kB ln P = -kB ln(P ) � P � d&! Entropia w rozkładzie kanonicznym
F = U - T S = U + T kB P � ln P � d&! =
1
= U + T kB e-�E [-lnZ - �E] d&! =
Z
ln Z 1
= U - T kB e-�Ed&! - T kB� e-�E Ed&! =
Z Z
ln Z
= U - T kBlnZ - U =
�
F � = - ln Z
e-�F = Z
Fluktuacje energii w rozkładzie kanonicznym
2
�2 = (E - U)2 = E2 - E =
1 1
= e-�EE2d&! - ( e-�EEd&!)2 =
Z Z
1 Z ZZ - (Z )2 Z "
= Z - = = = (ln Z) = - U =
Z Z Z2 Z "�
"U "T -1
2
= - = -cV 1 = cV kBT
"T "�
2
kB T
11
2
�2 = cV kBT H" kBT N
"
� N 1
= = " - 0
U N
N
Multiplikatywność sumy statystycznej
dE = dE1 + . . . + dEN
1 2 N
Z = e-�Ed&! = = e-�E d&!1 � e-�E d&!2 � . . . � e-�E d&!N =
d&! = d&!1 + . . . + d&!N
= Z1 � Z2 � . . . � ZN =
= {dla N cząstek identycznych} = (Z1)N
13. Wielki rozkład kanoniczny, wyprowadzenie, własności, fluktuacje.
Rokład wielki kanoniczny określa prawdopobieństwo mikrostanu układu, gdy układ jest otwarty, czyli może
wymieniać z otoczeniem nie tylko energię, ale i masę (liczbę cząstek)
dU = T dS - pdV + �dN
"U
= �
"N
S,V
1
P (E, N) = � "�
"�
S (E ,N )
kB
"� = e
"S "S
S (Et - E, Nt - N) = S (Et, Nt) + (-E )(-N + . . . =
"E "N
1 �
= S (Et, Nt) + (-E ) + (-N)(- =
T T
1 �
= S (Et, Nt) - E + N
T T
S (Et ,Nt) N �
E
1
kB kB T kB T
P (E, N) = e � e- � e =
"�t
N �
E
1
kB T kB T
= � e- � e
Ż
Ż - wielka suma statystyczna.
"
Ż = e-�EeN��(d&!1 � d&!2 � . . . � d&!N ) (sumocałka)
N=0
1
N = NP (E, N)d&! = Ne-�E+��Nd&! =
Ż
1 1 "Ż 1 "
= = ln Ż
� "� � "�
Ż
"
"Ż [-E + N�]e-�E+N��(d&!1 � d&!2 � . . . � d&!N )
N=0
= Ż
"�
Ż
= Ż[U + N �]
12
1 "Ż "
-U + � N = = ln Ż
"� "�
Ż
"
U = ln Ż + � N
"�
Fluktuacje w rozkładzie wielkim kanonicznym
2 2
�N = (N - N )2 = N2 - N =
2
1 1 "2 1 1 "
= Ż - Ż =
�2 "�2 Ż � "�
Ż
2
"2 "Ż
Ż Ż -
"Ż
"�2 "�
1 " 1
"�
= = =
�2 Ż2 "� �2
Ż
1 " " 1 "
= ln Ż = � N =
�2 "� "� �2 "�
" N
= kBT
"�
"
�N N 1
"
= = - 0
U N
N
"
1
S = -kB ln P = -kB e-�E+N��{- ln Ż + [-�E + N��]}d&!1 � d&!2 � . . . � d&!N =
Ż
N=0
= -kB{ln Ż + (-�)U + �U N }
F = U - T S = U + T kB{- ln Ż - �U + �U N } =
= -T kB ln Ż + � N
F - � N = -T kB ln Ż
F - G = -T kB ln Ż = Ś = -pV
F - G
= ln Ż
-T kB
G-F
T kB
Ż = e
Multiplikatywność wielkiej sumy statystycznej
E = EA � EB
"
Ż = e-�(E-�N)d&!1 � . . . � d&!N
N=0
Ż = ŻA � ŻB
Jeśli E = E1 + E2 + . . . + EN
E1 = E2 = . . . = EN
"
1-�N)
Ż = e-�(NE d&!1 � . . . � d&!N
N=0
13
14. Rozkład Maxwella Boltzmanna.
Stosując rozkład kanoniczny dla 1 cząstki otrzymujemy:
dN
r v)
r,v
r v
= const.e-��(r v dr v
rdv
N
r
gdzie � oznacza energię jednej cząstki, znajdującej się w pewnym otoczeniu punktu r i mającą prędkość zblizoną
r
v
do v Stałą const. można wyliczyć z warunku unormowania prawdopodobieństwa.
v.
Najczęściej � separuje się na sumę energii potencjalnej i kinetycznej:
mv2
r v r
�(r v = Ć(r +
r, v) r)
2
Rozkład Maxwella otrzymuje sie z rozkładu Boltzmanna przez wysumowanie po położeniach. Wówczas nie-
r
zależnie od Ć(r) otrzymuje sie:
r
�mv2
dN
2
v
= const.e- dv
v
N
v
Jeśli interesuje nas wyłącznie wartość prędkości to należy to wyrażenie wysumować po kierunkach wektorav
v.
v
w tym celu element objętości wyrażamy za pomocą współrzędnych sferycznych wg wzoru: dv = v2dv sin �d�dĆ
v
i otzrymujemy:
�mv2
dN
2
= const.e- v2dv
N
Stała const. wynosi:
3
2
m
4Ą
2ĄkBT
Ostatecznie rozkład Maxwella dla modułu prędkości wyrażony jest wzrem:
3
2
mv2
m
2kB T
dN(v) = 4ĄN e- v2dv
2ĄkBT
Rozkład Boltzmanna musi byc uzyty wtedy, gdy rozpatrywane zjawiska związane są z energią potencjalną,
gdyz w takich przypadkach nieistotna jest energia kinetyczna.
15. Gęstość stanów.
Funkcja gęstości stanów g(�) określa liczbę możliwych realizacji jednej wartości energii. Jeśli � przybiera
ciągły zbiór wartości, to g(�) ma znaczenie ilości stanów w pewnym otoczeniu energii �. W przypadku dyskret-
nego zbioru wartości �, g(�) podaje liczbę stanów o tej energii.
k Ż
Dla gazu elektronowego energia zależy tylko ad wartości wektora falowego k : � = h2k2/2m. Przedziałowi
k
energii (�, � + d�) odpowiada w kuli Fermiego warstwa sferyczna o grubości dk równej
1 2m
dk = d�
2Ż �
h
Objętość tej wartwy
"
3
2
d&! = 4Ąk2dk = 4sqrt2Ąm h-3 �d�
Ż
(2Ą)3
k
�k =
k
V
3
2
"
d&! V 2m
= �d�
k
�k 4Ą2 h2
k
Ż
14
Liczba stanów jest 2 razy większa od liczby wektorów falowych ze względu na spin:
3
2
" "
V 2m
g(�)d� = �d� = A �d�
2Ą2 h2
Ż
Dla gazu bozonowego funkcja gęstości stanów jest praktycznie taka sama, z jedną tylko różnicą. Elektrony
mają 2 możliwe wartości spinu, natomiast bozony - 2s + 1, z tym że s = 0, 1, 2
3
2
"
2s + 1 2s + 1 2m
g(�) = B �, B = A = V
2 Ą2 h2
Ż
Dla gazu fotonowego przyjmuje się zwykle jako argument nie energię cząstki �, ale częstość dragań �.
4Ą�2
k
�k = d�
k
�3
(2Ą)3
Na jeden wektor falowy, zgodnie z warunkami Borna-Karmana, przypada objętość równa . Fala o
V
ustalonym wektorze falowym może mieć s polaryzacji. Zatem fnkcja gęstości stanów przybiera postać
sV
g(�)d� = �2d�
2Ą2�3
16. Rozkład Fermiego - Diraca.
Przedstawia on średnią liczbę elektronów w poszczególnych stanach kwantowych ą.
Punktem wyjścia do wyprowadzenia tego rozkładu jest wzór na średnią liczbę cząstek w rozkładzie wielkim
kanonicznym.
N = Ną
ą
1 "2
Ną = ln Ż
� "�2
ą-�)
Żą = 1 + e-�(�
1
Ną =
�ą-�
kB T
e + 1
Dla warunków klasycznych, przy dużych temperaturach, można zaniedbać jedynkę w mianowniku rokładu
Fermiego - Diraca i wtedy rozkład ten przechodzi w rozklad Boltzmanna
17. Rozkład Bosego - Einsteina.
Dla tego rozkładu punktem wyjścia rózwnież jest rozkład wielki kanoniczny. Jednak w przypadku bozonów
nie ma czegos takiego jak zakaz Pauliego, zatem suma po liczbie cząstek jest nieograniczona.
"
n(�-�)
kB T
Żą = e-
n=0
" 1
Ną = kBT ln Ż =
�-�
"�
kB T
e - 1
Rozkład Bosego - Einsteina różni sie od Fermiego - Diraca tylko znakiem przy jedności w mianowniku.
15
18. Gaz elektronowy, potencjał chemiczny, energia wewnętrzna, ciepło właściwe.
Potencjał chemiczny
� �
"
2 3
2
N = g(�)d� = A �d� = A�
3
0 0
Ż
h2 2 N
2
�0 = (3Ą2c) c =
2m V
Energia wewnętrzna
�0
2 5
2
U0 = �g(�)d� = A(�0) =
3
0
3
= �0N
5
W temperaturze T = 0 energia wewnętrzna pokrywa się z energią swobodną F. Zatem
" 2 U0
p = - F =
"V 3 V
Równanie stanu
1
3
2 2 3Ą2 4
3
pV = N�0 = N
5 5 V
Dla temperatur T > 0:
Potencjał chemiczny
"
N = g(�)f(�)d� =
0
"
"
= A �f(�)d�
0
Tej całki nie da się ściśle obliczyć, ale można skorzystkać z metody przybliżonej. Zatem niech Ip oznacza całkę
"
Ip = �pf(�)d�
0
Po wykonaniu całkowania prze części otrzymujemy
"
-1 "
Ip = �p+1 f(�)d�
p + 1 "�
0
�-�
Pozostałe wyrazy znikają w zerze i nieskończoności. Następnie podstawiamy y = , przyjmując, że kBT �,
kB T
dzięki czemu możemy przesunąć dolną granicę całkowania do -". Zatem
+"
1 "
Ip = - (� + ykBT )p+1 fdy
p + 1 "y
-"
gdzie
1 " 1
f(y) = , f = -
ey + 1 "y (e-y + 1)(ey + 1)
Rozwijamy człon potęgowy w szereg Taylora wokół punktu � względem przyrostu (ykBT ) z ograniczeniem do 3
wyrazów
1
(� + ykBT )p+1 = �p+1 + (p + 1)�pykBT + p(p + 1)�p-1(ykBT )2
2
16
Całka z drugiego składnika znika(drugi składnik jest funkcją nieparzystą), więc otrzymujemy, że
�p+1 Ą2
Ip = + p�p-1(kBT )2
p + 1 6
Zatem liczba wszystkich elektronów wynosi
2 3 Ą2 1
2 2
N = A( � + �1 (kBT )2
3 12
Stąd wynika, że
2
2 -
3
2
3
2A Ą2 kBT
� = 1 +
3N 8 �0
Drugi wyraz w nawiasie jest normalnie wielkością małą, więc można przyblizyć (1 + x)a = 1 + ax, zatem
2
Ą2 kBT
� = �0 1 -
12 �0
Energia wewnętrzna
"
U = � = �g(�)f(�)d�
0
3
Korzystamy tu z poprzednio wyliczonej całki, wstawiając p =
2
2
2 5 5Ą2 kBT
2
U = A� 1 +
5 8 �0
Wstawiając wcześniej obliczone � i korzystając z poprzednio użytego przybliżenia otrzymujemy
5Ą2 kBT
U = U0 1 +
12 �0
Ciepło właściwe
" 5Ą2 kB 2
cV = U = U0 T
"T 6 �0
Równanie stanu
pV = kBT ln Ż = kBT ln Ż = kBT ln Ż =
ą ą
"
= kBT ln Ż(�)g(�)d�
0
gdzie
�-�
kB T
Ż(�) = 1 + e-
"
2 "
pV = -kBT �g(�) Żd� =
3 "�
0
"
2
= �g(�)f(�)d� =
3
0
2
= U
3
17
19. Gaz bozonowy, potencjał chemiczny, energia wewnętrzna, ciepło właściwe.
Dla bozonów poniżej pewnej temperatury krytycznej � = 0, zatem warunek stałości liczby cząstek jest nie-
prawdziwy. Zatem
"
N = N0 + g(�)fB(�)d�
0
3
2
N0 = N - B1(kBT )
gdzie
3
2
3 3 2s + 1 2m
B1 = �( )ś( ) V
2 2 Ą2
Ż
h2
Energia wewnętrzna
5
" "
2
5 x
2
U = �g(�)fB(�)d� = B(kBT ) dx
ex - 1
0 0
Całka ogólnie wynosi
"
xp
dx = �(p + 1)ś(p)
ex - 1
0
Otrzymujemy
5
2
U = B2(kBT )
Ciepło właścice
5
" 5 3 3
2
2 2
cV = U = B2kBT = const.T
"T 2
Dla temperatur T > T0
"
N = g(�)fB(� - �)d� =
0
" "
= g(�)fB(�)d� + g(�)[fB(� - �) - fB(�)]d�
0 0
1 1
fB(� - �) - fB(�) - =
�-� �
1 + - 1
1 + - 1
kB T
kB T
1
= kBT �
�(� - �)
3
2
N = B1(kBT ) - ĄBkBT |�|
Zatem
2 2
N T
� = - - 1
ĄBkBT0 T0
Energia wewnętrzna
"
U = �g(�)fB(� - �)d� =
0
" "
= �g(�)fB(�)d� + �g(�)[fB(� - �) - fB(�)]d�
0 0
"
5 3 1
2 2
B2(kBT ) + �B � fB(�)d� =
2
0
5 3
2
= B2(kBT ) + �N
2
18
Ciepło właściwe
3
1
2
2
2
" 5 5 3 9 N T T
2 2
cV = U = B2kB T + N - 1
3
"T 2 2 ĄBkBT0 T0 2
T0
20. Kondensacja Bosego - Einsteina.
Dla temperatur T < T0 potencjał chemiczny � gazu bozonowego jest równy 0. Wtedy, w miarę zblizania się
do temperatury T = 0 liczba cząstek na poziomie podstawowym N0 zbliża się do całkowitej liczby cząstek N.
Zależność jest określona wzorem
3
2
3 T
2
N0 = N - B1(kBT ) = N 1 -
T0
W miarę obniżania się temperatury liczba cząstek ulega kondensacji i w temperaturze T = 0 osiąga stan
nasycenia. Wtedy wszystkie cząstki maja energię � = 0. Zjawisko to leży u podstaw nadciekłości, nadprzewod-
nictwa itp.
21. Model Isinga, przykłady zastosowań.
Model Isinga jest jednym z modeli układów z oddziaływaniem. Pierwszym założeniem jest to, aby elementy
stanowiące układ były jednakowe. Po drugie stan każdego węzła powinien yc opisany przez zmienną (np s)
przyjmującą tylko kilka dyskretnych wartości. Najczęściej są to 2 wartości: s = ą1. Przyjładem takiej wartości
może być spin.
Energia oddziaływania między 2 elementami zapisuje się wzorem
Enm = -Jnmsnsm
Stała Jmn może byc w najprostszym przydadku określona jako
J dla najbliższych sąsiadów
Jmn =
0 dla pozostałych
Hamiltonian dla tego modelu ma postać
1
H = - Jijsisj gdzie jest sumą po najbliższych sąsiadach
2
i,j i,j
Dla modelu Isinga z zewnętrzym polem hamiltonian ma postać
1
H = - J sisj - B si
2
i,j i
22. Rozszerzenia modelu Isinga.
I) Model gazu sieciowego(model gazu komórkowego) Do siatki wprowadzamy pewną liczbę cząsteczek.
a) Dla gazu nieidealnego (zakładamy przyciąganie się cząstek - będą się grupować)
Utworzenie  gron zależy m.in. od gęstości atomów, które wspuściliśmy.
Hamiltonian dla takiego układu
1 jeśli w komórce jest atom
H = -2 Jijeiej gdzie ei =
0 jeśli brak atomu w komórce
i,j
II) Model sieci neuronowej
Neurony mogą byc w dwóch stanach: pobudzonym (1) lub nieaktywnym (-1). Oddziaływanie ma charakter
chemiczny i elektryczny. Sztuczne sieci neuronowe mają charakter kolektywny.
19
23. Model Isinga w jednym wymiarze
A
ańcuch Isinga:
. . . ę! �! ę! �! �! �! ę! ę! �! ę! . . .
N-1
E = - Jnsnsn+1
n=1
Jn
Kn a"
kBT
Zn = exp {K1s1s2 + K2s2s3 + . . . + Kn-1sn-1sn}
{sn}
�ł
s1 = ą1
�ł
�ł
�ł
żł
s2 = ą1
2N wyrazów w tej sumie
.
.
�ł
. �ł
�ł
�ł
sN = ą1
ZN = 2N � cosh K1 � cosh K2 � � � � � cosh KN
Dla N=1 energia jest zerowa, ale suma statystyczna Z = 0 = e0 + e0 Energia wewnętrzna
n=N-1
" "
U = - ln Z = - ln [cosh(Jn�)] =
"� "�
n=1
N-1
= - Jn � tgh(JN �)
n=1
N-1
E = - Jn sn, sn+1
n=1
N-1
U = - Jn � tgh(Jn�)
n=1
Jn
Zatem: sn, sn + 1 = tgh
kBT
24. Funkcje korelacji łańcucha Isinga
�n - funkcja korelacji
�n = sisi+n - si si+n
Dla przypadku jednowymiarowego si si+n = 0, zatem
1
1 -1 -1
�n = sisi+n = � sisi+n � eK s1s2+k2s2s3+...+KN sN sN
Z
{sj }
sisi+n = si � si+1 � si+1 � si+2 � si+2 � . . . � si+n bo si � si = 1
sisi+n = (si � si+1) � (si+1 � si+2) � . . . � (si+n-1 � si+n)�
Ostatecznie
n-1
J
�n = tgh
kBT
Funkcja korelacji zanika dla dużych odległości między spinami.
20
25. Podatność łańcucha Isinga
"
Trudno znalez
ć średnią magnetyzację pojedyńczego spisu. A
atwiej jest znalez
ć podatność � = si w
"F
granicy F=0. si jest średnią nie z konkretnego węzła, ale ze wszystkich.
1 + tghk J łN 2J
T
B
kB T
� = ł � � � N � = � e
kBT
1 - tghk J
T
B
gdzie
ł = �B � �0 � g
26. Teoria pola średniego(molekularnego), temperatura krytyczna, wykładniki krytyczne
Teoria pola średniego pozwala na przybliżone oszacowanie własności termodynamicznych układów. Metoda
może być zastosowana w dowolnym wymiarze, ale dla niskich wymiarów (d = 1) daje wyniki złe, a dla wyższych
(d > 1) przyblizone.
Istotą tej metody jest zastapienie prawdziwych oddziaływań międzycząsteczkowych pewnym polem zewnętrznym
i tym samym zredukowanie problemu wielocząstkowego do jednocząstkowego (każda cząstka porusza się nieza-
leżnie). Zatem
En = -Jsn sm - łF sn =
m
sumowanie po m dotyczy tylko najbliższych sąsiadów
= =
sm = s
zJ s
= -ł F +
ł
Skąd wynika, że prawdziwe pole F należy zrenormalizować, dodając składnik
zJ s
fm =
ł
które pełni role pola wewnętrznego.
Jednocząstkowa suma statystyczna
Zn = e-�ł(F +Fm) + e�ł(F +Fm) = 2 cosh �ł(F + Fm)
1
sn = s = e-�ł(F +Fm) - e�ł(F +Fm) = tgh�ł(F + Fm)
Zn
Temperatura krytyczna
Jz
T0 =
kB
Wykładniki krytyczne:
Oznaczmy
|T - T0|
� =
T0
Pierwszy wykładnik krytyczny - ą - związany z ciepłem właściwym
C <" �-ą
Dla temperatur T > T0 oznacza się go przez ą, dla T < T0 przez ą .
Drugi indeks - � - wiąże się z parametrem uporządkowania X
X <" �-�
21
Odpowiadająca mu podatność jest związana z trzecim wykładnikiem krytycznym - ł
� <" �-ł
Z parametrem X wiąże się jeszcze jeden indeks �, określający zależność X(F ) w temperaturze T = T0
1
�
X <" F , (T = T0)
Funkcja korelacyjna zależy od odległości, przy czym podstawowa zależność od r ma postać
1 e
�
�(r) <" e-
Rd-2+�
gdzie d- wymiar przestrzenny układu, � - indeks krytyczny korygujący wykładnik przy r w mianowniku, � -
odległość, na której funkcja wykładnicza maleje e razy. w miarę zbliżania się do T0 od strony wyższych temper-
atur stopień uporządkowania układu rośnie, a odpowiadający mu zasięg korelacji osiąga wartość nieskonczoną.
Zgodnie z tym piszemy
� <" �� lub � <" �� dlaT < T0
Zaskakującą cehą indeksów krytycznych jest ich uniwersalizm, tzn. układy zasadniczo różniące sie miedzy
sobą mają podobne wartości odpowiednich indeksów krytycznych.
27. Hipoteza uniwersalności zjawisk krytycznych
Wykładniki krytyczne zależą jedynie od wymiaru geometrycznego układu oraz wymiaru parametru porządku
(Ising - 1, XY - 2, Heisenberg - 3). Złamanie porządku spowoduje zmianę wymiaru parametru. Złamanie symetrii
układu (anizotropia) spowoduje obniżenie wymiaru parametru porządku.
30. Hipoteza skalowania
G w oklolicy punktu krytycznego jest jednorodną funkcją argumentów � = T - Tc i H - zewnętrzne pole, czyli
spełnia zależność
G(x�, yH) = pG(�, H)
gdzie  - dowolna stała ( > 0), x,y,p - charakterystyczne wykładniki.
32. Równanie transportu Boltzmana
Opisują transport nośników prądu, ciepła w krysztale, metalu... Te równania mają uniwersalne zastosowanie -
wręcz do ruchu samochodów i przechodniów