Elementy przynależne
O elementach przynależnych mówi się wówczas, gdy tworzą one zbiór zawierający
wspólny punkt lub prostą. Można wyróżnić przynależność:
·ð punktu i prostej,
·ð prostej i pÅ‚aszczyzny,
·ð punktu i pÅ‚aszczyzny.
·ð
Punkt i prosta przynależne do siebie
Zgodnie z tym punkt A leżący na prostej m lub prosta m przechodząca przez punkt A
tworzą parę elementów przynależnych do siebie.
Oznacza to, że ich jednoimienne rzuty także przynależą do siebie.
Zadanie 1
Dane są rzuty prostej m oraz punktów A,B,C (rys.1). Określić, pomiędzy którymi
elementami zachodzi związek przynależności?
m''
C''
B''
A''
x
m'
C'
A'
B'
Rys.1
Odpowiedz
:
Przynależne elementy to pary: m, A oraz m, C.
Nie przynależą do siebie m oraz B.
Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Prosta i płaszczyzna przynależne do siebie
Związek przynależności ma miejsce w dwóch przypadkach:
·ð dwa różne punkty prostej leżą na tej pÅ‚aszczyz
nie;
·ð prosta przechodzi przez punkt leżący na tej pÅ‚aszczyz
nie i jest równoległa do
prostej leżącej na tej płaszczyz
nie.
Zadanie 2
PÅ‚aszczyzna að opisana jest punktami A, B, C stanowiÄ…cymi wierzchoÅ‚ki trójkÄ…ta
(að=ABC) (rys.2). WykreÅ›lić rzuty prostej dowolnej l, leżącej na tej pÅ‚aszczyz
nie, ale
nie przechodzącej przez żaden z danych wierzchołków.
B''
B'
C''
A''
x
C'
A'
Rys.2
Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Znalez
ć należy dwa inne niż A,B,C punkty. Pierwszy z nich (1) leżeć będzie na
prostej a przechodzÄ…cej przez punkty A i B (rys.3).
B''
1'' C''
B'
A''
a''
x
C'
1'
A'
a'
Rys.3
Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Drugi punkt (2) obrać należy na prostej b, wyznaczonej przez punkty B i C (rys.4).
b''
b'
B''
1'' C''
B'
A''
2''
a''
x
C'
1'
2'
A'
a'
Rys.4
Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Punkty 1 i 2 leżą na płaszczyz
nie, zatem poprowadzona przez nie prosta l także leży
na płaszczyz
nie, co rozwiÄ…zuje zadanie (rys.5).
b''
b'
B''
l''
1'' C''
B'
A''
2''
a''
x
C'
l'
1'
2'
A'
a'
Rys.5
Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Zadanie 3
PÅ‚aszczyzna að opisana jest dwiema prostymi równolegÅ‚ymi m oraz n (að=mn) (rys.6).
Wykreślić rzuty prostej czołowej c, leżącej na tej płaszczyz
nie.
m''
n''
x
m'
n'
Rys.6
Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Można wykreślić rzut poziomy c prostej czołowej c, jako równoległy do osi rzutów x.
Przecina się on z rzutami m oraz n określając rzuty 1 i 2 punktów 1 i 2. (rys.7).
m''
n''
x
1' 2'
c'
m'
n'
Rys.7
Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Wykorzystując proste odnoszące, znajduje się rzuty pionowe 1  i 2  punktów na
przecięciu z rzutami pionowymi m  i n  prostych, a także przeprowadzony przez nie
rzut pionowy c  prostej czołowej (rys.8).
c''
1''
m''
n''
x
2''
1' 2'
c'
m'
n'
Rys.8
Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Zadanie 4
PÅ‚aszczyzna að opisana jest przez rzuty prostej m i punktu A (að=mA). Należy
wykreślić rzuty prostej poziomej p, leżącej na płaszczyz
nie.
A''
m''
x
m'
A'
Rys.9
Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Rzut pionowy p  prostej p wykreślić można wprost, jako równoległy do osi rzutów x,
przechodzÄ…cy przez rzut A  i przecinajÄ…cy rzut m  w punkcie 1  (rys.10).
1'' A''
p''
m''
x
m'
A'
Rys.10
Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Za pomocÄ… prostej odnoszÄ…cej wyprowadzonej z rzutu 1  punktu 1 znajduje siÄ™ 1 na
przecięciu z m . Poszukiwany drugi rzut p przechodzi przez A oraz 1 . (rys.11).
1'' A''
p''
m''
x
m'
1'
A'
p'
Rys.11
Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Przynależność prostej i płaszczyzny, gdy dane są ślady prostej i
płaszczyzny
JeÅ›li prosta m i pÅ‚aszczyzna að przynależą do siebie w przestrzeni, to na
płaszczyz
nie rysunku rð=pð1=pð2 ich jednoimienne Å›lady także przynależą
do siebie (rys.12). Oznacza to, że ślad poziomy Hm prostej m leży na
Å›ladzie hað pÅ‚aszczyzny að, a Å›lad pionowy prostej Vm leży na Å›ladzie
pionowym vað pÅ‚aszczyzny.
vað
m''
Vm
m'
Xað x
V'm H''m
Hm
hað
Rys.12
Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Na szczególną uwagę zasługują dwie proste charakterystyczne,
spełniające warunki przynależności do płaszczyzny. Są to:
·ð Prosta pozioma m przynależna do pÅ‚aszczyzny að (rys.13).
vað
Vm
m''
Xað x
V'm
m'
hað
Rys.13
Prosta taka nie posiada śladu poziomego Hm, bo z definicji nie przecina rzutni
poziomej. Zamiast tego jej rzut poziomy m zachowuje równoległość do śladu
poziomego pÅ‚aszczyzny hað. IstniejÄ…cy Å›lad pionowy Vm prostej m zgodnie z definicjÄ…
leży na Å›ladzie pionowym vað pÅ‚aszczyzny að. Dla wygody można takÄ… prostÄ…
oznaczyć jako p.
Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
·ð Prosta czoÅ‚owa m przynależna do pÅ‚aszczyzny að (rys.14)
vað
m''
Xað x
H''m
m'
Hm
hað
Rys.14
Prosta taka nie posiada śladu pionowego Vm, bo z definicji nie przecina rzutni
pionowej. Zamiast tego jej rzut pionowy m  zachowuje równoległość do śladu
pionowego pÅ‚aszczyzny vað. IstniejÄ…cy Å›lad poziomy Hm prostej m zgodnie z definicjÄ…
leży na Å›ladzie poziomym hað pÅ‚aszczyzny að. Dla wygody można takÄ… prostÄ…
oznaczyć jako c.
Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu
kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza
współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.